도널드슨 불변량

1. 개요

도널드슨 불변량은 4차원 다양체의 미분 구조를 연구하는 데 사용되는 위상 불변량이다. 1983년 사이먼 도널드슨에 의해 도입되었으며, 4차원 다양체 위에 정의된 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간을 이용하여 정의된다. 도널드슨 불변량은 도널드슨 다항식으로 표현되며, 이는 4차원 다양체의 호몰로지 정보를 반영한다. 또한, 초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의될 수도 있으며, 크론하이머-므로카 기본류를 통해 자이베르그-위튼 불변량과 연결된다.

2. 정의

도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 $M$의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.

2.1. 수학적 정의

푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지 $\backslash operatorname\; H^2(M;\backslash mathbb\; Q)$ 위에 다음과 같은 교차 형식(intersection form^영어)을 정의할 수 있다.
:$I\backslash colon\backslash operatorname\; H^2(M;\backslash mathbb\; Q)\backslash times\backslash operatorname\; H^2(M;\backslash mathbb\; Q)\backslash to\backslash mathbb\; Q$
:$I(\backslash alpha,\backslash beta)=[M]\backslash frown(\backslash alpha\backslash smile\backslash beta)$
여기서 $[M]$은 $M$의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 $b\_2^+(M)$, 음의 고윳값의 수를 $b\_2^-(M)$이라고 한다.
:$b\_2^+(M)+b\_2^-(M)=b\_2f(M)$
은 $M$의 2차 베티 수이다. 앞으로, $b\_2^+>1$이라고 가정한다.

$M$에 임의의 리만 계량 $g$와 SU(2) 벡터다발 $E\backslash twoheadrightarrow\; M$을 부여하자. 이 경우, $E$의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\; M\_\{E,g\}$를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.
:$\backslash dim\backslash mathcal\; M\_E=\backslash begin\{cases\}$
-8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^-(M))&c_2(E)<0\\
8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^+(M))&c_2(E)>0
\end{cases}

(만약 이 수가 음수라면 $\backslash mathcal\; M\_\{E,g\}$는 공집합이다.) 여기서 $c\_2(E)$는 $E$의 2차 천 수이고, $b\_i(M)$은 $M$의 $i$차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)

$\backslash mathcal\; C\_E$가 $E$ 위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.
:$\backslash mathcal\; M\_\{E,g\}\backslash hookrightarrow\backslash mathcal\; C\_E$
$\backslash mathcal\; M\_\{E,g\}$는 리만 계량 $g$에 의존하지만, $b\_2^+(M)>1$이라면 호몰로지류 $[\backslash mathcal\; M\_\{E,g\}]\backslash in\backslash operatorname\; H\_\backslash bullet(\backslash mathcal\; C\_E)$는 $g$에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서
:$[\backslash mathcal\; M\_E]\backslash in\backslash operatorname\; H\_\backslash bullet(\backslash mathcal\; C\_E)$
를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, $M$의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.

스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다.
:$\backslash mu\backslash colon\backslash operatorname\; H\_k(M;\backslash mathbb\; Q)\backslash to\; H^\{4-k\}(\backslash mathcal\; C\_E;\backslash mathbb\; Q)$
$M$은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, $M$의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\; H\_0(M;\backslash mathbb\; Q)=\backslash mathbb\; Q$
:$\backslash operatorname\; H\_1(M;\backslash mathbb\; Q)=0$
:$\backslash operatorname\; H\_2(M;\backslash mathbb\; Q)=\backslash mathbb\; Q^\{b\_2\}=\backslash operatorname\{span\}\backslash \{\backslash gamma\_1,\backslash dots,\backslash gamma\_\{b\_2\}\backslash \}$
:$\backslash operatorname\; H\_3(M;\backslash mathbb\; Q)=0$
:$\backslash operatorname\; H\_4(M;\backslash mathbb\; Q)=\backslash mathbb\; Q$
여기서 $\backslash gamma\_1,\backslash dots,\backslash gamma\_\{b\_2\}$는 임의로 잡은 $H\_2(M;\backslash mathbb\; Q)$의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.
* $\backslash mu(\backslash operatorname\; H\_4(M;\backslash mathbb\; Q))=0$
* $\backslash mathcal\; C\_E$의 코호몰로지 환 $H^\backslash bullet(\backslash mathcal\; C\_E;\backslash mathbb\; Q)$는 $\backslash mu$에 의하여 다항식환 $\backslash mathbb\; Q[x,\backslash gamma\_1,\backslash dots,\backslash gamma\_\{b\_2\}]$와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 $x$는 $H\_0(M;\backslash mathbb\; Q)$에 대응하는 생성원이다.

이제, 도널드슨 다항식(Donaldson多項式, Donaldson polynomial^영어) $D\_E\backslash colon\backslash mathbb\; Q[x,\backslash gamma\_1,\backslash dots,\backslash gamma\_\{b\_2\}]\backslash to\backslash mathbb\; Q$은 다음과 같은 사상이다.
:$Q\_E(p)=[\backslash mathcal\; M\_E]\backslash frown\; p\backslash left(\backslash mu(x),\backslash mu(\backslash gamma\_1),\backslash dots,\backslash mu(\backslash gamma\_\{b\_2\})\backslash right)$

2.2. 물리학적 정의

$M$ 위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군 $G$인 $\backslash mathcal\; N=2$ 초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭과 R대칭을 갖는데, 로런츠 군
:$\backslash operatorname\{SU\}(2)\_\backslash text\{left\}\backslash times\backslash operatorname\{SU\}(2)\_\backslash text\{right\}\backslash cong\backslash operatorname\{Spin\}(4)$
는 4차원 스핀 군이고, $\backslash mathcal\; N=2$ R대칭군은 SU(2)_R이다. 이제 새 로런츠 부분군 $\backslash operatorname\{SU\}(2)\_\backslash text\{right\}\text{'}$을 $\backslash operatorname\{SU\}(2)\_\backslash text\{right\}$와 $\backslash operatorname\{SU\}(2)\_\backslash text\{R\}$의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림(topological twist^영어)을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다.

뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, $(A\_\backslash mu,\backslash psi\_\backslash mu)$, $(\backslash lambda,\backslash eta)$는 $Q$에 대한 초다중항을 이룬다. $\backslash chi$는 $F^+=0$ 제약에 대응하며, $\backslash phi$는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.

이제, 초대칭 연산자 $Q$를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 $Q$에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다.

다음과 같은 게이지 불변, $Q$-닫힌 연산자를 생각하자.
:$\backslash mathcal\; O\_0=\backslash frac1\{8\backslash pi^2\}\backslash operatorname\{tr\}\backslash phi^2$
이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.
:$d\backslash mathcal\; O\_0=i\backslash \{Q,\backslash mathcal\; O\_1\backslash \}$
:$d\backslash mathcal\; O\_1=i\backslash \{Q,\backslash mathcal\; O\_2\backslash \}$
:$d\backslash mathcal\; O\_2=i\backslash \{Q,\backslash mathcal\; O\_3\backslash \}$
:$d\backslash mathcal\; O\_3=i\backslash \{Q,\backslash mathcal\; O\_4\backslash \}$
:$d\backslash mathcal\; O\_4=0$
$\backslash mathcal\; O\_k$는 $k$차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 $k\_i$차 호몰로지류 $\backslash Sigma\_i$들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다.
:$\backslash left\backslash langle\backslash int\_\{\backslash Sigma\_1\}\backslash mathcal\; O\_\{k\_1\}\backslash cdots\backslash int\_\{\backslash Sigma\_i\}\backslash mathcal\; O\_\{k\_i\}\backslash cdots\backslash right\backslash rangle$
이 경우, $\backslash mathcal\; O\_4\backslash propto\; F\backslash wedge\; F\backslash propto\; c\_2(E)$는 CP 위반항이므로,
:$\backslash int\_M\backslash mathcal\; O\_4\backslash sim\backslash int\_MF\backslash wedge\; F=[M]\backslash frown\; c\_2(E)$
는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 $\backslash mathcal\; O\_4$의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 $\backslash Sigma\_i\backslash in\; H\_2(M)$ 및 0차 호몰로지 류 $x\_i\backslash in\; H\_0(M)$를 사용하여, 상관 함수
:$\backslash left\backslash langle\backslash int\backslash mathcal\; O\_0(x\_1)\backslash cdots\backslash int\_\{\backslash Sigma\_1\}\backslash mathcal\; O\_2\backslash cdots\backslash right\backslash rangle$
를 정의할 수 있다. 이를 도널드슨 다항식이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.

2.3. 크론하이머-므로카 기본류

게이지 군 $G$가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체 $M$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 단순형 다양체(manifold of simple type^영어)라고 한다.
:$Q\_\{8+\backslash deg\; p\}(x^2p(x,\backslash vec\backslash gamma))=4Q\_\{\backslash deg\; p\}(p(x,\backslash vec\backslash gamma))$
여기서 $p\backslash in\backslash mathbb\; Q[x,\backslash vec\backslash gamma]$이며, $\backslash deg\; p$는 $x$를 차수 4, $\backslash vec\backslash gamma$를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.

이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다.
:$D(\backslash vec\backslash gamma)=\backslash sum\_n\backslash left(\backslash frac\{Q\_\{2n\}(\backslash gamma^d)\}\{d!\}+\backslash frac\{Q\_\{2n+4\}(x\backslash gamma^d)\}\{2d!\}\backslash right)$
:$\backslash mathbb\; D(\backslash vec\backslash gamma)=D(0,\backslash vec\backslash gamma)+\backslash frac12\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}D(0,\backslash vec\backslash gamma)$
이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.
:$\backslash mathbb\; D(\backslash gamma)=\backslash exp(\backslash gamma.\backslash gamma/2)\backslash sum\_\{x\backslash in\; H^2(M;\backslash mathbb\; Z)\}\backslash exp(x\backslash cdot\backslash gamma)n\_x$
여기서 $n\_x\backslash ne0$인 2차 코호몰로지 원소들을 크론하이머-므로카 기본류(Kronheimer–Mrowka basic class^영어)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 $n\_x$들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.

3. 역사

사이먼 도널드슨이 1983년에 도널드슨 불변량을 도입하였다. 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.

피터 크론하이머와 토머스 므로카(Thomasz S. Mrowka^영어)는 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다. 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들이 크론하이머-므로카 기본류와 관계가 있음을 제시하였다.