위상수학

3. 주요 개념

위상수학의 주요 개념은 다음과 같다.

• 집합상의 위상: 집합에 대한 위상은 그 부분 집합들의 집합족으로, 공집합과 전체 집합을 포함하며, 임의의 합집합과 유한 교집합에 대해 닫혀 있는 것을 말한다. 이 조건을 만족하는 위상이 주어진 집합을 위상 공간이라고 한다.^[11][12] 위상 공간에서 여집합이 열린 집합인 경우 닫힌 집합이라고 하며, 열린 집합도 닫힌 집합도 아닌 집합, 또는 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합(열린닫힌 집합)이 있을 수 있다.

• 연속 함수와 위상동형: 함수가 모든 열린 집합의 역상이 열린 집합이면 연속이라고 한다. 실수에서 실수로 가는 함수에서 이 정의는 미적분학에서의 연속성과 같다.^[1] 일대일이고 전사이며 역함수도 연속인 함수를 위상동형사상이라 하며, 이 경우 정의역과 치역은 위상동형이라고 한다. 위상동형인 두 공간은 위상적으로 동일하다고 간주된다. 예를 들어 정육면체와 구, 커피 잔과 도넛은 위상동형이지만, 구와 도넛은 위상동형이 아니다.

• 다양체: 다양체는 각 점 근처에서 유클리드 공간과 유사한 위상 공간이다. n차원 다양체의 각 점은 n차원 유클리드 공간과 동형 사상인 근방을 갖는다. 선과 원은 1차원 다양체이지만, 8자 모양은 아니다. 2차원 다양체는 곡면이라고도 불리며, 평면, 구, 토러스 등이 이에 해당한다. 클라인 병과 실 사영 평면은 3차원에서 자기 교차 없이 실현될 수 없는 다양체가 아닌 곡면이다.

3. 1. 집합상의 위상

3. 2. 연속 함수와 위상동형

3. 3. 다양체

4. 위상수학의 분야

위상수학은 물체의 정확한 모양보다 연결 상태에 따라 기하학적 문제가 달라진다는 통찰을 바탕으로 한다. 예를 들어 정사각형과 원은 1차원 객체이며 평면을 내부와 외부로 나눈다는 공통점이 있다.

레온하르트 오일러는 쾨니히스베르크(현재 칼리닌그라드) 다리들을 한 번씩만 건너는 경로가 없음을 증명했는데, 이는 다리 길이나 거리가 아닌 연결성에만 의존하는 문제였다. 이 문제는 그래프 이론의 시초가 되었다.

대수적 위상수학의 털 뭉치 정리는 "털 뭉치의 털을 가르마 없이 평평하게 빗을 수 없다"는 것으로, 구에 비자취 연속 접선 벡터장이 없다는 정리이다. 이는 구의 모양과 무관하며, 구멍이 없는 부드러운 덩어리에도 적용된다.

이처럼 모양과 무관한 문제를 다루기 위해 위상동형 개념이 생겨났다. 쾨니히스베르크 다리 문제와 위상동형인 다리 배열은 모두 각 다리를 한 번만 건너는 것이 불가능하며, 털 뭉치 정리는 구와 위상동형인 모든 공간에 적용된다.

두 공간을 자르거나 붙이지 않고 변형해 서로 같게 할 수 있다면 위상동형이다. 위상수학자는 커피 잔과 도넛을 구분 못한다는 농담이 있는데, 이는 유연한 도넛을 변형해 커피 잔으로 만들 수 있기 때문이다.^[1]

위상동형은 가장 기본적인 위상 동치이며, 다른 하나는 호모토피 동치이다. 호모토피 동치는 두 객체가 더 큰 객체를 "눌러서" 얻은 결과일 때 성립한다.

기하학적 위상수학에서는 다양체의 위상수학적 성질을 다룬다. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간으로, 일반적인 위상 공간보다 다양한 성질을 갖는다. 다양체의 위상수학은 차원에 따라 다른 성질을 보이는데, 1·2차원 다양체는 자명하고, 5차원 이상은 공통된 이론이 존재하지만, 3차원 및 4차원 다양체는 매우 복잡하다.

4. 1. 일반위상수학 (점집합 위상수학)

• 하이네-보렐 정리: '''R'''의 모든 유한 닫힌구간은 콤팩트하다. 더 나아가서, '''R'''ⁿ의 부분집합이 콤팩트할 필요충분조건은 그 집합이 유계이고 닫혀 있다는 것이다.
• 콤팩트 공간을 연속 함수로 보낸 상은 콤팩트하다.
• 티호노프 정리: 임의의 콤팩트 공간들의 곱은 콤팩트하다.
• 하우스도르프 공간의 콤팩트 부분집합은 닫힌 집합이다.
• 볼차노-바이어슈트라스 정리: 콤팩트 거리화 가능 공간의 임의의 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
• '''R'''의 임의의 구간은 연결 공간이다.
• 연결 공간을 연속 함수로 보낸 상은 연결 공간이다.
• 임의의 거리화 가능 공간은 하우스도르프 공간일 뿐만 아니라 정규 공간이며, 또한 유사콤팩트 공간이다.

4. 2. 대수적 위상수학

4. 3. 미분위상수학

4. 4. 기하학적 위상수학

• 가향성
• 핸들 분해
• 국소 평탄성
• 평면 및 고차원 쇤플리스 정리

5. 응용

위상수학은 추상적인 연결 관계와 미세 변형에 불변하는 성질을 다루기 때문에, 수학뿐만 아니라 다양한 분야에서 응용된다. 레온하르트 오일러가 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제를 해결하면서 그래프 이론이 시작된 것이 그 예시이다.

위상수학의 방법은 추상적인 연결 관계에 관한 성질이나 미세 변형으로도 변하지 않는 대역적인 성질을 다룰 수 있게 해준다. 20세기 후반에는 다른 분야와의 관련성이 특히 깊어져 응용 영역이 넓어지고 있다.

5. 1. 물리학

5. 2. 생물학

5. 3. 컴퓨터 과학

• 데이터 점 집합을 근접성 매개변수로 색인화된 일련의 단순 복합체로 대체한다.
• 대수적 위상수학을 통해 이러한 위상 복합체를 분석한다. 특히, 영속 호몰로지 이론을 통해 분석한다.^[19]
• 데이터 집합의 영속 호몰로지를 베티 수의 매개변수화된 형태로 인코딩하며, 이를 바코드라고 한다.^[19]

5. 4. 기타

참조

_[1] 서적 Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems https://books.google[...] Springer
_[2] 간행물
_[3] 간행물
_[4] 문서 Richeson (2008)
_[5] 문서 Vorstudien zur Topologie Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1848
_[6] 학술지 Johann Benedict Listing (obituary) 1883-02-01
_[7] 서적 Sur quelques points du calcul fonctionnel
_[8] 문서 Grundzüge der Mengenlehre Leipzig: Veit
_[9] 간행물
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