순응 확률 과정

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1. 개요

순응 확률 과정은 여과 확률 공간에서 정의되는 확률 과정으로, 특정 시점까지의 정보를 기반으로 한다. 가측 공간 S와 각 t에 대한 확률 변수 X_t로 구성되며, 시간의 흐름에 따라 변화하는 확률 변수의 정보를 담는다. 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간에 대해 순응 확률 과정이 된다.

순응 확률 과정

개요

유형	확률 과정
분야	확률론
관련 항목	마르팅게일

정의

영어 명칭	Adapted process
다른 이름	Non-anticipating stochastic process (비-예측 확률 과정)

설명

내용	어떤 시점까지의 정보를 안다는 것은 그 시점까지의 과정의 값을 안다는 것을 의미하는 확률 과정이다.
추가 설명	이토 적분에서 중요한 개념이다.

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시

2. 정의

여과 확률 공간 $(\Omega,\mathcal F_t,\textstyle\Pr_t)_{t\in T}$ 위의 순응 확률 과정(adapted stochastic process^영어)은 다음 데이터로 주어진다.
* 가측 공간 $S$
* 각 $t\in T$ 에 대하여, 확률 변수 $X_t \colon(\Omega,\mathcal F_t,\textstyle\Pr_t) \to S$

만약 $T$ 가 최댓값 $\infty\in T$ 를 가질 때, 이는 확률 공간 $(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr)$ 위의 확률 변수를 이룬다.

이는 다음과 같이 정의할 수 있다.

* $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 는 확률 공간이다.
* $I$ 는 전순서 $\leq$ 를 가진 지수 집합이다. (흔히, $I$ 는 $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}_0$ , $[0, T]$ 또는 $[0, +\infty)$ 이다.)
* $\mathbb F = \left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}$ 는 여과 시그마 대수 $\mathcal{F}$ 이다.
* $(S,\Sigma)$ 는 상태 공간인 가측 공간이다.
* $X_i: I \times \Omega \to S$ 는 확률 과정이다.

확률 과정 $(X_i)_{i\in I}$ 가 각 $i \in I$ 에 대해 확률 변수 $X_i: \Omega \to S$ 가 $(\mathcal{F}_i, \Sigma)$ -가측 함수이면, $\left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}$ 여과에 적응한다고 한다. 또는 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 를 확률 공간이라고 하고, $I$ 를 전순서 $\leq$ 를 갖는 지수 집합 ( $I$ 는 $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}_0$ , $[0, T]$ , $[0, +\infty)$ 인 경우가 많음), $\mathcal{F}_{\cdot} = \left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}$ 를 완전 가법족 $\mathcal{F}$ 의 정보계, $(S,\Sigma)$ 를 측도 공간 (상태 공간), $X: I \times \Omega \to S$ 를 확률 과정이라고 할때, $X$ 가 임의의 $i \in I$ 에 대해 $X_i: \Omega \to S$ 가 $(\mathcal{F}_i, \Sigma)$ -가측 함수일 때, 정보계 $\left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}$ 에 적합하다 고 한다.

3. 성질

정의에 따라, 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간에 대하여 순응 확률 과정을 이룬다. 다시 말해, 확률 과정은 스스로에 대한 “지식”을 가진다.

4. 예시

확률 과정 X : [0, T] × Ω → R을 고려하고, 실수선 R에 열린 집합에 의해 생성된 일반적인 보렐 시그마 대수를 부여한다.

자연 여과 F_•^X를 취하면, 여기서 F_t^X는 보렐 부분 집합 B ⊂ R 및 시간 0 ≤ s ≤ t에 대해 X_s⁻¹(B)의 사전 이미지로 생성된 σ-대수이므로, X는 자동으로 F_•^X에 적응된다. 직관적으로 자연 여과 F_•^X는 시간 t까지의 X의 동작에 대한 "총 정보"를 포함한다.

이는 적응되지 않은 과정 X : [0, 2] × Ω → R의 간단한 예를 제공한다. 시간 0 ≤ t < 1에 대해 F_t를 자명한 σ-대수 {∅, Ω}로 설정하고, 시간 1 ≤ t ≤ 2에 대해 F_t = F_t^X로 설정한다. 자명한 σ-대수에 대해 측도가능할 수 있는 유일한 방법은 상수여야 하므로, [0, 1]에서 상수가 아닌 모든 과정 X는 F_•에 적응되지 않는다. 이러한 과정의 상수 아닌 특성은 더 정교한 "미래" σ-대수 F_t, 1 ≤ t ≤ 2에서 "정보를 사용"한다.