유계 작용소
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1. 개요
유계 작용소는 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환으로, 유계 집합을 유계 집합으로 변환하는 특징을 가진다. 유계 작용소는 모든 연속 선형 변환을 포함하며, 노름 공간에서는 연속성과 유계성이 동치이다. 유계 작용소의 공간에는 균등 위상, 강한 작용소 위상, 약한 작용소 위상 등의 위상이 부여될 수 있으며, 작용소 노름을 통해 노름 공간을 형성하기도 한다. 유한 차원 노름 공간 사이의 선형 변환, 시프트 연산자, 라플라스 연산자 등이 유계 작용소의 예시이다.
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유계 작용소 | |
---|---|
일반 정보 | |
분야 | 함수해석학 |
하위 분야 | 선형 연산자 이론 |
정의 | |
동치 정의 | 연산자가 유계 연산자이다. 연산자가 연속이다. 연산자가 0에서 연속이다. |
성질 | |
연산자 노름 | 유계 선형 연산자들의 공간은 연산자 노름에 대해 바나흐 공간을 이룬다. |
역함수 | 전단사 유계 선형 연산자의 역함수는 유계 선형 연산자이다 (역사상 정리). |
힐베르트 공간 | 힐베르트 공간 위의 유계 선형 연산자는 딸림 연산자를 갖는다. |
스펙트럼 | 유계 선형 연산자의 스펙트럼은 콤팩트 집합이다. |
예시 | |
곱셈 연산자 | 임의의 측도 공간 위의 L^p 공간에 대한 곱셈 연산자는 유계 선형 연산자이다. |
적분 연산자 | 적분핵이 제곱 적분 가능한 함수인 적분 연산자는 L^2 공간에 대한 유계 선형 연산자이다. |
2. 정의
위상체 위의 두 위상 벡터 공간 , 가 주어졌을 때, -선형 변환 가 다음 조건을 만족시키면 를 '''유계 작용소'''라고 한다.[2]
여기서 위상 벡터 공간 의 부분 집합 가 유계 집합이라는 것은 임의의 0의 근방 에 대하여 인 가 존재함을 의미한다.
와 사이의 유계 작용소들의 집합은 로 표기하며, 이는 자연스럽게 -벡터 공간을 이룬다.
노름 공간(및 세미노름 공간)에서 부분 집합은 폰 노이만 유계인 경우와 노름 유계인 경우에만 해당한다. 따라서 노름 공간의 경우 폰 노이만 유계 집합의 개념은 일반적인 노름 유계 부분 집합의 개념과 동일하다.
위상 벡터 공간 사이의 선형 연산자 가 주어졌을 때, 다음은 동치이다.
# 는 (국소적으로) 유계이다.
# (정의): 는 정의역의 유계 집합을 공역의 유계 집합으로 매핑한다.
# 는 정의역의 유계 집합을 이미지 의 유계 집합으로 매핑한다.
# 는 모든 영수열을 유계 수열로 매핑한다.
#* ''영수열''은 정의상 원점으로 수렴하는 수열이다.
#* 따라서 원점에서 순차적으로 연속인 모든 선형 사상은 필연적으로 유계 선형 사상이다.
# 는 모든 매키 수렴 영수열을 의 유계 집합으로 매핑한다.[1]
#* 수열 가 양의 실수로 이루어진 발산하는 수열 가 존재하여 가 의 유계 집합이 될 때, ''X에서 원점으로 매키 수렴한다''고 한다.
와 가 국소 볼록 공간이면 다음을 이 목록에 추가할 수 있다.
- 는 유계 디스크를 유계 디스크로 매핑한다.
- 는 의 보른 집합 디스크를 의 보른 집합 디스크로 매핑한다.
가 보르노로지 공간이고 가 국소 볼록 공간이면 다음을 이 목록에 추가할 수 있다.
- 는 정의역의 (또는 동등하게, 모든) 점에서의 순차적 연속이다.
- 두 TVS 사이의 순차적으로 연속인 선형 사상은 항상 유계이지만, 그 역은 정의역이 보르노로지이고 공역이 국소 볼록인 경우와 같이 추가적인 가정이 충족되어야 한다.
- 정의역 가 순차 공간이기도 하다면, 는 연속일 때에만 순차적으로 연속이다.
- 는 원점에서 순차적으로 연속이다.
2. 1. 균등 공간 구조
위상체 K 위의 두 위상 벡터 공간 V, W가 주어졌을 때, 함수 집합 WV 위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 B(V,W)⊆ WV에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 B(V,W)는 K-위상 벡터 공간을 이룬다.만약 K∈{ℝ, ℂ}이며 V와 W가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.
2. 2. 작용소 위상
균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 더 엉성한 위상인 '''강한·약한 작용소 위상'''을 부여할 수도 있다.함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 이므로 에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 '''강한 작용소 위상'''(strong operator topology영어)이라고 한다.
마찬가지로, 에 약한 위상을 부여한 것을 로 놓고, 함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 을 '''약한 작용소 위상'''(weak operator topology영어)이라고 한다.
강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.
3. 성질
위상체 위의 두 위상 벡터 공간 , 사이의 모든 연속 -선형 변환은 유계 작용소이다.[2][3]
만약 이며, 와 가 -노름 공간일 경우, 유계 작용소, 연속 선형 변환, 균등 연속 선형 변환, 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.[2] 모든 유계 작용소는 에서 립시츠 연속이다.
두 위상 벡터 공간 사이의 선형 연산자 는 가 에서 유계이면 가 에서 유계일 때 유계 선형 연산자라고 한다. 모든 연속 선형 연산자는 TVS 간의 유계 연산자이다.
만약 정의역이 볼노른 공간이면 다른 임의의 국소 볼록 공간으로의 선형 연산자는 연속일 때에만 유계이다. LF 공간의 경우, LF 공간으로부터의 모든 유계 선형 사상은 연속적이다.
와 가 국소 볼록 공간이면, 는 유계 디스크를 유계 디스크로 매핑한다. 또한, 는 의 보른 집합 디스크를 의 보른 집합 디스크로 매핑한다.
가 보르노로지 공간이고 가 국소 볼록 공간이면, 는 정의역의 모든 점에서 순차적 연속이며, 원점에서 순차적으로 연속이다.
ℝ 또는 ℂ 위의 노름 공간 V, W에 대하여, B(V,W)는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다.[2] W가 바나흐 공간이라면, B(V,W) 역시 바나흐 공간을 이룬다.[2]
X에서 Y로 가는 모든 유계 선형 연산자의 공간 B(X, Y)는 다음 성질을 갖는다.
- B(X, Y)는 노름 벡터 공간이다.
- Y가 바나흐 공간이면, B(X, Y)도 바나흐 공간이다. 특히, 쌍대 공간은 바나흐 공간이다.
- 모든 A ∈ B(X, Y)에 대해, A의 핵은 X의 닫힌 선형 부분 공간이다.
- B(X, Y)가 바나흐 공간이고 X가 자명하지 않다면, Y는 바나흐 공간이다.
유계 작용소 공간 위 위상 관계는 다음과 같다.
균등 수렴 위상 | ⊃ | 강한 작용소 위상 |
∪ | ∪ | |
균등 수렴 위상의 약한 위상 | ⊃ | 약한 작용소 위상 |
여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.
실수체 또는 복소수체 위 두 노름 공간 사이 유계 작용소 공간은 위 표에서 균등 수렴 위상의 약한 위상 ⊃ 약한 작용소 위상 관계가 추가된다.
3. 1. 연속성과의 관계
위상체 위의 두 위상 벡터 공간 , 사이의 모든 연속 -선형 변환은 유계 작용소이다.[2][3]만약 이며, 와 가 -노름 공간일 경우, 유계 작용소, 연속 선형 변환, 균등 연속 선형 변환, 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.[2] (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.[4]) 모든 유계 작용소는 에서 립시츠 연속이다. 노름 공간 사이의 선형 연산자는 유계일 필요충분조건은 연속인 것이다.
두 위상 벡터 공간 사이의 선형 연산자 는 가 에서 유계이면 가 에서 유계일 때 유계 선형 연산자 또는 간단히 유계라고 한다. 위상 벡터 공간의 부분 집합은 원점의 모든 근방이 이를 흡수할 경우 유계라고 한다. 노름 공간에서 부분 집합은 폰 노이만 유계인 경우와 노름 유계인 경우에만 해당한다. 따라서 노름 공간의 경우 폰 노이만 유계 집합의 개념은 일반적인 노름 유계 부분 집합의 개념과 동일하다. 모든 연속 선형 연산자는 TVS 간의 유계 연산자이다. 이는 거리화 가능한 TVS 간의 모든 연속 선형 연산자가 유계임을 의미한다. 그러나 일반적으로 두 TVS 사이의 유계 선형 연산자는 연속적일 필요는 없다.
일반적인 위상 벡터 공간 간의 유계 연산자는 유계 집합을 유계 집합으로 변환하는 연산자로 정의할 수 있다. 이 맥락에서, 모든 연속 사상은 여전히 유계이지만, 역은 성립하지 않는다. 즉, 유계 연산자는 연속적일 필요가 없다. 이는 또한 이 맥락에서 유계성이 립시츠 연속성과 더 이상 동등하지 않다는 것을 의미한다.
만약 정의역이 볼노른 공간이면 다른 임의의 국소 볼록 공간으로의 선형 연산자는 연속일 때에만 유계이다. LF 공간의 경우, 더 약한 역이 성립한다; LF 공간으로부터의 모든 유계 선형 사상은 연속적이다.
만약 가 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 연산자이고, 가 의 유계 부분 집합이 되도록 하는 의 원점의 근방 가 존재한다면, 는 연속이다. 이 사실은 원점의 어떤 근방에서 유계인 선형 연산자는 필연적으로 연속적이라고 요약되곤 한다. 특히, 원점의 어떤 근방에서 유계인 모든 선형 범함수는 (그 정의역이 노름 공간이 아니더라도) 연속적이다. 위상 벡터 공간 사이의 선형 연산자 가 주어졌을 때, 다음은 동치이다.
1. 는 (국소적으로) 유계이다.
2. 는 정의역의 유계 집합을 공역의 유계 집합으로 매핑한다.
3. 는 정의역의 유계 집합을 이미지 의 유계 집합으로 매핑한다.
4. 는 모든 영수열을 유계 수열로 매핑한다.
- 영수열은 정의상 원점으로 수렴하는 수열이다.
- 따라서 원점에서 순차적으로 연속인 모든 선형 사상은 필연적으로 유계 선형 사상이다.
5. 는 모든 매키 수렴 영수열을 의 유계 집합으로 매핑한다.[1]
- 수열 가 양의 실수로 이루어진 발산하는 수열 가 존재하여 가 의 유계 집합이 될 때, X에서 원점으로 매키 수렴한다고 한다.
와 가 국소 볼록 공간이면 다음을 이 목록에 추가할 수 있다.
6. 는 유계 디스크를 유계 디스크로 매핑한다.
7. 는 의 보른 집합 디스크를 의 보른 집합 디스크로 매핑한다.
가 보르노로지 공간이고 가 국소 볼록 공간이면 다음을 이 목록에 추가할 수 있다.
8. 는 정의역의 (또는 동등하게, 모든) 점에서의 순차적 연속이다.
- 두 TVS 사이의 순차적으로 연속인 선형 사상은 항상 유계이지만, 그 역은 정의역이 보르노로지이고 공역이 국소 볼록인 경우와 같이 추가적인 가정이 충족되어야 한다.
- 정의역 가 순차 공간이기도 하다면, 는 연속일 때에만 순차적으로 연속이다.
9. 는 원점에서 순차적으로 연속이다.
3. 2. 작용소 노름
ℝ 또는 ℂ 위의 노름 공간 V, W에 대하여, B(V,W)는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다.[2] W가 바나흐 공간이라면, B(V,W) 역시 바나흐 공간을 이룬다.[2]노름 공간 사이의 선형 연산자는 유계일 필요충분조건은 연속인 것이다.
X에서 Y로 가는 모든 유계 선형 연산자의 공간은 B(X, Y)로 표기한다. B(X, Y)는 다음의 성질을 갖는다.
- B(X, Y)는 노름 벡터 공간이다.
- 만약 Y가 바나흐 공간이면, B(X, Y)도 바나흐 공간이다. 특히, 쌍대 공간은 바나흐 공간이다.
- 모든 A ∈ B(X, Y)에 대해, A의 핵은 X의 닫힌 선형 부분 공간이다.
- 만약 B(X, Y)가 바나흐 공간이고 X가 자명하지 않다면, Y는 바나흐 공간이다.
3. 3. 유계 작용소 공간 위의 위상의 관계
균등 수렴 위상 | ⊃ | 강한 작용소 위상 |
∪ | ∪ | |
균등 수렴 위상의 약한 위상 | 약한 작용소 위상 |
여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.
실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.
균등 수렴 위상 | ⊃ | 강한 작용소 위상 |
∪ | ∪ | |
균등 수렴 위상의 약한 위상 | ⊃ | 약한 작용소 위상 |
4. 예
- 두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.
- 르베그 실수열 공간 위의 연산자 는 노름이 1인 유계 작용소이다.
- 라플라스 연산자 는 유계 작용소이다. 여기서 는 하디 공간이며, 는 ''L''p 공간의 하나이다.
- 유한 차원 노름 공간에서 정의된 모든 선형 연산자는 유계이다.
- 실수 수열의 궁극적으로 0인 수열의 수열 공간 에서, 노름을 사용하면, 수열의 합을 반환하는 실수로의 선형 연산자는 유계이며, 연산자 노름은 1이다. 같은 공간을 노름으로 고려하면, 같은 연산자는 유계가 아니다.
- 많은 적분 변환은 유계 선형 연산자이다. 예를 들어, 가 연속 함수인 경우, 균등 노름을 부여받은 에서 연속 함수 공간 에서 정의되고, 다음 공식으로 주어진 을 갖는 공간 의 값을 갖는 연산자 은 유계이다. 이 연산자는 콤팩트 연산자이다.
- 라플라스 연산자 (그 정의역은 소볼레프 공간이며, 제곱 적분 가능 함수의 값을 갖는다)는 유계이다.
- 모든 수열 의 를 갖는 실수의 Lp 공간 에서의 시프트 연산자 는 유계이다. 그 연산자 노름은 1이다.
5. 추가 정보
유계 작용소의 정의역과 치역을 주의해서 정하면, 폐작용소가 되는 경우가 있다. 폐작용소는 유계 작용소보다 일반적인 개념이다. 두 개의 주어진 바나흐 공간 사이의 유계 선형 작용소를 정의하기 위한 절차는 일반적으로 다음과 같다. 먼저, 정의된 공간의 조밀한 부분 집합 위에 정의된 선형 작용소로, 국소적으로 유계인 것을 정한다. 이어서, 연속성에 의해 해당 작용소를, 정의된 공간 전체를 정의역으로 하는 연속 선형 작용소로 확장한다(연속 선형 확장 참조).
참조
[1]
문서
Proof
[2]
서적
Functional analysis
https://archive.org/[...]
McGraw-Hill
1991
[3]
서적
Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)
Masson
[4]
서적
Topological vector spaces
https://www.crcpress[...]
CRC Press
2010
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