베르트랑 공준

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1. 개요

베르트랑 공준은 1845년 조제프 베르트랑이 추측하고 1850년 파프누티 체비쇼프가 증명한 명제이다. 이 공준은 임의의 자연수 n보다 크고 2n보다 작거나 같은 소수가 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다. 이후 스리니바사 라마누잔, 에르되시 팔 등에 의해 다양한 증명 방법이 제시되었으며, 실베스터 정리, 에르되시 정리 등과 연관되어 연구되었다. 소수 정리와 르장드르의 추측과도 관련이 있으며, 순열군 연구, 조화수, 완전 수열 등 다양한 분야에 응용된다.

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베르트랑 공준
명제
이름	베르트랑 공준
다른 이름	베르트랑-체비쇼프 정리 체비쇼프 정리
내용	임의의 자연수 n에 대해, n < p ≤ 2n을 만족하는 소수 p가 존재한다.
추가 내용	n > 1이면 n < p < 2n을 만족하는 소수 p가 존재한다. n > 3이면 n < p < 2n − 2를 만족하는 소수 p가 존재한다.
역사
최초 제시	조제프 베르트랑 (1845년)
증명	파프누티 체비쇼프 (1852년)

2. 역사

프랑스의 수학자 조제프 베르트랑(Joseph Louis François Bertrand^Fr)이 1845년에 처음으로 추측하여 '''베르트랑 추측'''이라는 이름을 얻었다. 베르트랑은 3백만보다 작은 모든 자연수에 대해 이 명제가 성립함을 확인했지만, 일반적인 증명은 제시하지 못했다.

1850년에 파프누티 체비쇼프가 이 명제를 완전하게 증명하였다. 그럼에도 불구하고 관례적으로 '베르트랑 공준'이라 불린다.

1919년에 스리니바사 라마누잔이 감마 함수를 사용하여 더 간단한 증명을 발표하였고, 1932년에 에르되시 팔은 이항계수와 체비쇼프 함수를 사용한, 라마누잔 증명보다 더 간단한 증명을 발표하였다.

2. 1. 베르트랑의 추측 (1845)

프랑스의 수학자 조제프 베르트랑(Joseph Louis François Bertrand^Fr)이 1845년에 처음으로 추측하여 '''베르트랑 추측'''이라는 이름을 얻었다. 베르트랑은 3백만보다 작은 모든 자연수에 대해 이 명제가 성립함을 확인했지만, 일반적인 증명은 제시하지 못했다.

2. 2. 체비쇼프의 증명 (1850)

1850년에 파프누티 체비쇼프가 이 명제를 완전하게 증명하였다. 그럼에도 불구하고 관례적으로 '베르트랑 공준'이라 불린다. 최초로 얻어진 체비쇼프의 증명은 감마 함수를 사용한 고도의 것이었다.

2. 3. 라마누잔의 증명 (1919)

인도의 수학자 스리니바사 라마누잔은 감마 함수를 사용하여 파프누티 체비쇼프의 증명보다 더 간단한 증명을 제시했다.^[4] 이 짧은 논문에는 베르트랑 공준의 일반화가 포함되어 있으며, 여기서 라마누잔 소수의 개념이 파생되었다.^[4]

2. 4. 에르되시의 증명 (1932)

1932년 에르되시 팔은 이항계수와 체비쇼프 함수를 사용한 초등적인 증명을 제시했다.^[20]^[21]^[22] 이 증명은 파프누티 체비쇼프의 증명, 스리니바사 라마누잔의 증명보다 더 간단하다. 에르되시는 이 증명을 고등학생 때 발표했다.

체비쇼프 함수

\vartheta(x)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\vartheta(x) = \sum_{p=2}^x \log(p)

여기서 ''p'' ≤ ''x''는 소수들을 대상으로 한다.

에르되시는 1934년에 모든 양의 정수 ''k''에 대해, 모든 ''n'' > ''N''에 대해 ''n''과 2''n'' 사이에 적어도 ''k''개의 소수가 존재하도록 하는 자연수 ''N''이 있음을 증명했다.

이치마츠 신은 에르되시의 초등적인 증명을 더욱 풀어서 《수연통신》 70호 (2011년 5월)에 발표했다.^[21] 2013년 5월에는, 더 강한 평가식에 의한 증명이 발표되었다.^[23] 2019년 8월에는, 《수학 세미나》에 유사한 증명이 게재되었다.^[24]

그 증명의 개요는 다음과 같다.

# 어떤 자연수 을 취하면, 를 만족하는 소수 가 존재하지 않는다고 가정한다. (귀류법)

# C}}을 의 식으로 평가하여 C < ''g''(''n'')}}로 둔다.

#

y=\frac{\log x}{x}

는 에서 감소하므로, 는 다행히도 그다지 크지 않은 수 }} 이상에서는 성립하지 않는다는 것을 확인한다.

# }}일 때, 를 만족하는 가 존재함을 확인한다.

# 이들은 모순이다. (증명 종료)

2. 5. 기타 증명

1932년에 에르되시 팔이 고등학생 때 초등적인 증명을 제시했다.^[20]^[21]^[22] 이치마츠 신은 에르되시의 초등적인 증명을 더욱 풀어서 《수연통신》 70호 (2011년 5월)에 발표했다.^[21] 2013년 5월에는, 더 강한 평가식에 의한 증명이 발표되었다.^[23] 2019년 8월에는, 《수학 세미나》에 유사한 증명이 게재되었다.^[24]

3. 확장된 결과들

영국의 수학자 제임스 조지프 실베스터는 $k$ 개의 연속된 $k$ 보다 큰 정수들의 곱은 적어도 하나의 $k$ 보다 큰 소수로 나누어떨어진다는 명제를 증명했다. 이를 실베스터 정리라고 한다.^[10]

1934년에 헝가리의 수학자 에르되시 팔은 임의의 자연수 $k$ 에 대하여, 적당한 자연수 $N$ 이 존재하여 $N$ 보다 큰 임의의 자연수 $n$ 과 $2n$ 사이에는 적어도 $k$ 개의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다. 이를 에르되시 정리라고 한다.^[22]

1952년에 일본의 수학자 나구라 지쓰로는 $24$ 보다 큰 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 과 $\frac{6}{5}n$ 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.^[11]

1998년에 프랑스의 수학자 피에르 뒤자르(Pierre Dusart)는 $2010760$ 보다 큰 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 과 $\frac{16598}{16597}n$ 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.^[13]^[14]^[15]

1919년, 라마누잔은 감마 함수의 성질을 사용하여 체비쇼프보다 더 간단한 증명을 제시했다.^[4] 그의 짧은 논문에는 공준의 일반화가 포함되어 있으며, 이로부터 나중에 라마누잔 소수의 개념이 파생되었다. 라마누잔 소수의 추가적인 일반화도 발견되었다. 예를 들어,

: $2p_{i-n} > p_i \text{ for } i>k \text{ where } k=\pi(p_k)=\pi(R_n)\, ,$

여기서 ''p''_''k''는 ''k''번째 소수이고, ''R''_''n''은 ''n''번째 라마누잔 소수이다.

베르트랑 공준의 다른 일반화는 초등적인 방법을 사용하여 얻어졌다. 1973년, 데니스 핸슨은 3''n''과 4''n'' 사이에 소수가 존재함을 증명했다.^[5] 2006년, 핸슨의 결과를 알지 못한 채로 M. 엘 바크라위는 2''n''과 3''n'' 사이에 소수가 존재함을 증명하는 방법을 제안했다.^[6] 엘 바크라위의 증명은 n과 2n 사이의 소수에 대한 에르되시의 주장을 확장한 것이다. 셰벨레프, 그레이트하우스, 모세스는 유사한 간격에 대한 관련 결과를 논의했다.^[7]

가우스 정수에서의 베르트랑 공준은 소수 분포에 대한 아이디어의 확장으로, 이 경우 복소 평면에서 적용된다. 따라서 가우스 소수는 선을 따라 확장될 뿐만 아니라 평면 전체로 확장되고, 복소수를 두 배로 만드는 것은 단순히 2를 곱하는 것이 아니라 그 노름을 두 배로 하는 것이기 때문에(1+i를 곱하는 것), 다른 정의가 다른 결과를 낳으며, 일부는 여전히 추측으로 남아 있고, 일부는 증명되었다.^[8]

3. 1. 실베스터 정리

영국의 수학자 제임스 조지프 실베스터는 k보다 큰 k개의 연속된 정수들의 곱은 적어도 하나의 k보다 큰 소수로 나누어떨어진다는 명제를 증명했다. 이를 실베스터 정리라고 한다. 베르트랑 공준은 이 정리의 특수한 경우에 해당한다. 즉, k = n으로 놓고, n + 1, n + 2부터 시작하여 n + k = 2n까지의 k개의 숫자(n > 1)를 고려하면, 이 숫자 중 하나는 k보다 큰 소인수를 갖는다. 이 숫자들은 모두 2(k + 1)보다 작으므로, k보다 큰 소인수를 갖는 숫자는 소인수가 하나뿐이므로 소수이다. 2n은 소수가 아니므로, 실제로 n < p < 2n인 소수 p가 존재한다.

3. 2. 에르되시 정리 (소수 분포)

헝가리의 수학자 에르되시 팔은 임의의 자연수 k에 대하여, 적당한 자연수 N이 존재하여 N보다 큰 임의의 자연수 n과 2n 사이에는 적어도 k개의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.^[22] 이를 에르되시 정리라고 한다. 이는 베르트랑 공준을 일반화한 결과이다. 1932년, 에르되시(1913–1996)는 이항 계수와 체비쇼프 함수를 사용하여 더 간단한 증명을 발표했다.^[9]

영국의 수학자 제임스 조지프 실베스터는 k개의 연속된 k보다 큰 정수들의 곱은 적어도 하나의 k보다 큰 소수로 나누어떨어진다는 실베스터 정리를 증명했다.

3. 3. 나구라 지쓰로의 결과 (1952)

일본의 수학자 나구라 지쓰로는 1952년에 24보다 큰 모든 자연수 n에 대하여 n과 (6/5)n 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.^[11]

3. 4. 피에르 뒤자르의 결과 (1998, 2010, 2016)

프랑스의 수학자 피에르 뒤자르(Pierre Dusart)는 1998년, 2010년, 2016년에 걸쳐 베르트랑 공준과 관련된 여러 결과를 증명했다.^[13]^[14]^[15] 1998년에는 $x \ge 3\,275$에 대해 구간 $x < p \le \left( 1 + \frac{1}{ 2 \log^2{x} } \right) x$에 소수 $p$가 존재함을 보였다.^[13] 2010년에는 $x \ge 396\,738$에 대해 구간 $x < p \le \left( 1 + \frac{1}{ 25 \log^2{x} } \right) x$에 적어도 하나의 소수 $p$가 존재함을 증명했다.^[14] 2016년에는 $x \ge 89\,693$이면 구간 $x < p \le \left( 1 + \frac{1}{ \log^3{x} } \right) x$에, $x \ge 468\,991\,632$에 대해 구간 $x < p \le \left( 1 + \frac{1}{ 5\,000 \log^2{x} } \right) x$에 적어도 하나의 소수 $p$가 존재함을 보이며 결과를 개선했다.^[15] 이는 충분히 큰 $n$에 대해 $n$과 $(1 + 1/(2 \log^2n))n$, $(1 + 1/(25 \log^2n))n$, $(1 + 1/(\log^3n))n$ 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 것을 의미한다.

3. 5. 기타 확장

영국의 수학자 제임스 조지프 실베스터는 k개의 연속된 k보다 큰 정수들의 곱은 적어도 하나의 k보다 큰 소수로 나누어떨어진다는 실베스터 정리를 증명했다.^[10] 헝가리의 수학자 에르되시 팔은 임의의 자연수 k에 대하여, 적당한 자연수 N이 존재하여 N보다 큰 임의의 자연수 n과 2n 사이에는 적어도 k개의 소수가 존재한다는 에르되시 정리를 증명했다.^[10]

1952년 일본의 수학자 나구라 지쓰로는 24보다 큰 모든 자연수 n에 대하여 n과 5/6n 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.^[10]^[11] 1976년, 로웰 숀필드는 n ≥ 2,010,760에 대해 항상 열린 구간 n < p < (1 + 1/16597)n에 소수 p가 존재한다는 것을 보였다.^[12] 1998년 프랑스의 수학자 피에르 뒤자르는 자신의 박사 학위 논문에서 이 결과를 개선하여, k ≥ 463에 대해, p_k+1 ≤ (1 + 1/(2 log²p_k))p_k, 그리고 특히 x ≥ 3,275에 대해, 구간 x < p ≤ (1 + 1/ (2 log²x))x에 소수 p가 존재함을 보였다.^[13] 2010년 피에르 뒤자르는 x ≥ 396,738에 대해 구간 x < p ≤ (1 + 1/(25 log²x))x에 적어도 하나의 소수 p가 존재함을 증명했다.^[14] 2016년, 피에르 뒤자르는 2010년의 결과를 개선하여 x ≥ 89,693이면, 구간 x < p ≤ (1 + 1/(log³x))x에 적어도 하나의 소수 p가 존재함을 보였고,^[15] x ≥ 468,991,632에 대해 구간 x < p ≤ (1 + 1/(5000 log²x))x에 적어도 하나의 소수 p가 존재함을 보였다.

베이커, 하만, 핀츠는 모든 충분히 큰 x에 대해 구간 [x - x^0.525, x]에 소수가 존재함을 증명했다.^[16] 두덱은 모든 n ≥ e^{e^33.3}에 대해, n³과 (n + 1)³ 사이에 적어도 하나의 소수가 존재함을 증명했다.^[17] 또한 두덱은 리만 가설이 모든 x ≥ 2에 대해 x - (4/π)√x log x < p ≤ x를 만족하는 소수 p가 존재함을 의미한다는 것을 증명했다.^[18]

이 외에도 데니스 핸슨, M. 엘 바크라위 등 다른 수학자들도 베르트랑 공준을 확장한 결과들을 제시했으며, 가우스 정수에서의 베르트랑 공준에 대한 연구도 진행되었다.

4. 소수 정리와의 관계

소수 정리는 ''x''까지의 소수의 개수 ''π(x)''가 대략 ''x''/log(''x'')임을 의미하며, ''x''를 2''x''로 대체하면 2''x''까지의 소수의 개수가 ''x''까지의 소수의 개수의 두 배에 근접한다는 것을 알 수 있다. 이는 ''n''이 클 때, ''n''과 2''n'' 사이의 소수의 개수는 대략 ''n''/log(''n'')이며, 이 구간에는 베르트랑의 공준이 보장하는 것보다 훨씬 많은 소수가 있음을 의미한다. 따라서 베르트랑의 공준은 소수 정리보다 상대적으로 약하지만, 소수 정리는 심오한 정리인 반면, 베르트랑의 공준은 더 기억하기 쉽고 쉽게 증명할 수 있으며, 작은 ''n'' 값에 대해서도 정확한 주장을 한다는 장점이 있다. 또한 체비쇼프의 정리는 소수 정리보다 먼저 증명되었으므로 역사적 의의가 있다.

르장드르의 추측은 모든 ''n'' ≥ 1에 대해, ''n''² < ''p'' < (''n'' + 1)²를 만족하는 소수 ''p''가 존재하는지 묻는 문제이다. ''n''²와 (''n'' + 1)² 사이에는 많은 소수가 있을 것으로 예상되지만, 소수 정리는 이 경우에 도움이 되지 않는다. ''x''²까지의 소수의 개수는 ''x''²/log(''x''²)에 점근하고, (''x'' + 1)²까지의 소수의 개수는 (''x'' + 1)²/log((''x'' + 1)²)에 점근하며, 이는 ''x''²까지의 소수에 대한 추정치와 점근적이므로 르장드르의 추측을 증명하는데 충분하지 않다.

5. 리만 가설과의 관계

6. 응용

1을 포함한 소수의 수열은 완전 수열이다. 임의의 양의 정수는 각 소수를 최대 한 번씩 사용하여 소수(및 1)의 합으로 표현될 수 있다.^[19]

정수인 유일한 조화수는 1이다.^[19]

베르트랑 공준은 순열군 연구에 적용될 수 있다. 1을 포함한 소수의 수열은 완전 수열이다. 임의의 양의 정수는 각 소수를 최대 한 번씩 사용하여 소수(및 1)의 합으로 표현될 수 있다.^[19]

6. 1. 순열군

베르트랑 공준은 순열군 연구에 적용될 수 있다. 1을 포함한 소수의 수열은 완전 수열이다. 임의의 양의 정수는 각 소수를 최대 한 번씩 사용하여 소수(및 1)의 합으로 표현될 수 있다.^[19]

6. 2. 조화수

1을 포함한 소수의 수열은 완전 수열이며, 임의의 양의 정수는 각 소수를 최대 한 번씩 사용하여 소수(및 1)의 합으로 표현될 수 있다.^[19] 정수인 유일한 조화수는 1이다.^[19]

6. 3. 완전 수열

1을 포함한 소수의 수열은 완전 수열이다. 임의의 양의 정수는 각 소수를 최대 한 번씩 사용하여 소수(및 1)의 합으로 표현될 수 있다.^[19]

7. 같이 보기

참조

_[1] 서적 The Little Book of Bigger Primes https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2004
_[2] 간행물 Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme. https://books.google[...]
_[3] 간행물 Mémoire sur les nombres premiers. http://sites.mathdoc[...]
_[4] 간행물 A proof of Bertrand's postulate http://www.imsc.res.[...]
_[5] 간행물 On a theorem of Sylvester and Schur
_[6] 간행물 Primes in the interval [2n,3n]
_[7] 간행물 On Intervals (kn,(k + 1)n) Containing a Prime for All n > 1 https://cs.uwaterloo[...] 2013
_[8] 간행물 Generalization of Bertrand’s postulate for Gaussian primes
_[9] 간행물 Beweis eines Satzes von Tschebyschef https://www.renyi.hu[...]
_[10] 서적 An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press
_[11] 간행물 On the interval containing at least one prime number http://projecteuclid[...]
_[12] 간행물 Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x), II 1976-04
_[13] 학위논문 Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers http://www.unilim.fr[...]
_[14] 논문 Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.
_[15] 간행물 Explicit estimates of some functions over primes
_[16] 간행물 The difference between consecutive primes, II
_[17] 간행물 An explicit result for primes between cubes 2016-12
_[18] 간행물 On the Riemann hypothesis and the difference between primes 2014-08-21
_[19] 서적 Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science Addison-Wesley
_[20] 논문 原論文は{{Harvnb|Erdős|1932}}。
_[21] 논문 "{{Harvnb|一松|2011}}"
_[22] 논문 "{{Harvnb|アイグナー|ツィーグラー|2012|loc=第1章}}を参照。"
_[23] 논문 "{{harvnb|栃折|2013}}"
_[24] 논문 "{{harvnb|谷口|2019}}"

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