사이먼 도널드슨

1. 개요

사이먼 도널드슨은 영국의 수학자이다. 그는 1982년 4차원 매끄러운 다양체의 위상수학에 대한 획기적인 연구로 수학계에 큰 영향을 미쳤으며, 1986년 필즈상을 수상했다. 그의 연구는 게이지 이론, 4차원 다양체, 복소 미분 기하학, 심플렉틱 기하학 등 다양한 분야에 걸쳐 있으며, 도널드슨 정리, h-코보디즘 정리, 도널드슨 불변량 등 중요한 업적을 남겼다. 최근에는 극값 켈러 계량의 존재에 대한 연구로 첸 시우슝, 쑨 쑹과 함께 오스왈드 베블런 기하학상을 수상했다.

2. 생애

사이먼 도널드슨은 케임브리지에서 태어났다. 그의 아버지는 케임브리지 대학교 생리학과 전기 기술자였고, 어머니는 같은 대학교에서 이학 학위를 받았다.

도널드슨은 마이클 프리드먼의 결과와 함께 이국적 구조를 가진 4차원 공간의 존재를 증명하였다. 이는 4차원 매끄러운 다양체로서 위상수학적으로는 일반적인 4차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^4$와 같으나 미분기하학적으로는 같지 않은 구조가 있다는 것을 의미한다. 즉, 4차원 유클리드 공간에는 두 개 이상의 매끄러운 다양체 구조가 존재한다는 것이다. 이러한 현상은 오로지 차원이 4일 때만 나타나기 때문에 놀라운 결과였다.

도널드슨은 1985년에 런던 수학회에서 수여하는 주니어 화이트헤드상을 수상하였고, 이듬해 왕립학회 회원으로 선출되었으며, 1986년에는 필즈상을 수상하였다. 1994년에는 크라포르드상을 수상하였다.

2.1. 케임브리지 대학교와 펨브로크 칼리지

사이먼 도널드슨은 케임브리지 대학교에서 태어났으며, 1979년 펨브로크 칼리지에서 수학 학사 학위를 받았다. 그의 아버지는 케임브리지 대학교 생리학과 전기 기술자였고, 어머니는 같은 대학교에서 이학 학위를 받았다.

2.2. 옥스퍼드 대학교와 우스터 칼리지

1980년에 옥스퍼드 대학교 우스터 칼리지(Worcester College)에서 박사 과정을 시작했다. 처음에는 나이절 히친이 지도교수였으나 이후 마이클 아티야의 지도 아래에서 공부하였다. 1982년, 2학년 대학원생 신분으로 수학계를 놀라게 한 결과를 증명하였고, 1983년에 이 결과를 〈자기 쌍대 접속과 4차원 매끄러운 다양체의 위상수학〉(Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds)이라는 제목으로 출판하였다.

1983년, 이 결과를 박사 논문으로 옥스퍼드 대학교를 졸업하고 옥스퍼드 올 솔스 칼리지(All Souls College)에서 연구원 생활을 시작하였다. 1983-84학년도에는 미국 프린스턴의 프린스턴 고등 연구소에서 연구하였으며, 그 후 옥스퍼드 대학교로 돌아와 1985년에 월리스 수학 교수직을 맡게 되었다.

2.3. 옥스퍼드 대학교, 프린스턴 고등 연구소, 임페리얼 칼리지 런던, 스토니브룩 대학교

1983년 옥스퍼드 대학교에서 DPhil 학위를 받은 후, 올 소울스 칼리지의 주니어 연구 펠로우로 임명되었다. 1983~84학년도를 프린스턴 고등 연구소에서 보냈고, 1985년 월리스 수학 교수로 옥스퍼드 대학교로 돌아왔다. 스탠퍼드 대학교를 1년 방문한 후, 1998년 순수 수학 교수로 임페리얼 칼리지 런던으로 옮겨갔다. 2014년에는 미국 뉴욕의 스토니브룩 대학교에 있는 시몬스 기하학 및 물리학 센터에 합류했다.

3. 주요 업적

사이먼 도널드슨은 수학적 분석(특히 타원형 편미분 방정식 분석)을 기하학 문제에 적용하는 연구를 통해 다양한 업적을 남겼다. 그의 연구는 주로 게이지 이론, 4차원 다양체, 복소 미분 기하학, 심플렉틱 기하학과 관련되어 있다.

도널드슨의 주요 업적은 다음과 같이 요약될 수 있다.

* 대각화 가능 정리: 매끄럽고 닫힌, 단일 연결 4차원 다양체의 교차 형식이 양의 정부호 또는 음의 정부호이면 정수 위에서 대각화 가능하다는 정리이다.
* h-코보디즘 정리: 단순 연결 4차원 다양체 사이의 매끄러운 h-코보디즘은 자명하지 않을 수 있다는 것을 증명했다.
* 안정 정칙 벡터 다발과 에르미트-아인슈타인 메트릭: 비특이 사영 대수 다양체 위의 안정적인 정칙 벡터 다발은 에르미트-아인슈타인 메트릭을 허용한다는 것을 증명했다.
* 도널드슨 불변량 (인스턴톤 불변량): 도널드슨 불변량을 이용하여 비특이 사영 대수 곡면이 두 개의 유향 4차원 다양체의 연결 합과 미분 동형일 수 있는지에 대한 조건을 제시했다.
* 콤팩트 심플렉틱 다양체와 레프셰츠 펜슬: 모든 콤팩트 심플렉틱 다양체가 심플렉틱 레프셰츠 펜슬을 허용한다는 것을 증명했다.
* 극값 켈러 계량 (K-안정성): 극값 켈러 계량과 관련된 복소 미분 기하학 문제, 특히 켈러-아인슈타인 메트릭의 존재 조건을 연구하고, K-안정성과의 관계를 밝혔다.

이러한 업적들은 현대 수학, 특히 기하학과 위상수학의 발전에 큰 영향을 미쳤다.

3.1. 도널드슨 정리 (대각화 가능 정리)

도널드슨의 대각화 가능 정리는 다음과 같다.

: 매끄럽고 닫힌, 단일 연결 4차원 다양체의 교차 형식이 양의 정부호 또는 음의 정부호이면 정수 위에서 대각화 가능하다. 이 결과는 때때로 도널드슨 정리라고 불린다.

3.2. h-코보디즘 정리

도널드슨은 단순 연결 4차원 다양체 사이의 매끄러운 h-코보디즘은 자명하지 않을 수 있음을 증명하였다. 이는 더 높은 차원의 상황과 대조적이다.

3.3. 도널드슨 불변량 (인스턴톤 불변량)

도널드슨의 초기 연구 업적 중 하나는 도널드슨 불변량(인스턴톤 불변량)을 응용한 것이다. 도널드슨은 비특이 사영 대수 곡면이 두 개의 유향 4차원 다양체의 연결 합과 미분 동형일 수 있는데, 그 중 하나가 음의 정부호 교차 형식을 가질 경우에만 가능함을 증명하였다.

3.4. 안정 정칙 벡터 다발과 에르미트-아인슈타인 메트릭

도널드슨은 수학적 분석, 특히 타원형 편미분 방정식 분석을 기하학 문제에 적용하는 연구를 진행했다. 이러한 문제들은 주로 게이지 이론, 4차원 다양체, 복소 미분 기하학, 심플렉틱 기하학과 관련이 있다.

도널드슨은 비특이 사영 대수 다양체 위의 안정적인 정칙 벡터 다발은 에르미트-아인슈타인 메트릭을 허용한다는 것을 귀납적 증명과 행렬식 다발 및 퀼렌 메트릭 이론을 사용하여 증명하였다.

3.5. 사영 대수 곡면과 미분 동형

도널드슨은 비특이 사영 대수 곡면이 두 개의 유향 4차원 다양체의 연결 합과 미분 동형이 될 수 있으며, 그 중 하나가 음의 정부호 교차 형식을 가질 경우에만 가능하다는 것을 증명하였다. 이는 도널드슨 불변량(인스턴톤 불변량)의 초기 응용이었다.

3.6. 콤팩트 심플렉틱 다양체와 레프셰츠 펜슬

도널드슨은 모든 콤팩트 심플렉틱 다양체가 심플렉틱 레프셰츠 펜슬을 허용한다는 것을 증명하였다.

3.7. 극값 켈러 계량 (K-안정성)

도널드슨은 최근 매끄러운 사영 대수 다양체에 대한 대수 기하학적 "안정성" 조건과 "극값" 켈러 다양체 (일반적으로 상수 스칼라 곡률을 갖는 경우, 예를 들어 cscK 메트릭 참조)의 존재에 대한 추측적 관계에 관한 복소 미분 기하학 문제에 집중적으로 연구하였다. 도널드슨은 이 문제의 토릭 사례에서 결과를 얻었으며, 2012년에는 첸 및 쑨과 공동으로 문제의 켈러-아인슈타인 메트릭 사례를 해결했다. 이 놀라운 성과는 많은 어렵고 기술적인 논문을 포함했는데, 이 중 첫 번째는 Gromov–Hausdorff 극한에 관한 것이었다. 켈러-아인슈타인 메트릭의 존재 증명 요약은 Chen^영어, Donaldson^영어, Sun^영어의 논문에 나타나며, 증명의 전체 세부 사항은 이들의 3편의 논문에 걸쳐 제시되었다.

2019년, 도널드슨은 첸 시우슝, 쑨 쑹과 함께 오스왈드 베블런 기하학상을 수상했는데, 이는 수학기하학 분야의 오랜 추측, 즉 "파노 다양체가 Kähler-Einstein 계량을 가질 필요충분조건이 K-안정하다"는 것을 증명한 공로였다. 이 문제는 싱퉁 야우가 칼라비 추측을 증명한 후 1980년대에 제안된 이래 기하학 분야에서 가장 활발하게 연구된 주제 중 하나였으며, 이후 톈 강과 도널드슨에 의해 일반화되었다. 첸, 도널드슨, 쑨의 해법은 2015년 미국수학회지에 "파노 다양체의 Kähler-Einstein 계량, I, II, III"라는 제목의 3부작 논문으로 게재되었다.

4. 수상 경력

5. 참고 논문