정규 작용소

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복소수 대합 대수
- 2.2. 힐베르트 공간 위의 유계 작용소
3. 성질
4. 유한 차원 공간에서의 성질
5. 예
6. 무경계 정규 작용소
7. 일반화
참조

1. 개요

정규 작용소는 복소수 힐베르트 공간 V 위의 유계 작용소 T가 T*T = TT*를 만족시키는 경우를 말한다. 정규 작용소는 스펙트럼 정리로 특징지어지며, 유니타리 대각화가 가능하다. 정규 작용소는 유니터리 작용소, 자기 수반 작용소를 포함하며, 정규 행렬은 유한 차원 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 예시이다. 무경계 정규 작용소에 대해서도 스펙트럼 정리가 성립하며, 정규 작용소 이론은 여러 작용소의 종류로 일반화되었다.

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정규 작용소
정의
설명	복소 힐베르트 공간 H 위의 연속 선형 연산자 N : H → H
속성
조건	NN∗ = N∗N을 만족하는 연산자
추가 조건	N∗ = N−1 (유니타리 연산자) N∗ = N (자기 수반 연산자) N∗ = −N (반자기 수반 연산자) N = MM∗ (정작용소)

2. 정의

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 가운데 자신의 에르미트 수반과 교환 가능한 것을 '''정규 작용소'''라고 한다.

정규 작용소는 스펙트럼 정리를 통해 특징지을 수 있다.

2. 1. 복소수 대합 대수

복소수 대합 대수

A

의 '''정규원'''(正規元, normal element^영어)은 다음 조건을 만족시키는 원소

a\in A

이다.

:

a^*a=aa^*

자기 수반 원소와 유니터리 원소는 정규원이다. 대합 선형환의 원소

x

가 '''정규'''라는 것은,

xx^* = x^*x

를 만족할 때를 말한다. 양의 원소는 정규원의 한 예이다.

2. 2. 힐베르트 공간 위의 유계 작용소

복소수 힐베르트 공간

V

위의 유계 작용소

T\colon V\to V

가

TT^*=T^*T

를 만족시키면 '''정규 작용소'''라고 한다. (

(-)^*

는 에르미트 수반)^[2]

정규 작용소는 스펙트럼 정리로 특징지어진다. 컴팩트 정규 작용소(특히, 유한 차원 내적 공간 위의 정규 작용소)는 유니타리 대각화 가능하다.

T

를 유계 작용소라고 할 때, 다음은 동치이다.

$T$ 는 정규 작용소이다.
$T^{\star}$ 는 정규 작용소이다.
모든 $x$ 에 대해 $\|T x\| = \|T^* x\|$ 이다. ( $\|Tx\|^2 = \langle T^* Tx, x \rangle = \langle T T^*x, x \rangle = \|T^*x\|^2$ 를 사용)
$T$ 의 자기 수반 부분과 반 자기 수반 부분이 교환한다. 즉, $T = T_1 + i T_2$ 로 표현되고, $T_1 := \frac{T+T^*}{2}$ 및 $i\,T_2 := \frac{T-T^*}{2}$ 이면, $T_1 T_2 = T_2 T_1$ 이다.^[2]

N

이 유계 정규 작용소이면,

N

과

N^*

는 동일한 커널과 동일한 범위를 갖는다. 결과적으로,

N

의 범위는

N

이 단사일 때에만 조밀하다. 다른 말로, 정규 작용소의 커널은 해당 범위의 직교 여집합이다. 이는 모든

k

에 대해 작용소

N^k

의 커널이

N

의 커널과 일치한다는 것을 따른다. 따라서 정규 작용소의 모든 일반화된 고유값은 진정한 고유값이다.

\lambda

가 정규 작용소

N

의 고유값이고, 그 역복소수

\overline{\lambda}

는

N^*

의 고유값이다. 서로 다른 고유값에 해당하는 정규 작용소의 고유 벡터는 직교하며, 정규 작용소는 각 고유 공간의 직교 여집합을 안정시킨다.^[3] 이는 일반적인 스펙트럼 정리를 의미한다. 유한 차원 공간에서의 모든 정규 작용소는 유니타리 연산자에 의해 대각화 가능하다. 또한, 사영 값 측정으로 표현되는 스펙트럼 정리의 무한 차원 버전도 있다. 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 비어 있다.^[3]

교환하는 정규 작용소의 곱은 다시 정규 작용소이다. 이것은 자명하지 않지만, Fuglede의 정리에서 직접적으로 따른다.

정규 작용소의 작용소 노름은 해당 수치 반경 및 스펙트럼 반경과 같다.

정규 작용소는 해당 Aluthge 변환과 일치한다.

3. 성질

정규 작용소는 스펙트럼 정리를 통해 그 특징이 완전히 밝혀진다. 특히, 콤팩트 정규 작용소는 유니터리 대각화할 수 있다.^[10] 유한 차원 내적 공간 위의 정규 작용소도 마찬가지이다.

3. 1. 동치 조건

유계 작용소

T\colon V\to V

에 대하여, 다음 명제들은 서로 동치이다.^[2]

$T$ 는 정규 작용소이다.
$T$ 의 에르미트 수반 $T^*$ 는 정규 작용소이다.
모든 $x\in V$ 에 대하여 $\Vert Tv\Vert=\Vert T^*v\Vert$ 이다.
$T$ 의 자기 수반 부분과 반 자기 수반 부분이 교환한다. 즉, $T = T_1 + i T_2$ 로 표현되고, $T_1 := \frac{T+T^*}{2}$ 및 $i\,T_2 := \frac{T-T^*}{2}$ 이면, $T_1 T_2 = T_2 T_1$ 이다.

3. 2. 핵과 상

유계 작용소

N

이 정규 작용소이면,

N

과 그 에르미트 수반

N^*

는 같은 핵과 상을 갖는다.^[2] 즉, 다음과 같다.

:

\ker N=\ker N^*

:

N(V)=N^*(V)

따라서, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[2]

$N$ 의 상이 조밀 집합이다.
$N$ 이 단사 함수이다.

정규 작용소의 커널은 해당 범위의 직교 여집합이다.^[3] 모든

k

에 대해 작용소

N^k

의 커널이

N

의 커널과 일치하므로, 정규 작용소의 모든 일반화된 고유값은 진정한 고유값이다.^[3]

3. 3. 스펙트럼

정규 작용소는 잔여 스펙트럼을 갖지 않고, 오직 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼만을 갖는다.^[3] 모든 일반화된 고유값은 진정한 고유값이다.^[3] 서로 다른 고유값에 해당하는 정규 작용소의 고유 벡터는 직교한다.^[3] 유한 차원 공간에서 모든 정규 작용소는 유니타리 연산자에 의해 대각화 가능하다.^[3]

3. 4. 연산에 대한 닫힘

임의의 정규 작용소

A

및 복소수

\lambda

에 대하여,

\lambda A

역시 정규 작용소이다.

두 정규 작용소

A, B

가 가환(

[A,B]=0

)하면, 다음이 성립한다.

$A+B$ 는 정규 작용소이다.
(푸글레데 정리 Fuglede’s theorem^영어) $AB$ 역시 정규 작용소이다.

그러나 서로 가환하지 않는 두 정규 작용소의 합과 곱은 정규 작용소가 아닐 수 있다.

3. 5. 푸글레데-펏남 정리

두 정규 작용소 , 에 대해, 유계 작용소 가 를 만족하면 가 성립한다. 이를 푸글레데-펏남 정리라고 한다.

3. 6. 노름

정규 작용소의 작용소 노름은 수치 반경 및 스펙트럼 반경과 같다.^[3] 정규 작용소는 알루지 변환과 일치한다.^[10]

4. 유한 차원 공간에서의 성질

유한 차원 실수 또는 복소 힐베르트 공간(내적 공간) ''H''에서 정규 연산자 ''T''가 부분 공간 ''V''를 안정화시키면, 그 직교 여공간 ''V''^⊥도 안정화시킨다. (이 명제는 ''T''가 자기 수반인 경우 자명하다.)

''증명.'' ''P_V''를 ''V''로의 직교 투영이라고 하자. 그러면 ''V''^⊥로의 직교 투영은 '''1'''_''H''−''P_V''이다. ''T''가 ''V''를 안정화시킨다는 사실은 ('''1'''_''H''−''P_V'')''TP_V'' = 0, 또는 ''TP_V'' = ''P_VTP_V''로 표현될 수 있다. 목표는 ''P_VT''('''1'''_''H''−''P_V'') = 0임을 보이는 것이다.

''X'' = ''P_VT''('''1'''_''H''−''P_V'')라고 하자. (''A'', ''B'') ↦ tr(''AB*'')가 ''H''의 자기사상 공간에 대한 내적이므로, tr(''XX*'') = 0임을 보이는 것으로 충분하다. 먼저 다음이 성립한다.

: $\begin{align}XX^* &= P_V T(\boldsymbol{1}_H - P_V)^2 T^* P_V \\&= P_V T(\boldsymbol{1}_H - P_V) T^* P_V \\&= P_V T T^* P_V - P_V T P_V T^* P_V.\end {align}$

이제 대각합과 직교 투영의 성질을 사용하면 다음을 얻는다.

: $\begin{align}\operatorname{tr}(XX^*) &= \operatorname{tr} \left ( P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V \right ) \\&= \operatorname{tr}(P_VTT^*P_V) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*P_V) \\&= \operatorname{tr}(P_V^2TT^*) - \operatorname{tr}(P_V^2TP_VT^*) \\&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*) \\&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(TP_VT^*) && \text{가설 } T \text{가 } V \text{를 안정화시킴을 사용} \\&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VT^*T) \\&= \operatorname{tr}(P_V(TT^*-T^*T)) \\&= 0.\end{align}$

무한 차원 힐베르트 공간에서 컴팩트 정규 연산자에 대해서도 동일한 논리가 적용되며, tr(''AB*'')으로 정의된 힐베르트-슈미트 내적을 적절하게 해석하여 사용한다.^[4] 그러나 유계 정규 연산자의 경우, 안정적인 부분 공간의 직교 여공간은 안정적이지 않을 수 있다.^[5] 따라서 힐베르트 공간은 일반적으로 정규 연산자의 고유 벡터로 뻗어 있지 않을 수 있다. 예를 들어, $\ell^2$ 에서 작용하는 쌍방 시프트 (또는 양측 시프트)를 생각해 보라. 이는 정규 연산자이지만 고유값이 없다.

하디 공간에서 작용하는 시프트의 불변 부분 공간은 뵈를링 정리에 의해 특징지어진다.

5. 예

유니터리 작용소
자기 수반 작용소
유한 차원 힐베르트 공간 $\mathbb C^n$ 위의 정규 작용소들은 $n \times n$ 정규 행렬들이다.

6. 무경계 정규 작용소

닫힌 작용소 ''N''이 $N^*N = NN^*$ 를 만족하면 정규 작용소라고 한다.^[6] 여기서 수반 작용소 ''N*''의 존재는 ''N''의 정의역이 조밀해야 함을 요구하며, 등식에는 ''N*N''의 정의역이 ''NN*''의 정의역과 같다는 주장이 포함된다. 이는 일반적으로 반드시 성립하는 것은 아니다.

동등하게, 정규 작용소는 정확히 다음을 만족하는 작용소이다.

: $\|Nx\|=\|N^*x\|\qquad$

단,

: $\mathcal{D}(N)=\mathcal{D}(N^*).$

스펙트럼 정리는 무경계 (정규) 작용소에도 여전히 성립한다. 증명은 유계 (정규) 작용소로의 축약을 통해 이루어진다.^[7]^[8]

7. 일반화

정규 작용소의 개념은 교환성 조건을 완화하여 다음과 같이 일반화되었다.

저작용소
노름형 작용소
준정규 작용소
유사정규 작용소
Subnormal operator^영어
열등정규 작용소
파라정규 작용소
Normaloid^영어

위는 뒤에 있는 것이 앞에 있는 것을 포함하는 더 넓은 종류가 되도록 순서대로 나열되어 있다.

참조

_[1] 서적 Linear algebra Prentice-Hall, Inc.
_[2] 문서 In contrast, for the important class of [[Creation and annihilation operators]] of, e.g., [[quantum field theory]], they don't commute
_[3] 서적 Linear Operator Theory in Engineering and Sciences https://books.google[...] Springer 2021-06-26
_[4] 논문 Note on invariant subspaces of a compact normal operator
_[5] 웹사이트 Operators on Hilbert spaces http://www.math.umn.[...] 2011-07-01
_[6] 문서 Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, Chapter 4, Section 3
_[7] 웹사이트 Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange https://math.stackex[...]
_[8] 문서 [[John B. Conway]], A Course in Functional Analysis, Second Edition, Chapter X, Section §4
_[9] 서적 Linear Algebra
_[10] 서적 Linear Algebra
_[11] 문서 これに対して、[[場の量子論]]などで重要なクラスである[[生成消滅演算子|生成演算子と消滅演算子]]は非可換である。
_[12] 서적 Linear Operator Theory in Engineering and Sciences https://books.google[...] Springer
_[13] 논문 Note on invariant subspaces of a compact normal operator
_[14] 웹사이트 Operators on Hilbert spaces http://www.math.umn.[...] 2014-02-19

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