스펙트럼 반지름

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1. 개요

스펙트럼 반지름은 복소 정방 행렬의 고유값 절댓값 중 최댓값으로 정의되며, 바나흐 환의 원소나 유계 선형 연산자로 확장될 수 있다. 스펙트럼 반지름은 행렬의 거듭제곱 수열의 수렴성을 결정하며, 겔판트 공식을 통해 계산할 수 있다. 또한, 그래프의 인접 행렬의 스펙트럼 반지름으로 그래프의 스펙트럼 반지름을 정의하기도 한다.

스펙트럼 반지름

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 그래프의 스펙트럼 반지름
6. 관련 문서

2. 정의

복소 정방 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 의 고윳값을 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 이라고 할 때, A의 스펙트럼 반지름 ρ(A)는 다음과 같이 정의된다.

: $\rho(A) := \max_i(|\lambda_i|)$

일반적으로, 복소수 바나흐 대수의 원소 A에 대하여 스펙트럼 σ(A) = {λ ∈ C | I λ - A는 역행렬을 갖지 않음} 에 포함되는 수의 절댓값의 상한 ρ(A) 이 A 의 스펙트럼 반지름이라고 불린다(여기서 I는 바나흐 대수의 단위원소이다).

유계 작용소 A 와 작용소 노름 ||·|| 에 대하여, 다음 식이 성립한다.

: $\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.$

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소는, 그 스펙트럼 반지름이 수치역반경과 일치하는 경우, 스펙트럼형 작용소(spectraloid operator^영어)라고 불린다. 이러한 작용소의 예로는 정규 작용소가 있다.

2.1. 행렬

복소 정방 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 의 고윳값을 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 이라고 할 때, 스펙트럼 반지름 $\rho(A)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\rho(A) = \max \left \{ |\lambda_1|, \dotsc, |\lambda_n| \right \}.$

즉, 행렬의 스펙트럼 반지름은 고윳값의 절댓값 중 최댓값이다.

스펙트럼 반지름은 행렬의 모든 노름의 하한으로 생각할 수 있다. 실제로, 모든 자연 행렬 노름 $\|\cdot\|$ 에 대해 $\rho(A) \leqslant \|A\|$ 이고, 겔판드의 공식에 따르면 $\rho(A) = \lim_{k\to\infty} \|A^k\|^{1/k}$ 이다.

그러나 스펙트럼 반지름은 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$ 를 반드시 만족하는 것은 아니다. 그 이유를 알기 위해, $r > 1$ 을 임의로 선택하고 행렬

: $C_r = \begin{pmatrix} 0 & r^{-1} \\ r & 0 \end{pmatrix}$

을 고려하자. $C_r$ 의 특성 다항식은 $\lambda^2 - 1$ 이므로, 고유값은 $\{-1, 1\}$ 이고 따라서 $\rho(C_r) = 1$ 이다. 그러나 $C_r \mathbf{e}_1 = r \mathbf{e}_2$ 이다. 결과적으로,

: $\| C_r \mathbf{e}_1 \| = r > 1 = \rho(C_r) \|\mathbf{e}_1\|.$

겔판드 공식의 예시로, $k$ 가 짝수이면 $C_r^k = I$ 이고, $k$ 가 홀수이면 $C_r^k = C_r$ 이므로 $\|C_r^k\|^{1/k} \to 1$ ( $k \to \infty$ )임을 주목하자.

$A$ 가 에르미트 행렬이고 $\|\cdot\|$ 가 유클리드 노름일 때, 모든 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$ 인 특별한 경우가 있다. 이는 모든 에르미트 행렬이 유니터리 행렬에 의해 대각화 가능하고, 유니터리 행렬이 벡터 길이를 보존하기 때문이다. 결과적으로,

: $\|A\mathbf{v}\| = \|U^*DU\mathbf{v}\| = \|DU\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|U\mathbf{v}\| = \rho(A) \|\mathbf{v}\| .$

2.2. 유계 선형 연산자

바나흐 공간에서 정의된 유계 선형 연산자 $A$ 의 스펙트럼은 다음과 같이 정의된다.

: $\sigma(A) = \left\{ \lambda \in \Complex: A - \lambda I \; \text{is not bijective} \right\}$

여기서 $I$ 는 항등 연산자이다.

스펙트럼 반지름은 스펙트럼 원소의 절댓값의 상한으로 정의된다.

: $\rho(A) = \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda|$

2.3. 그래프

유한 그래프의 스펙트럼 반지름은 해당 인접 행렬의 스펙트럼 반지름으로 정의된다.

이 정의는 꼭짓점의 차수가 제한된 무한 그래프의 경우로 확장된다(즉, 그래프의 모든 꼭짓점의 차수가 C보다 작은 실수 C가 존재한다). 이 경우 그래프 G에 대해 다음을 정의한다.

: $\ell^2(G) = \left \{ f : V(G) \to \mathbf{R} \ : \ \sum\nolimits_{v \in V(G)} \left \|f(v)^2 \right \| < \infty \right \}.$

γ를 G의 인접 연산자라고 하자.

: $\begin{cases} \gamma : \ell^2(G) \to \ell^2(G) \\ (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) \end{cases}$

G의 스펙트럼 반지름은 유계 선형 연산자 γ의 스펙트럼 반지름으로 정의된다.

3. 성질

복소수 바나흐 대수의 원소 A에 대해 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의된다.

: $\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.$

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소가 그 스펙트럼 반지름이 numerical radius^영어과 일치하면, spectraloid operator^영어라고 부른다. 정규 작용소가 이러한 작용소의 예시이다.

행렬 $A$ 의 스펙트럼 반지름은 모든 행렬 노름의 하한으로 생각할 수 있다. 모든 자연 행렬 노름 $\|\cdot\|$ 에 대해 $\rho(A) \leqslant \|A\|$ 이고, 겔판트의 공식에 따르면 $\rho(A) = \lim_{k\to\infty} \|A^k\|^{1/k}$ 이다.

하지만, 스펙트럼 반지름은 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$ 를 항상 만족하는 것은 아니다.

$A$ 가 에르미트 행렬이고 $\|\cdot\|$ 가 유클리드 노름이면, 모든 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$ 가 성립하는 특별한 경우가 있다. 이는 모든 에르미트 행렬이 유니터리 행렬로 대각화 가능하고, 유니터리 행렬은 벡터 길이를 보존하기 때문이다.

바나흐 공간에서 정의된 유계 선형 연산자 맥락에서, 고윳값은 연산자의 스펙트럼의 원소로 대체된다. 스펙트럼은 다음과 같이 나타낸다.
: $\sigma(A) = \left\{ \lambda \in \Complex: A - \lambda I \; \text{is not bijective} \right\}$

스펙트럼 반지름은 스펙트럼 원소의 절댓값의 상한으로 정의된다.
: $\rho(A) = \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda|$

3.1. 행렬의 스펙트럼 반지름과 여러 가지 성질

복소수 바나흐 대수의 원소 A에 대하여, 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의된다.

: $\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.$

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소는, 그 스펙트럼 반지름이 numerical radius^영어과 일치하는 경우, spectraloid operator^영어라고 불린다. 이러한 작용소의 예로는 정규 작용소가 있다.

행렬 $A$ 의 스펙트럼 반지름은 행렬의 모든 노름의 하한으로 생각할 수 있다. 실제로, 모든 자연 행렬 노름 $\|\cdot\|$ 에 대해 $\rho(A) \leqslant \|A\|$ 이고, 겔판드의 공식에 따르면 $\rho(A) = \lim_{k\to\infty} \|A^k\|^{1/k}$ 이다.

그러나 스펙트럼 반지름은 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$ 를 반드시 만족하는 것은 아니다.

$A$ 가 에르미트 행렬이고 $\|\cdot\|$ 가 유클리드 노름일 때, 모든 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $\|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\|$ 인 특별한 경우가 있다. 이는 모든 에르미트 행렬이 유니터리 행렬에 의해 대각화 가능하고, 유니터리 행렬이 벡터 길이를 보존하기 때문이다.

바나흐 공간에서 정의된 유계 선형 연산자 의 맥락에서, 고유값은 연산자의 스펙트럼의 원소로 대체되어야 한다. 스펙트럼은 다음과 같이 나타낸다.
: $\sigma(A) = \left\{ \lambda \in \Complex: A - \lambda I \; \text{is not bijective} \right\}$

스펙트럼 반지름은 스펙트럼 원소의 크기의 상한으로 정의된다.
: $\rho(A) = \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda|$

겔판트 공식(Gelfand's formula)은 스펙트럼 반지름 공식이라고도 하며, 유계 선형 연산자에도 적용된다. $\|\cdot\|$ 를 연산자 노름이라고 하면, 다음이 성립한다.
: $\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{\frac{1}{k}}=\inf_{k\in\mathbb{N}^*} \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$

다음 명제는 행렬의 스펙트럼 반지름에 대한 간단하지만 유용한 상한을 제공한다.

명제. 스펙트럼 반지름이 $\rho(A)$ 이고 일관 행렬 노름이 $\|A\|$ 인 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 주어질 때, 각 정수 $k \geqslant 1$ 에 대해 다음이 성립한다.

:: $\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$

3.2. 겔판트 공식 (Gelfand's formula)

이스라엘 젤판트의 이름을 따서 명명된 겔판트 공식(Gelfand's formula)은 행렬 노름의 극한으로 스펙트럼 반지름을 제공한다.

임의의 행렬 노름 $\|\cdot\|$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\rho(A)=\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}$ .

또한, 일관성 있는 행렬 노름의 경우 $\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}$ 는 위에서부터 $\rho(A)$ 에 접근한다(실제로, 그 경우 모든 $k$ 에 대해 $\rho(A) \leq \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}$ 이다).

임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해, 다음 두 행렬을 정의한다.

: $A_{\pm}= \frac{1}{\rho(A) \pm\varepsilon}A.$

따라서,

: $\rho \left (A_{\pm} \right ) = \frac{\rho(A)}{\rho(A) \pm \varepsilon}, \qquad \rho (A_+) < 1 < \rho (A_-).$

$\lim_{k \to \infty} A_+^k=0.$ 이므로,

모든 $k \ge N_+$ 에 대해, $N_+ \in \mathbb{N}$ 이 존재하여,

: $\left\|A_+^k \right \| < 1.$

임을 보일 수 있다.

그러므로,

: $\left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} < \rho(A)+\varepsilon.$

마찬가지로, $\|A_-^k\|$ 가 유계가 아니며, 모든 $k \ge N_-$ 에 대해, $N_- \in \mathbb{N}$ 이 존재하여

: $\left\|A_-^k \right \| > 1.$

임을 함축한다.

그러므로,

: $\left\|A^k \right\|^{\frac{1}{k}} > \rho(A)-\varepsilon.$

$N = \max\{N_+, N_-\}$ 라고 하면,

: $\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbf{N} \quad \forall k\geq N \quad \rho(A)-\varepsilon < \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} < \rho(A)+\varepsilon,$

즉,

: $\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} = \rho(A).$

이다.

3.3. 거듭제곱 수열의 수렴성

복소 행렬 $A$ 에 대해 다음 정리가 성립한다.

정리: $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 이고 스펙트럼 반지름이 $\rho(A)$ 라고 하면, $\rho(A) < 1$ 인 경우 그리고 그러한 경우에만 다음이 성립한다.

: $\lim_{k \to \infty} A^k = 0.$

반면에, $\rho(A) > 1$ 이면, $\lim_{k \to \infty} \|A^k\| = \infty$ 이다. 이 명제는 $\mathbb{C}^{n \times n}$ 에 대한 모든 행렬 노름 선택에 적용된다.

증명

$A^k$ 가 $k$ 가 무한대로 갈 때 0으로 수렴한다고 가정하고, $\rho(A) < 1$ 임을 보이자. $(v, \lambda)$ 를 $A$ 의 고유벡터-고유값 쌍이라고 하면, $A^k v = \lambda^k v$ 이므로 다음을 얻는다.

: $\begin{align}0 &= \left(\lim_{k \to \infty} A^k \right) \mathbf{v} \\&= \lim_{k \to \infty} \left(A^k\mathbf{v} \right ) \\&= \lim_{k \to \infty} \lambda^k\mathbf{v} \\&= \mathbf{v} \lim_{k \to \infty} \lambda^k\end{align}$

가정에 의해 $v \ne 0$ 이므로, 다음을 얻어야 한다.

: $\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0,$

이는 $|\lambda| < 1$ 임을 의미한다. 이는 모든 고유값 $\lambda$ 에 대해 참이어야 하므로, $\rho(A) < 1$ 이라고 결론 내릴 수 있다.

이제 $A$ 의 반지름이 1보다 작다고 가정하자. 조르당 표준형 정리에 따르면, 모든 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 에 대해, $V, J \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 존재하며 $V$ 는 비특이 행렬이고, $J$ 는 블록 대각 행렬이다. 즉, 다음을 만족한다.

: $A = VJV^{-1}$

여기서

: $J=\begin{bmatrix}J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)\end{bmatrix}$

이고,

: $J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i\end{bmatrix}\in \mathbf{C}^{m_i \times m_i}, 1\leq i\leq s.$

다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

: $A^k=VJ^kV^{-1}$

그리고 $J$ 가 블록 대각 행렬이므로,

: $J^k=\begin{bmatrix}J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)\end{bmatrix}$

이제, $m_i \times m_i$ 조르당 블록의 $k$ 거듭제곱에 대한 표준 결과는, $k \geq m_i-1$ 일 때 다음과 같다.

: $J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k\end{bmatrix}$

따라서, $\rho(A) < 1$ 이면, 모든 $i$ 에 대해 $|\lambda_i| < 1$ 이다. 따라서 모든 $i$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0$

이는 다음을 의미한다.

: $\lim_{k \to \infty} J^k = 0.$

그러므로,

: $\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V \left (\lim_{k \to \infty}J^k \right )V^{-1}=0$

반면에, $\rho(A)>1$ 이면, $k$ 가 증가함에 따라 $J$ 안에 있는 적어도 하나의 요소가 경계로 유지되지 않으므로, 명제의 두 번째 부분을 증명한다.

결론적으로 스펙트럼 반지름은 행렬의 거듭제곱 수열의 수렴성과 밀접하게 관련되어 있다.

3.4. 상한

스펙트럼 반지름은 행렬의 노름에 의해 다음과 같이 제한된다.

명제. 스펙트럼 반지름이 $\rho(A)$ 이고 일관 행렬 노름이 $\|\cdot\|$ 인 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 주어지면, 각 정수 $k \geqslant 1$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$

증명

$(\mathbf{v}, \lambda)$ 를 행렬 A의 고유벡터-고유값 쌍이라고 하자. 행렬 노름의 하위 곱셈성에 의해 다음을 얻는다.

: $|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|.$

$\mathbf{v} \neq 0$ 이므로 다음을 얻는다.

: $|\lambda|^k \leq \|A^k\|$

따라서

: $\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.$

이것으로 증명이 완료된다.

복소 행렬의 스펙트럼 반지름과 임의의 행렬 노름 ||·||에 관하여, 다음 식이 성립한다(Gelfand, 1941).

: $\rho(\boldsymbol{A})=\lim_{k \to \infty}\|\boldsymbol{A}^k\|^{1/k}.$

이 정리는 다음과 같이 증명된다. ε > 0을 임의의 양의 실수라고 하자. 이 때,

: $\tilde{\boldsymbol{A}}=(\rho(\boldsymbol{A}) + \epsilon)^{-1} \boldsymbol{A}.$

에 대해

: $\rho(\tilde{\boldsymbol{A}}) = \frac{\rho(\boldsymbol{A})}{\rho(\boldsymbol{A})+\epsilon} < 1$

이므로, #등비수열의 수렴에 의해,

: $\lim_{k \to \infty}\tilde{\boldsymbol{A}}^k=0$

이 성립한다. 따라서, 어떤 자연수 $N_1 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여,

: $\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{\boldsymbol{A}}^k\| < 1$

이 성립한다. 이는

: $\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\boldsymbol{A}^k\|^{1/k} < \rho(\boldsymbol{A})+\epsilon.$

를 나타낸다. 마찬가지로

: $\check{\boldsymbol{A}} = \frac{\boldsymbol{A}}{\rho(\boldsymbol{A}) - \epsilon}$

를 고려함으로써, 어떤 자연수 $N_1 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여,

: $\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\check{\boldsymbol{A}}^k\| > 1$

임을 알 수 있다. 이상의 내용으로부터

: $\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(\boldsymbol{A}) - \epsilon < \|\boldsymbol{A}^k\|^{1/k} < \rho(\boldsymbol{A})+\epsilon$

가 성립하는데, 이는

: $\lim_{k \to \infty}\|\boldsymbol{A}^k\|^{1/k} = \rho(\boldsymbol{A})$
임을 나타낸다.

또한 ||·||가 일관성을 가질 경우, 임의의 복소 행렬 $A \in M_n \mathbb{C}$ 과 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해

: $\rho(A)\leq \|\boldsymbol{A}^k\|^{1/k}$

이 성립한다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. A의 고유 벡터 $\mathbf{v}$ 와 대응하는 고유값 $\lambda$ 에 대하여, 행렬 노름의 일관성으로부터 다음 식을 얻는다.

: $|\lambda|^k\|\boldsymbol{v}\| = \|\lambda^k \boldsymbol{v}\| = \|\boldsymbol{A}^k \boldsymbol{v}\| \leq \|\boldsymbol{A}^k\|\cdot\|\boldsymbol{v}\|$

여기서, $\mathbf{v} \neq 0$ 이므로, 임의의 고유값 λ에 대해 다음 식을 얻는다.

: $|\lambda|^k\leq \|\boldsymbol{A}^k\|$

따라서,

: $\rho(\boldsymbol{A})\leq \|\boldsymbol{A}^k\|^{1/k}$

이 성립한다. 또한, 힐베르트 공간 상의 작용소 노름에 대해서는

: $\rho(\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}) = \| \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A} \| = \| \boldsymbol{A} \|^2$
이 성립한다.

Gelfand의 공식은, 유한 개의 행렬의 곱의 스펙트럼 반지름에 대해서도 고려할 수 있다. 모든 행렬이 교환 가능하다고 가정하면, 다음 식을 얻는다.

: $\rho(\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{A}_2 \dotsb \boldsymbol{A}_n) \leq \rho(\boldsymbol{A}_1) \rho(\boldsymbol{A}_2) \dotsb \rho(\boldsymbol{A}_n).$

3.5. 대칭 행렬

실수 값을 갖는 대칭 행렬 $A$ 에 대해, $\rho(A) = {\|A\|}_{2}$ 가 성립한다. 여기서 ${\|\cdot\|}_{2}$ 는 스펙트럼 노름을 나타낸다.

정리. $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 을 대칭 행렬, 즉 $A = A^T$ 라고 하자. 그러면 $\rho(A) = {\|A\|}_{2}$ 가 성립한다.

증명

$(v_i, \lambda_i)_{i=1}^{n}$ 을 A의 고유쌍이라고 하자. A의 대칭성으로 인해, 모든 $v_i$ 와 $\lambda_i$ 는 실수 값을 가지며, 고유 벡터 $v_i$ 는 정규 직교이다. 스펙트럼 노름의 정의에 의해, $x \in \mathbb{R}^{n}$ 이 존재하여 ${\|x\|}_{2} = 1$ 이고 ${\|A\|}_{2} = {\| A x \|}_{2}$ 이다. 고유 벡터 $v_i$ 는 $\mathbb{R}^{n}$ 의 기저를 형성하므로, 계수 $\delta_{1}, \ldots, \delta_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ 이 존재하여 $\textstyle x = \sum_{i = 1}^{n} \delta_{i} v_{i}$ 가 성립하며, 이는 $A x = \sum_{i = 1}^{n}\delta_{i} A v_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \delta_{i} \lambda_{i} v_{i}$ 를 의미한다.

고유 벡터 $v_i$ 의 정규 직교성으로부터 다음이 성립한다.

: ${\| A x\|}_{2} = \| \sum_{i = 1}^{n} \delta_{i} \lambda_{i} v_{i}\|_{2} = \sum_{i = 1}^{n}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\cdot

👆

좌우로 밀어서 보기

\cdot {\| v_{i}\|}_{2} = \sum_{i = 1}^{n}

👆

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\cdot

👆

좌우로 밀어서 보기

그리고

:

{\|x\|}_{2} = \| \sum_{i = 1}^{n} \delta_{i} v_{i} \|_{2} = \sum_{i = 1}^{n}

👆

좌우로 밀어서 보기

\cdot {\| v_{i} \|}_{2} = \sum_{i = 1}^{n}

👆

좌우로 밀어서 보기

x

는

{\|Ax\|}_{2}

를 최대화하면서

{\|x\|}_{2} = 1

을 만족하도록 선택되었으므로,

\delta_{i}

의 값은

\textstyle \sum_{i = 1}^{n}

👆

좌우로 밀어서 보기

\cdot

👆

좌우로 밀어서 보기

를 최대화하면서

\textstyle \sum_{i = 1}^{n}

👆

좌우로 밀어서 보기

= 1을 만족해야 한다. 이는

k = \mathrm{arg\,max}_{i=1}^{n}

👆

좌우로 밀어서 보기

에 대해

\delta_{k} = 1

로 설정하고, 그렇지 않은 경우

\delta_{i} = 0

으로 설정함으로써 달성되며,

{\|Ax\|}_{2} =

👆

좌우로 밀어서 보기

= \rho(A)의 값을 얻는다.

3.6. 교환 행렬

만약 $A_1, \ldots, A_n$ 가 모두 교환하는 행렬이라면, 다음이 성립한다.

: $\rho(A_1 \cdots A_n) \leq \rho(A_1) \cdots \rho(A_n).$

4. 예시

다음 행렬을 보자.

: $A=\begin{bmatrix}9 & -1 & 2\\-2 & 8 & 4\\1 & 1 & 8\end{bmatrix}$

이 행렬의 고윳값은 5, 10, 10이므로, 스펙트럼 반지름은 $\rho(A) = 10$ 이다. 겔판트 공식에 따라, $\|A^k\|^{1/k}$ 는 $k$ 가 증가함에 따라 10에 수렴한다.

아래 표는 k값의 변화에 따른 $\|A^k\|^{\frac{1}{k}}$ 의 값을 나타낸다. (이 행렬의 특성상 $\|.\|_1=\|.\|_\infty$ 이다.)

👆

좌우로 밀어서 보기

$\| A^k \|^{1/k}$
k	\>.\\|_1=\\|.\\|_\infty	\>.\\|_F	\>.\\|_2
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

5. 그래프의 스펙트럼 반지름

유한 그래프의 스펙트럼 반지름은 해당 인접 행렬의 스펙트럼 반지름으로 정의된다.

이 정의는 꼭짓점의 차수가 제한된 무한 그래프의 경우로 확장된다(즉, 그래프의 모든 꼭짓점의 차수가 C^영어보다 작은 실수 C^영어가 존재한다). 이 경우 그래프 G^영어에 대해 다음을 정의한다.

: $\ell^2(G) = \left \{ f : V(G) \to \mathbf{R} \ : \ \sum\nolimits_{v \in V(G)} \left \|f(v)^2 \right \| < \infty \right \}.$

γ^영어를 G^영어의 인접 연산자라고 하자.

: $\begin{cases} \gamma : \ell^2(G) \to \ell^2(G) \\ (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) \end{cases}$

G^영어의 스펙트럼 반지름은 유계 선형 연산자 γ^영어의 스펙트럼 반지름으로 정의된다.

그래프의 스펙트럼 반지름에 대한 상한은 정점의 수 n과 변의 수 m으로 나타낼 수 있으며, 이는 여러 가지가 존재한다. 예를 들어,

: $\frac{(k-2)(k-3)}{2} \leq m-n \leq \frac{k(k-3)}{2}$

이며, 여기서 $3 \le k \le n$ 는 정수일 때,

: $\rho(G) \leq \sqrt{2 m-n-k+\frac{5}{2}+\sqrt{2 m-2 n+\frac{9}{4}}}$

6. 관련 문서

* 작용소환론
* 바나흐 공간