스테인하우스-모서 표기법

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 스테인하우스의 다각형 표기법
- 2.2. 모저의 다각형 표기법
3. 특수값
4. 다른 표기법
5. 계산
6. 참고: 큰 수의 비교
참조

1. 개요

스테인하우스-모서 표기법은 후고 스테인하우스가 정의한 큰 수를 표기하는 방법으로, 삼각형, 사각형, 원 안에 숫자를 넣어 표기한다. 삼각형 안에 n은 nⁿ을, 사각형 안에 n은 중첩된 삼각형 n개 안에 n을 쓴 수와 같으며, 원 안에 n은 중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수와 같다. 모서 표기법은 스테인하우스의 표기법을 확장하여, 더 많은 변을 가진 다각형을 사용하여 큰 수를 표기할 수 있도록 했다. 이 표기법을 통해 정의된 특수한 값으로는 메가(원 안에 2)와 메지스톤(원 안에 10)이 있으며, 모저 수는 메가곤 안에 2를 쓴 수로, 그레이엄 수에 비해 매우 작은 수이다.

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스테인하우스-모서 표기법
개요
종류	수학적 표기법
분야	수론
고안자	후고 스타인하우스 레오 모저
발표 시기	1950년대
표기법
기본 형태	'n 안에 m'
계산 규칙	'3 안에 2 = 3^{3^{3}} (지수가 3개)' 'n 안에 2 = n^{n^{...^{n}}} (지수가 n개)' 'n 안에 3 = n 안에 (n 안에 n) (반복)'
확장	'n 안에 k = n 안에 (n 안에 ... (n 안에 n) ...) (k-1번 반복)' 'm 안에 k = m 안에 (m 안에 ... (m 안에 m) ...) (k-1번 반복)'
다각형 표기법과의 관계
유사점	거듭제곱의 반복을 나타냄 매우 큰 수를 간결하게 표현
차이점	다각형 표기법은 다각형의 꼭짓점 수를 이용 스타인하우스-모서 표기법은 '안에' 기호를 사용

2. 정의

스테인하우스-모서 표기법은 매우 큰 수를 표기하기 위한 방법으로, 다음과 같이 정의된다.

삼각형 안에 n
'''삼각형''' 안에 n|n^영어을 쓴 수는 n|n^영어^{n|n^영어}을 의미한다.
사각형 안에 n
'''사각형''' 안에 n|n^영어을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 n|n^영어개 안에 n|n^영어을 쓴 수"와 같다.
오각형 안에 n
'''오각형''' 안에 n|n^영어을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n|n^영어개 안에 n|n^영어을 쓴 수"와 같다.
일반적으로 (m|m^영어 + 1)각형 안에 n|n^영어을 쓴 수는 "중첩된 m|m^영어각형 n|n^영어개 안에 n|n^영어을 쓴 수"와 같다.

다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, 안쪽으로 결합된다. 예를 들어, 두 개의 삼각형 안에 n|n^영어을 쓴 것은 삼각형 안에 n|n^영어^{n|n^영어}을 쓴 것과 같으며, 이는 n|n^영어^{n|n^영어}을 n|n^영어^{n|n^영어} 제곱한 것과 같다.

스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고

'''원'''(오각형과 동일)을 정의했다.

2. 1. 스테인하우스의 다각형 표기법

'''삼각형''' 안에 n을 쓴 수는 nⁿ을 의미한다.

'''사각형''' 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.

'''원''' 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. 스테인하우스는 원까지만 정의했다.

2. 2. 모저의 다각형 표기법

'''오각형''' 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. 일반적으로, '''(m+1)각형''' 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 m각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.

모저의 다각형 표기법은 스테인하우스 표기법을 확장한 것이다.

, 은 스테인하우스 표기법과 같다.
= "''n'' 겹의 사각형 안에 ''n'' " ()
일반적으로 "''m'' 각형 안에 ''n''" = "''n'' 겹의 (''m'' - 1) 각형 안에 ''n''"

"

각형 안에 2"를 '''모저 수'''라고 한다.

3. 특수값

스테인하우스는 다음 두 수를 정의했다.

'''메가'''는 원 안에 2를 쓴 수(②)이다.
'''메기스톤'''은 원 안에 10을 쓴 수(⑩)이다.

'''모서 수'''(Moser's number^영어)는 "메가곤 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, '''메가곤'''은 "메가"각형을 의미하며, 백만각형(megagon^영어)과 혼동해서는 안 된다.

다른 표기법은 다음과 같다.

함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다.
$M(n, m, p)$ 를 중첩된 $p$ 각형 $m$ 개 안에 $n$ 을 쓴 수를 의미한다고 할 때, 규칙은 다음과 같다.
$M(n,1,3) = n^n$
$M(n,1,p+1) = M(n,n,p)$
$M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)$
그리고
메가 = $M(2,1,5)$
메기스톤 = $M(10,1,5)$
모서 = $M(2,1,M(2,1,5))$

3. 1. 메가

메가는 스테인하우스-모서 표기법에서 원 안에 2를 쓴 수(②)로 정의된다. 이는 2를 2겹의 사각형 안에 넣은 수와 같다.

다른 표기법으로 나타내면 다음과 같다:

mega = M(2, 1, 5) = 2[5] = 2[4]₂

메가(②)는 그 자체로도 매우 큰 수이다. 다음은 메가를 구하는 과정을 보여준다.

② = square(square(2))

= square(triangle(triangle(2)))

= square(triangle(2²))

= square(triangle(4))

= square(4⁴)

= square(256)

= triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256개의 삼각형]

= triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255개의 삼각형]

≈ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2E)...))) [254개의 삼각형]

...

여기서,

square(x)는 x를 삼각형 안에 넣는 함수
triangle(x)는 x를 x겹의 삼각형 안에 넣는 함수

다른 표기법을 사용하면:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수

f(x) = x^x

를 사용하면, mega =

f^{256}(256) = f^{258}(2)

이고, 이때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 함수의 거듭제곱을 의미한다.

다음과 같은 관계가 성립한다:

M(256, 2, 3) = $(256^{256})^{256^{256}} = 256^{256^{257}}$
M(256, 3, 3) ≈ $256^{256^{256^{257}}}$
M(256, 4, 3) ≈ $256^{256^{256^{256^{257}}}}$
M(256, 5, 3) ≈ $256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}$

따라서, mega =

M(256, 256, 3) \approx (256\uparrow)^{256}257

이고, 여기서

(256\uparrow)^{256}

는 함수

f(n) = 256^n

의 함수 거듭제곱을 의미한다.

커누스 윗화살표 표기법으로 근사하면, mega ≈

256\uparrow\uparrow 257

이다.

처음 몇 단계 이후

n^n

의 값은 근사적으로

256^n

과 같아진다. 사실은

10^n

과도 같아진다. 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:

$M(256,1,3)\approx$ 3.23E
$M(256,2,3)\approx10^{1.99\times10^{619}}$
$M(256,3,3)\approx10^{10^{1.99\times10^{619}}}$
$M(256,4,3)\approx10^{10^{10^{1.99\times10^{619}}}}$

...

mega = $M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^{255}$ 1.99E

따라서

10\uparrow\uparrow 257 < \text{mega} < 10\uparrow\uparrow 258

이다.

3. 2. 메지스톤

는 '''메지스톤'''(megiston)이라고 하며, 10을 10겹의 사각형 안에 넣은 수와 같다. 다른 표기법으로는 megiston = M(10,1,5) = 10[5] = 10[4]₁₀ 와 같이 나타낼 수 있다.

3. 3. 모저 수

'''모저 수'''(Moser's number^영어)는 "메가곤 안에 2를 쓴 수"를 나타낸다. 여기서 '''메가곤'''은 "메가"각형을 의미하며, 백만각형(megagon)과는 다르다.

다른 표기법으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

함수 square(x)와 triangle(x)를 사용
$M(n, m, p)$ 를 중첩된 $p$ 각형 $m$ 개 안에 $n$ 을 쓴 수를 의미한다.
$M(n, 1, 3) = n^n$
$M(n, 1, p+1) = M(n, n, p)$
$M(n, m+1, p) = M(M(n, 1, p), m, p)$
moser = M(2, 1, M(2, 1, 5)) = 2[M(2, 1, 5)] = 2[2[5]] = 2[②]

모서 수는 매우 큰 수로, 콘웨이 연쇄 화살표 표기법이나 커누스 윗화살표 표기법으로 표현할 수 있다.

$\mathrm{moser} < 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2$
$\mathrm{moser} < f^{3}(4) = f(f(f(4))), \text{ where } f(n) = 3 \uparrow^n 3$

모서 수는 그레이엄 수보다는 훨씬 작다.

$\mathrm{moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < f^{64}(4) = \text{Graham's number}.$

4. 다른 표기법

함수 square(x)^영어와 triangle(x)^영어를 사용한다.
''M''(''n'', ''m'', ''p'')를 ''n''이 ''m''개의 중첩된 ''p''각형으로 표현되는 수라고 하면, 규칙은 다음과 같다.
$M(n,1,3) = n^n$
$M(n,1,p+1) = M(n,n,p)$
$M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)$
그리고
메가 = $M(2,1,5)$
메기스톤 = $M(10,1,5)$
모서 = $M(2,1,M(2,1,5))$

요크 대학교의 수잔 스텝니교수는 다음과 같은 표기를 사용하고 있다.

''p'' 각형 안의 ''n''을 $n[p]\,$ 로 표기한다.
$[\ldots]$ 은 필요한 만큼 반복할 수 있다. 예를 들어, ''p'' 각형 안의 ''q'' 각형 안의 ''n''은 $n[q][p]\,$ 로 표기한다.
''k'' 겹의 ''p'' 각형 안의 ''n''을 $n[p]_k\,$ 로 표기한다. 즉,

::

n[p]_k = n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k

:이다.

이를 사용하면 다각형 표기의 정의는 다음과 같다.

= ''n''[3] = ''n''^''n''
= ''n''[4] = ''n''[3]_''n''
= = ''n''[5] = ''n''[4]_''n''
일반적으로 ''n''[''m''] = ''n''[''m''−1]_''n'' (m이 4 이상인 경우)

다른 예시:

53x53px = ''n''[3]₄

스테인하우스와 모서가 정의한 거대 수는 다음과 같이 표기할 수 있다.

(메가) = 2[5]
(메지스톤) = 10[5]
모서 수 = 2[2[5]] = 2

5. 계산

스테인하우스는 다음과 같이 정의했다.

'''mega'''는 원 안에 2를 쓴 수이다: ②
'''megiston'''은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩

'''모서 수'''(Moser's number^영어)는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, '''megagon'''은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형(megagon^영어)과 혼동해서는 안 된다.

다른 표기법으로는 함수 square(x)와 triangle(x)를 사용하거나,

M(n, m, p)

를 중첩된

p

각형

m

개 안에

n

을 쓴 수로 나타낼 수 있다. 이 때 규칙은 다음과 같다.

$M(n,1,3) = n^n$
$M(n,1,p+1) = M(n,n,p)$
$M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)$

그리고

mega = $M(2,1,5)$
megiston = $M(10,1,5)$
moser = $M(2,1,M(2,1,5))$

계산은 왼쪽에서부터 진행된다.^[4]

5. 1. Mega (메가) 계산

메가(mega)는 스테인하우스-모서 표기법에서 매우 큰 수를 나타내는 표기법 중 하나이다. 메가는 로 표현되며, 이는 2[5]와 같다. 이를 계산하는 과정은 다음과 같다:

= 2[5] = 2[4]₂ = 256[4] = 256[3]₂₅₆

256[3]_n을 단계별로 계산하면 다음과 같다:

단계	계산	근사값 ( 커누스 윗화살표 표기법 )
1	$256[3] = 256^{256} \approx 3.23 \times 10^{616}$	$256 \uparrow 256$
2	$256[3]_2 = 256^{256^{257}}$	$(256 \uparrow)^2 257$
3	$256[3]_3 \fallingdotseq 256^{256^{256^{257}}}$	$(256 \uparrow)^3 257$
...	...	...
256	$256[3]_{256} \approx (256\uparrow)^{256} 257$	$256 \uparrow\uparrow 257$

여기서 지수 타워의 "근사"에서는

: $256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg 256^{256^{256^{257}}}$

이며, "지수 타워 역설"이라고 불릴 정도로 큰 차이가 남을 주의해야 한다.

최종적으로 메가는 다음과 같이 근사할 수 있다:

= 256[3]₂₅₆ ≒ (256↑)²⁵⁶ 257 ≒ 256↑↑257

하지만 실제로는 메가가

256\uparrow\uparrow 257

보다 훨씬 크다.

십진 표기법을 사용하면, 메가는 다음과 같이 표현할 수 있다:

메가 = $M(256, 256, 3) \approx (10\uparrow)^{255} 1.99 \times 10^{619}$

따라서 메가는 다음 범위에 있다:

$10\uparrow\uparrow 257 <$ 메가 $< 10\uparrow\uparrow 258$

5. 2. Megiston (메지스톤) 계산

은(는) 10[5] 또는 10[4]₁₀으로 표현된다. 스타인하우스가 사용한 메가(mega)의 근사 방식과 유사하게, 다음 근사식을 적용할 수 있다.

:

a[4]\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left(a+1 \right) \fallingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \text{ when } \ a \gg 1

(*)

이에 따라, 10[4]는 다음과 같이 근사된다.

:

10[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 11

:

10[4]_2 = 10[4][4] \fallingdotseq \left(10\uparrow\uparrow 11\right)\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11\right)

일반적인 ''a'', ''b'', ''n''에 대해, ''a''↑''b'' = ''a^b''임을 고려하여 다음 식을 생각한다.

:

\begin{align}\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n & = \left(a\uparrow\uparrow b\right)\uparrow \left\{\left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right\} \\& = \left[a\uparrow \left\{ a\uparrow \left(b-1\right) \right\} \right]\uparrow \left\{ \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right\} \\& = a\uparrow \left[ \left\{ a\uparrow \left(b-1\right) \right\} + \left(a\uparrow\uparrow b\right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right] \\\end{align}

''a''와 ''b''가 충분히 크다면, 다음이 성립한다.

:

a\uparrow \left(b-1 \right) \ll \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1 \right)

따라서, 다음 근사식을 얻을 수 있다.

:

\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n \fallingdotseq a\uparrow \left\{ \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1 \right) \right\}

이 과정을 ''n''이 1이 될 때까지 반복하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n &\fallingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{ \left(n-1\right) \text{ copies of } a }\uparrow \left \{ \left(a\uparrow\uparrow b\right) \uparrow\uparrow 1 \right \} \\&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{\left(n-1\right) \text{ copies of } a } \uparrow \left(a\uparrow\uparrow b \right) \\&\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left \{ \left(n-1\right) + b \right \}\end{align}

결과적으로, ''n'' ≫ ''b''일 때, 다음 근사식을 얻는다.

:

\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n \fallingdotseq a\uparrow\uparrow n

(**)

(**)를 사용하여 10[4]₂를 다시 근사하면 다음과 같다.

:

10[4]_2 \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right)

이하 마찬가지로 (*)와 (**)를 반복 적용하면,

:

\begin{align}10[4]_3 = 10[4]_2[4] &\fallingdotseq \left \{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\}\uparrow\uparrow \left\{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\} \\&\fallingdoteq 10\uparrow\uparrow \left\{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\} \\&= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 \\&= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^3 11\end{align}

:

10[4]_4 = 10[4]_3[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^4 11

:

10[4]_5 = 10[4]_4[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = \left(10 \uparrow\uparrow \right)^5 11

따라서,

:

10[4]_{10} \fallingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^{10} 11

이므로, 메지스톤은 대략 다음과 같이 근사할 수 있다.

≒ 10↑↑↑11

하지만, 실제로는 메가와 마찬가지로,

≫ (10↑↑)¹⁰ 11 ≫ 10↑↑↑11

이다.

5. 3. 모저 수 계산

모저 수는 2[2[5]] = 2로, 메가보다 훨씬 큰 수이다. 콘웨이 연쇄 화살표 표기법과 크누스 윗화살표 표기법으로 근사값을 구할 수 있다. 모저 수는 대략 3↑↑↑...(-2개)...↑↑↑3 에 근사한다.^[4]

콘웨이 연쇄 화살표 표기법에서, 모저 수는 3 → 3 → 4 → 2 보다 작다.

크누스 윗화살표 표기법에서, 모저 수는 f³(4) = f(f(f(4))) 보다 작고, 여기서 f(n) = 3 ↑ⁿ 3 이다.

따라서 모저 수는 매우 크지만 그레이엄 수에 비해서는 매우 작다.^[2] 모저 수는 3 → 3 → 64 → 2 보다 훨씬 작고, 그레이엄 수는 f⁶⁴(4) 이다.

모저 수는 2 이다. 보다 훨씬 크며, 보다도 훨씬 크다.

1998년 Tim Chow는 모저 수가 그레이엄 수보다 압도적으로 작다는 것을 증명했다.^[4] 이 증명에 따르면, 모저 수 ''M''은 콘웨이 연쇄 화살표 표기법, 크누스 윗화살표 표기법, 하이퍼 연산자를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: M < 3 → 3 → ((3 → 3 → 5) × 2 - 1) = 3 → 2 → ((3 → 3 → 5) × 2) = 3 → 2 → ((3 → 2 → 6) × 2) = 3 ↑^{(3 ↑⁴ 3 ↑⁴ 3 ) × 2}2 = 3 ↑^{(3 ↑³ 3↑⁴(3 ↑⁴ 3-1) ) × 2 - 1}3 = 3 ↑^{3^{3 ↑↑ (3 ↑³ (3↑⁴(hyper(3, 6, 3)-1)-1)-1)} × 2}2

6. 참고: 큰 수의 비교

스테인하우스-모서 표기법으로 표현되는 수들은 매우 크지만, 그레이엄 수와 같은 다른 큰 수들에 비해서는 상대적으로 작은 크기를 갖는다. 모서 수는 그레이엄 수보다 훨씬 작다.^[2]

참조

_[1] 서적 Mathematical Snapshots Oxford University Press 1969
_[2] 웹사이트 Proof that G >> M http://www-users.cs.[...]
_[3] 문서
_[4] 웹사이트 http://www-users.cs.[...]

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