스하우턴-네이엔하위스 괄호

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1. 개요

스하우턴-네이엔하위스 괄호는 매끄러운 다양체 위의 다중 벡터장에 정의되는 연산으로, 두 다중 벡터장으로부터 차수가 감소된 새로운 다중 벡터장을 생성한다. 이 괄호는 쐐기곱과 함께 거스틴해버 대수를 이루며, 리 초대수 구조를 정의하는 데 사용된다. 푸아송 다양체와의 관계를 가지며, 낮은 차수의 괄호는 구체적인 형태로 계산될 수 있다. 스하우턴과 네이엔하위스가 도입했으며, 교대 다중 벡터장과 프뢸리허-네이엔하위스 괄호로 일반화되었다.

스하우턴-네이엔하위스 괄호

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1. 개요
2. 정의 및 성질
- 2.1. 리 초대수 구조
- 2.2. 푸아송 다양체와의 관계
3. 예시
4. 일반화
5. 역사

2. 정의 및 성질

매끄러운 다양체 $M$ 위의 다중 벡터장은 접다발 $TM$ 의 외대수 $\bigwedge^k TM$ 의 단면으로 정의된다. 다중 벡터장 공간에는 쐐기곱을 통해 등급 가환 대수 구조가 주어진다.

스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다중 벡터장 $V^m$ 과 $V^n$ 에 대해 $V^{m+n-1}$ 의 원소를 대응시키는 연산으로, 다음과 같이 공리적으로 정의된다.

* $[X,-] = \mathcal L_X \qquad\forall X\in V^1$
* $[f,g] = 0 \qquad\forall f,g\in V^0$
* $[\alpha,\beta\wedge\gamma] = [\alpha,\beta]\wedge\gamma + (-)^{\deg\beta(\deg\alpha-1)}\beta[\alpha,\gamma]\qquad\forall \alpha,\beta,\gamma$
* $[\alpha,\beta] = (-)^{1+(\deg\alpha-1)(\deg\beta-1)}[\beta,\alpha]$

여기서 $\mathcal L_X$ 는 $X$ 에 대한 리 미분이며, $f$ 와 $g$ 는 매끄러운 함수이다.

스하우턴-네이엔하위스 괄호는 벡터장 $a_i$ , $b_j$ 에 대해 다음과 같이 주어진다.
: $[a_1\cdots a_m,b_1\cdots b_n]=\sum_{i,j}(-1)^{i+j}[a_i,b_j]a_1\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_mb_1\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_n$

벡터장 $a_i$ 와 매끄러운 함수 $f$ 에 대해서는 다음과 같다.
: $[f,a_1\cdots a_m] = -\iota_{df}(a_1 \cdots a_m)$
여기서 $\iota_{df}$ 는 일반적인 내부곱 연산자이다.

스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 곱셈은 결합적이다. 즉, $(ab)c=a(bc)$ 이다.
* 곱셈은 (초) 가환적이다. 즉, $ab = (-1)^$

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좌우로 밀어서 보기

ba이다.
* 곱셈은 차수 0을 가진다. 즉, $|ab| = |a|+|b|$ 이다.
* 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 차수 −1을 가진다. 즉, $|[a,b]|=|a|+|b|-1$ 이다.
* 푸아송 항등식이 성립한다. 즉, $[a,bc] = [a,b]c + (-1)^{|b| (|a|-1) } b [a,c]$ 이다.
* 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 반대칭성 성질을 가진다. 즉, $[a,b] = - (-1)^{(|a| -1) (|b| -1)} [b,a]$ 이다.
* 스하우턴-네이엔하위스 괄호에 대한 야코비 항등식이 성립한다. 즉, $a,b],c] = [a,[b,c - (-1)^{(|a|-1) (|b|-1) } [b,[a,c]]$ 이다.
* $f$ 와 $g$ 가 함수(차수 0의 균일한 멀티벡터)인 경우, $[f,g]=0$ 이다.
* $a$ 가 벡터장인 경우, $[a,b] = L_a b$ 는 $a$ 를 따라 멀티벡터장 $b$ 의 일반적인 리 미분이며, 특히 $a$ 와 $b$ 가 벡터장인 경우 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 벡터장의 일반적인 리 괄호이다.

이에 따라 다중 벡터장 공간은 쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.

2.1. 리 초대수 구조

거스틴해버 대수의 성질에 따라, 다음과 같은 초벡터 공간 위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.)

: $\mathfrak g_0 = \Gamma\left(\bigoplus_i\bigwedge^{2i+1}\mathrm TM\right)$
: $\mathfrak g_1 = \Gamma\left(\bigoplus_i\bigwedge^{2i}\mathrm TM\right)$
: $\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g$

즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.
: $(-)^{(\deg a-1)(\deg c-1)}[a,[b,c]]+(-)^{(\deg b-1)(\deg a-1)}[b,[c,a]]+(-)^{(\deg c-1)(\deg b-1)}[c,[a,b]] = 0$

2.2. 푸아송 다양체와의 관계

푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 의 경우, 정의에 따라 $[\pi,\pi]=0$ 이다. 이에 따라서 $[\pi,-]$ 는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 푸아송 코호몰로지라고 한다.

3. 예시

낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같이 계산된다.

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좌우로 밀어서 보기

(\deg X,\deg Y)>\| 대칭성 \|\| 스하우턴-네이엔하위스 괄호 $[X,Y]$ \|\| 비고
(0,0)	대칭	$0$	상수 함수
(0,1)	반대칭	$[X,Y] = -(\partial_iX)Y^i$	스칼라장의 벡터장 방향 미분
(1,1)	반대칭	$[X,Y]^i = X^l\partial_lY^i - (\partial_lX^i)Y^l$	벡터장의 리 미분
(0,2)	대칭	$[X,Y]^i = -(\partial_lX)Y^{li}$	스칼라장의 기울기와의 내부곱
(1,2)	반대칭	$[X,Y]^{ij} = X^l\partial_lY^{ij} - (\partial_l X^i)Y^{lj} - (\partial_lX^j)Y^{il}$
(2,2)	대칭	$[X,Y]^{ijk} =$

4. 일반화

스하우턴-네이엔하위스 괄호는 교대 다중 벡터장과 프뢸리허-네이엔하위스 괄호에 대한 일반화로 비노그라도프(1990)에 의해 일반화되었다.유사한 방식으로 대칭 다중 벡터장에 대해서도 스하우턴-네이엔하위스 괄호의 버전을 정의할 수 있다. 대칭 다중 벡터장은 올록 공간 $T^*M$ 의 섬유에 대해 다항식인 함수로 식별될 수 있으며, 이러한 식별 하에서 대칭 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 심플렉틱 다양체 $T^*M$ 의 함수에 대한 푸아송 괄호에 해당한다. 뒤부아-비올레트와 페터 W. 미코어(1995)는 대칭 다중 벡터장과 프뢸리허-네이엔하위스 괄호에 대한 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 일반화하였다.

5. 역사

얀 아르놀뒤스 스하우턴(Jan Arnoldus Schouten^{네덜란드어})과 알버르트 네이엔하위스(Albert Nĳenhuis^{네덜란드어})가 도입하였다.