셀베르그 클래스

1. 개요

셀베르그 클래스는 디리클레 급수의 일종으로, 해석성, 라마누잔 추측, 함수 방정식, 오일러 곱의 네 가지 공리를 만족하는 함수들의 집합이다. 셀베르그 클래스에 속하는 함수들은 복소 평면 전체로 해석적으로 확장 가능하며, 소수들의 곱으로 표현될 수 있다. 이 클래스에 속하는 대표적인 예시로는 리만 제타 함수와 모듈러 판별식의 L-함수가 있으며, 셀베르그는 이 클래스에 속하는 함수들에 대한 몇 가지 추측을 제시했다. 이 추측들은 아르틴 추측을 포함한 여러 중요한 결과를 함축하며, 셀베르그 클래스의 함수들은 소수 정리와 유사한 성질을 만족한다.

2. 정의

셀베르그 클래스 S는 Re(s) > 1에서 절대 수렴하는 디리클레 급수 $F(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{a\_n\}\{n^s\}$ 들의 집합으로, 다음 네 가지 공리를 만족한다.

# 해석성: $F(s)$는 s=1에서 극점(pole)을 가질 가능성을 제외하고는 복소 평면 전체에서 해석적으로 확장 가능하다.
# 라마누잔 추측: $a\_1\; =\; 1$이고, 임의의 ε > 0에 대해 $a\_n\; \backslash ll\_\backslash varepsilon\; n^\backslash varepsilon$이다.
# 함수 방정식: 다음과 같은 형태의 감마 인자(gamma factor)가 존재한다.
:$\backslash gamma(s)=Q^s\backslash prod\_\{i=1\}^k\; \backslash Gamma\; (\backslash omega\_is+\backslash mu\_i)$
:(여기서 Q는 양의 실수이고, Γ는 감마 함수이며, ω_i는 양의 실수이고, μ_i는 음이 아닌 실수부를 가진 복소수이다.)
# 오일러 곱: Re(s) > 1에 대해 F(s)는 소수들의 곱으로 표현될 수 있다.
:$F(s)=\backslash prod\_p\; F\_p(s)$

2.1. 해석성 (Analyticity)

$F(s)$는 s=1에서 극점(pole)을 가질 가능성을 제외하고는 복소 평면 전체에서 해석적으로 확장 가능하다. 좀 더 정확하게는, 함수 (s - 1)^mF(s)는 어떤 음이 아닌 정수 m이 존재하고, 유한한 차수의 정함수이다.

2.2. 라마누잔 추측 (Ramanujan conjecture)

$a\_1\; =\; 1$이고, 임의의 ε > 0에 대해 $a\_n\; \backslash ll\_\backslash varepsilon\; n^\backslash varepsilon$이다.

2.3. 함수 방정식 (Functional equation)

감마 인자(gamma factor)는 다음과 같은 형태를 가진다.

:$\backslash gamma(s)=Q^s\backslash prod\_\{i=1\}^k\; \backslash Gamma\; (\backslash omega\_is+\backslash mu\_i)$

여기서 Q는 양의 실수이고, Γ는 감마 함수이며, ω_i는 양의 실수이고, μ_i는 음이 아닌 실수부를 가진 복소수이다. 또한 소위 근수(root number)

:$\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; C,\backslash ;|\backslash alpha|=1$

가 존재하여, 함수

:$\backslash Phi(s)\; =\; \backslash gamma(s)\; F(s)\backslash ,$

는 다음을 만족한다.

:$\backslash Phi(s)=\backslash alpha\backslash ,\backslash overline\{\backslash Phi(1-\backslash overline\{s\})\};$

2.4. 오일러 곱 (Euler product)

Re(s) > 1에 대해 F(s)는 소수들의 곱으로 표현될 수 있다.

:$F(s)=\backslash prod\_p\; F\_p(s)$

여기서

:$F\_p(s)=\backslash exp\backslash left(\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{b\_\{p^n\}\}\{p^\{ns\}\}\backslash right)$

이고, 어떤 θ < 1/2에 대해,

:$b\_\{p^n\}=O(p^\{n\backslash theta\}).\backslash ,$이다.

Re(s)>1에 대해 F(s)는 다음과 같이 소수를 지나는 곱으로도 쓸 수 있다.

:$F(s)=\backslash prod\_p\; F\_p(s)$

여기서,

:$\backslash log\; F\_p(s)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{b\_\{p^n\}\}\{p^\{ns\}\}$

이고, 어떤 θ < 1/2가 존재하여,

:$b\_\{p^n\}=O(p^\{n\backslash theta\})$이다.

3. 정의에 대한 보충 설명

μ_i의 실수부가 음수가 아니어야 한다는 조건은 μ_i가 음수일 때 리만 가설을 만족하지 않는 것으로 알려진 L-함수가 있기 때문이다. 구체적으로, 라마누잔-페터슨 추측이 성립하고 함수 방정식을 갖지만 리만 가설을 만족하지 않는 예외적인 고유값을 갖는 마스 형식이 있다.

θ < 1/2 조건은 중요하다. θ = 1의 경우 영점이 임계선 위에 있지 않은 함수가 포함되기 때문이다.

$a\_n\; \backslash ll\_\backslash varepsilon\; n^\backslash varepsilon$ 조건이 없으면, 리만 가설을 위반하는 경우가 존재한다.

a_n은 곱셈적이며, 다음과 같다.

:$F\_p(s)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_\{p^n\}\}\{p^\{ns\}\}\backslash text\{\; for\; Re\}(s)>0.$

4. 예시

셀베르그 클래스의 대표적인 예시는 리만 제타 함수이다. 또 다른 예시로는 모듈러 판별식 Δ의 L-함수가 있는데, 다음과 같이 표현된다.

:$L(s,\backslash Delta)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{n^s\}$

여기서 $a\_n=\backslash tau(n)/n^\{11/2\}$이고, τ(n)은 라마누잔 타우 함수이다. 또한, F가 셀베르그 클래스의 원소이고, χ가 원시 디리클레 문자이면,

:$F^\backslash chi(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash chi(n)a\_n\}\{n^s\}$

로 정의되는 F^χ도 셀베르그 클래스의 원소이다.

알려진 모든 예는 자동형 형식의 L-함수(automorphic L-function)이며, F_p(s)의 역수는 유계 차수의 p^−s에 대한 다항식이다.

5. 기본 성질

리만 제타 함수와 마찬가지로, 셀베르그 클래스 S의 원소 F는 감마 인자 γ(s)의 극점에서 발생하는 자명한 영점을 갖는다. F의 다른 영점은 비자명한 영점이라고 하며, 이들은 모두 특정 띠 영역 안에 위치한다. 0 ≤ Im(s) ≤ T 범위에서 F의 비자명한 영점의 개수를 N_F(T)로 나타내면, 셀베르그는 다음과 같은 관계를 보였다.

:$N\_F(T)=d\_F\backslash frac\{T\backslash log(T+C)\}\{2\backslash pi\}+O(\backslash log\; T).$

여기서 d_F는 F의 차수 (또는 차원)라고 불리며, 다음과 같이 주어진다.

:$d\_F=2\backslash sum\_\{i=1\}^k\backslash omega\_i.$

F = 1은 차수가 1보다 작은 S에 속하는 유일한 함수임이 증명될 수 있다.

만약 F와 G가 셀베르그 클래스에 속한다면, 곱 FG도 셀베르그 클래스에 속하며, 다음이 성립한다.

:$d\_\{FG\}=d\_F+d\_G.$

S에 속하는 함수 F ≠ 1은 F = F₁F₂로 표현될 때, 여기서 F_i는 S에 속하며, F = F₁ 또는 F = F₂가 성립할 때 원시적이라고 한다. 만약 d_F = 1이면, F는 원시적이다. S의 모든 함수 F ≠ 1은 원시적 함수의 곱으로 나타낼 수 있다.

6. 셀베르그 추측

셀베르그는 S에 있는 함수에 관해 다음과 같은 추측들을 제시했다.

* 추측 1: 모든 F in S에 대해, 특정 조건을 만족하는 정수 n_F가 존재하며, F가 원시적일 때는 n_F = 1이다.
* 추측 2: 서로 다른 원시적 F, F′ ∈ S에 대해, 특정 조건이 성립한다.
* 추측 3: F가 특정 조건을 만족하고 χ가 원시 디리클레 지표이며, 특정 함수가 S에 속한다면, 함수 F_i^χ는 S의 원시적 원소이다.
* S에 대한 리만 가설: S에 있는 모든 F에 대해, F의 비자명 영점은 모두 Re(s) = 1/2 선상에 위치한다.

6.1. 추측 1

Selberg^영어 (1992)는 클래스 $S$의 기능에 관한 추측을 제시했다.

* 모든 F in S에 대해, 다음을 만족하는 정수 n_F가 존재한다.

::$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash frac\{|a\_p|^2\}\{p\}=n\_F\backslash log\backslash log\; x+O(1)$

* F가 원시적일 때 n_F = 1이다.

6.2. 추측 2

서로 다른 원시적 F, F′ ∈ S에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\; \backslash frac\{a\_p\backslash overline\{a\_p^\backslash prime\}\}\{p\}=O(1).$

6.3. 추측 3

F가 원시적 인수분해 $F\; =\; \backslash prod\_\{i=1\}^m\; F\_i$를 갖는 S에 속하고, χ가 원시 디리클레 지표이며, 함수 $F^\backslash chi(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash chi(n)a\_n\}\{n^s\}$ 또한 S에 속한다면, 함수 F_i^χ는 S의 원시적 원소이다(결과적으로, 이들은 F^χ의 원시적 인수분해를 형성한다).

6.4. S에 대한 리만 가설

S에 있는 모든 F에 대해, F의 비자명 영점은 모두 Re(s) = 1/2 선상에 위치한다.

7. 셀베르그 추측의 결과

추측 1과 2는 F가 s = 1에서 차수 m의 극을 갖는다면, F(s)/ζ(s)^m이 전체 함수임을 함축한다. 특히, 이들은 데데킨트 추측을 함축한다.

M. 람 무르티는 추측 1과 2가 아르틴 추측을 함축함을 보였다. 실제로, 무르티는 아르틴 L-함수가 유리수체의 가해 확장의 갈루아 군의 기약 표현에 대응하는 자동형 표현임을 보였으며, 이는 랑글란즈 추측이 예측한 바와 같다.

S의 함수들은 또한 소수 정리와 유사한 성질을 만족한다. 즉, F(s)는 Re(s) = 1 선상에 영점을 갖지 않는다. 위에서 언급했듯이, 추측 1과 2는 S에 있는 함수를 원시 함수로 유일하게 인수분해할 수 있음을 함축한다. 또 다른 결과는 F의 원시성이 n_F = 1과 동치라는 것이다.