등각 켤레점

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 등각 켤레점의 다른 정의
3. 성질
- 3.1. 삼선좌표와의 관계
4. 일반화
5. 예
참조

1. 개요

등각 켤레점은 삼각형 ABC와 평면 위의 점 P에 대해 정의되는 기하학적 개념으로, 점 P에서 각 변에 대한 반사를 통해 얻어지는 점들의 성질을 활용한다. 삼각형의 한 꼭짓점을 지나는 직선의 등각 켤레선은 내각의 이등분선에 대한 반사로 얻어지며, 세 직선의 등각 켤레선은 한 점에서 만나는데, 이 점이 P의 등각 켤레점이다. 등각 켤레점은 수족 삼각형의 외심, 드로츠파르니 원 등과 관련되며, 삼선좌표를 통해 표현할 수 있다. 또한, 등각 켤레는 직선이나 원에도 적용될 수 있으며, 일반화된 개념인 X-Dao 켤레점이 존재한다. 외심과 수심, 내심과 방심, 무게중심과 대칭 중점 등 특정 점들이 서로 등각 켤레 관계에 있다.

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등각 켤레점
정의
설명	주어진 삼각형에 대한 점의 등각 켤레점은 기하학적 변환의 결과로 얻어지는 점이다.
상세 정보
등각 켤레점	삼각형 △ABC 내부의 점 P에 대해, 점 P와 각 꼭짓점 A, B, C를 연결하는 직선 PA, PB, PC를 그린다. 이 선들을 각 꼭짓점에서의 각의 이등분선에 대해 반사시키면 세 개의 새로운 선이 생성되며, 이 선들은 한 점에서 만나는데, 이 점을 P의 등각 켤레점이라고 한다.
특별한 등각 켤레점	삼각형의 내심 I, 수심 H, 외심 O, 무게 중심 G, 르무안 점 K 등은 모두 등각 켤레점을 가진다.
표기	점 X의 등각 켤레점은 일반적으로 X⁻¹로 표기한다.
성질	만약 점 X의 등각 켤레점이 S라면, 점 S의 등각 켤레점은 X이다. 즉, (X⁻¹)⁻¹ = X이다.

2. 정의

삼각형 $ABC$ 의 한 꼭짓점 $A$ (또는 $B$ 또는 $C$ )를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, isogonal (conjugate) line^영어)은 그 직선을 내각 $\angle A$ (또는 $\angle B$ 또는 $\angle C$ )의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 $ABC$ 의 한 꼭짓점 $A$ 를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 $AP$ 와 $AQ$ 를 뜻한다.

둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
$\angle PAB=\angle QAC$ (즉, $\angle PAC=\angle QAB$ )

삼각형

ABC

및 같은 평면 위의 점

P

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선

AP

,

BP

,

CP

의 등각 켤레선은 한 점

P'

에서 만난다. 이 점을 삼각형

ABC

에 대한 점

P

의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점

P

와

P'

이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.

2. 1. 등각 켤레점의 다른 정의

삼각형 ''ABC''의 평면 위의 주어진 점 ''P''에 대해, 변 ''BC'', ''CA'', ''AB''에 대한 ''P''의 반사를 각각 ''P''_a, ''P''_b, ''P''_c라고 하자. 그러면 이 세 점을 지나는 원 ''P''_a''P''_b''P''_c의 중심은 점 ''P''의 등각 켤레점이다.^[1]^[6] 이는 점 ''P''의 수족원의 중심이 해당 등각 켤레점과의 중점이 되기 때문이다.^[6]

3. 성질

삼각형 ABC에 대한 등각 켤레점 P와 P'이 주어졌다고 하자. 점 P를 삼각형의 각 변 BC, CA, AB에 반사시켜 얻는 점을 X, Y, Z라고 하면, 삼각형 XYZ의 외심은 P'이다.

등각 켤레점 P와 P'의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 점 P에서 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하고, 점 P'에서 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D', E', F'라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 D, E, F, D', E', F'은 P와 P'의 중점 M을 중심으로 하는 원 위의 점이다.^[9]

점 P를 지나는 변 BC, CA, AB의 수선의 발을 D, E, F라고 하고, 점 P'을 지나는 변 BC, CA, AB의 수선의 발을 D', E', F'라고 하자. 점 D, E, F를 중심으로 하고 점 P'을 지나는 원들과 점 D', E', F'를 중심으로 하고 점 P을 지나는 원들이 각 변과 만나는 점들이 있다. 전자의 원들이 만드는 6개의 교점(U, V, W, X, Y, Z)은 점 P를 중심으로 하는 한 원 위에 있고, 후자의 원들이 만드는 다른 6개의 교점(U', V', W', X', Y', Z')은 점 P'을 중심으로 하는 한 원 위에 있다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 '''드로츠파르니 원'''(Droz-Farny circles|드로츠파르니 서클스^영어)이라고 한다.^[9]

삼각형 ABC의 내심의 등각 켤레점은 내심 자신이다. 수심의 등각 켤레점은 외심이다.

직선의 등각 켤레점은 외접 원뿔 곡선이며, 반대로 외접 원뿔 곡선의 등각 켤레점은 직선이다.

3. 1. 삼선좌표와의 관계

삼선좌표계에서 점 X를 x:y:z로 나타낼 때 (단, X는 꼭짓점이 아니다), X의 등각 켤레점은 1/x : 1/y : 1/z로 표현된다. 이 때문에 X의 등각 켤레점은 종종 X^-1로 표기되기도 한다.

삼각형의 중심 집합 S에서 삼선좌표의 곱(trilinear product)은 다음과 같이 정의된다.

`(p:q:r)*(u:v:w) = pu:qv:rw`

이 정의에 따르면, 집합 S를 아벨 군으로 볼 수 있으며, 이 군에서 점 X의 역원은 등각 켤레점인 X^-1이 된다.

함수로서 등각 켤레 변환은 점뿐만 아니라 직선이나 원에도 적용할 수 있다. 직선을 등각 켤레 변환하면 외접 원뿔곡선이 된다. 특히, 원래 직선이 삼각형의 외접원과 만나는 점의 개수에 따라 그 등각 켤레 곡선은 다음과 같이 결정된다.^[4]

교점이 없는 경우: 타원
교점이 한 개인 경우 (접선): 포물선
교점이 두 개인 경우: 쌍곡선

예를 들어, 브로카르 축의 등각 켤레는 키페르트 쌍곡선이고, 오일러선의 등각 켤레는 제르베크 쌍곡선이다. 삼각형의 외접원을 등각 켤레 변환하면 무한원 직선이 된다.

몇몇 잘 알려진 3차 곡선은 자기 등각 켤레(self-isogonal-conjugate) 성질을 가진다. 이는 곡선 위의 임의의 점 X에 대해 그 등각 켤레점 X^-1 역시 같은 곡선 위에 있다는 의미이다. 이러한 곡선의 예로는 노이베르그 3차 곡선, 17점 3차 곡선, McCay Cubic 등이 있다.^[5]

4. 일반화

2021년 5월, 베트남의 수학자 다오 타인 오아이(Dao Thanh Oai)는 등각 켤레점의 개념을 다음과 같이 일반화하여 발표했다.^[2]^[7]

삼각형 ABC와 평면 위의 점 P, 그리고 삼각형 ABC에 외접하는 임의의 원뿔 곡선 Ω가 주어졌다고 하자. 세 직선 AP, BP, CP가 원뿔 곡선 Ω와 다시 만나는 점을 각각 A', B', C'라고 한다. 점 A', B', C'를 지나면서 각각 삼각형의 변 BC, CA, AB에 평행인 직선을 그어 원뿔 곡선 Ω와 다시 만나는 점을 각각 A", B", C"라고 하자. 그러면 세 직선 AA", BB", CC"는 한 점에서 만나는데(공점선), 이 교점을 점 P의 X-Dao 켤레점(X-Dao conjugate point) 또는 다오 켤레(Dao conjugate)라고 부른다.^[8]

원뿔 곡선 Ω의 중심 X의 무게중심 좌표가

X = x : y : z

이고, 점 P의 무게중심 좌표가

P = p : q : r

일 때, 세 직선 AA", BB", CC"의 교점인 다오 켤레점 D의 무게중심 좌표는 다음과 같이 표현된다.

D = x(x-y-z)qr : y(y-z-x)rp : z(z-x-y)pq

다오 켤레는 기존에 알려진 여러 종류의 켤레점을 특별한 경우로 포함하는 일반화된 개념이다.^[2]^[7]

원뿔 곡선 Ω가 삼각형 ABC의 외접원일 경우, 다오 켤레는 점 P의 등각 켤레점이 된다. 이때 원뿔 곡선의 중심 X는 삼각형의 외심이다.
원뿔 곡선 Ω가 삼각형 ABC의 슈타INER 외접 타원일 경우, 다오 켤레는 점 P의 등중선 켤레점이 된다. 이때 원뿔 곡선의 중심 X는 삼각형의 기하 중심이다.
원뿔 곡선 Ω의 중심 X가 특정 점(킴벌링 수 X(1249))인 외접 원뿔 곡선일 경우, 다오 켤레는 점 P의 극 켤레점(polar conjugate)이 된다.

5. 예

다음과 같은 점 또는 도형의 쌍들은 서로 등각 켤레 관계이다.

외심과 수심^[9]
내심은 자기 자신과 등각 켤레이다.
방심은 자기 자신과 등각 켤레이다. (종합적으로, 내심과 방심의 등각 켤레점은 그 점 자신이다.)
무게 중심과 대칭 중점^[9] (대칭 중점은 유사 무게중심이라고도 한다.)
페르마 점과 등력점
두 개의 브로카르 점은 서로 등각 켤레이다.
심미안 점의 등각 켤레점은 세 번째 무게중심이다.

또한, 직선의 등각 켤레는 외접 원뿔 곡선이며, 반대로 외접 원뿔 곡선의 등각 켤레는 직선이다.

참조

_[1] 웹사이트 Constructing Isogonal Conjugates https://www.geogebra[...] GeoGebra Team 2022-01-17
_[2] Encyclopedia César Eliud Lozada, Preamble before X(44687) https://faculty.evan[...]
_[3] 웹사이트 等角共役点とその証明 https://manabitimes.[...] 2021-03-07
_[4] 웹사이트 等角共役とシムソン線の幾何学 https://nnn.ed.jp/ab[...] 角川ドワンゴ学園N/S高等学校研究部 2024-05-12
_[5] 웹사이트 homepage http://bernard-giber[...] Bernard Gibert 2024-05-11
_[6] 웹사이트 Constructing Isogonal Conjugates https://www.geogebra[...] GeoGebra Team 2022-01-17
_[7] Encyclopedia César Eliud Lozada, Preamble before X(44687) https://faculty.evan[...]
_[8] 웹사이트 Encyclopedia of Triangle Centers https://faculty.evan[...] 2024-10-20
_[9] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry The Mathematical Association of America 1995

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