스하우턴-네이엔하위스 괄호

2. 정의 및 성질

매끄러운 다양체 $M$ 위의 다중 벡터장은 접다발 $TM$의 외대수 $\backslash bigwedge^k\; TM$의 단면으로 정의된다. 다중 벡터장 공간에는 쐐기곱을 통해 등급 가환 대수 구조가 주어진다.

'''스하우턴-네이엔하위스 괄호'''는 다중 벡터장 $V^m$과 $V^n$에 대해 $V^\{m+n-1\}$의 원소를 대응시키는 연산으로, 다음과 같이 공리적으로 정의된다.

• $[X,-]\; =\; \backslash mathcal\; L\_X\; \backslash qquad\backslash forall\; X\backslash in\; V^1$
• $[f,g]\; =\; 0\; \backslash qquad\backslash forall\; f,g\backslash in\; V^0$
• $[\backslash alpha,\backslash beta\backslash wedge\backslash gamma]\; =\; [\backslash alpha,\backslash beta]\backslash wedge\backslash gamma\; +\; (-)^\{\backslash deg\backslash beta(\backslash deg\backslash alpha-1)\}\backslash beta[\backslash alpha,\backslash gamma]\backslash qquad\backslash forall\; \backslash alpha,\backslash beta,\backslash gamma$
• $[\backslash alpha,\backslash beta]\; =\; (-)^\{1+(\backslash deg\backslash alpha-1)(\backslash deg\backslash beta-1)\}[\backslash beta,\backslash alpha]$

• 곱셈은 결합적이다. 즉, ''$(ab)c=a(bc)$''이다.
• 곱셈은 (초) 가환적이다. 즉, ''$ab\; =\; (-1)^$
  ba''이다.

  곱셈은 차수 0을 가진다. 즉, ''$|ab|\; =\; |a|+|b|$''이다.

  스하우턴-네이엔하위스 괄호는 차수 −1을 가진다. 즉, ''$|[a,b]|=|a|+|b|-1$''이다.

  푸아송 항등식이 성립한다. 즉, ''$[a,bc]\; =\; [a,b]c\; +\; (-1)^\{|b|\; (|a|-1)\; \}\; b\; [a,c]$''이다.

  스하우턴-네이엔하위스 괄호는 반대칭성 성질을 가진다. 즉, ''$[a,b]\; =\; -\; (-1)^\{(|a|\; -1)\; (|b|\; -1)\}\; [b,a]$''이다.

  스하우턴-네이엔하위스 괄호에 대한 야코비 항등식이 성립한다. 즉, ''$a,b],c]\; =\; [a,[b,c\; -\; (-1)^\{(|a|-1)\; (|b|-1)\; \}\; [b,[a,c]]$''이다.

  ''$f$''와 ''$g$''가 함수(차수 0의 균일한 멀티벡터)인 경우, ''$[f,g]=0$''이다.

  ''$a$''가 벡터장인 경우, ''$[a,b]\; =\; L\_a\; b$''는 ''$a$''를 따라 멀티벡터장 ''$b$''의 일반적인 리 미분이며, 특히 ''$a$''와 ''$b$''가 벡터장인 경우 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 벡터장의 일반적인 리 괄호이다.

  
  
  이에 따라 다중 벡터장 공간은 쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.
  

  2. 1. 리 초대수 구조

  거스틴해버 대수의 성질에 따라, 다음과 같은 초벡터 공간 위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.)
  
  :$\backslash mathfrak\; g\_0\; =\; \backslash Gamma\backslash left(\backslash bigoplus\_i\backslash bigwedge^\{2i+1\}\backslash mathrm\; TM\backslash right)$
  
  :$\backslash mathfrak\; g\_1\; =\; \backslash Gamma\backslash left(\backslash bigoplus\_i\backslash bigwedge^\{2i\}\backslash mathrm\; TM\backslash right)$
  
  :$\backslash mathfrak\; g\; =\; \backslash mathfrak\; g\_0\; \backslash oplus\; \backslash mathfrak\; g$
  
  즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.
  
  :$(-)^\{(\backslash deg\; a-1)(\backslash deg\; c-1)\}[a,[b,c]]+(-)^\{(\backslash deg\; b-1)(\backslash deg\; a-1)\}[b,[c,a]]+(-)^\{(\backslash deg\; c-1)(\backslash deg\; b-1)\}[c,[a,b]]\; =\; 0$
  

  2. 2. 푸아송 다양체와의 관계

  푸아송 다양체$(M,\backslash pi)$의 경우, 정의에 따라 $[\backslash pi,\backslash pi]=0$이다. 이에 따라서 $[\backslash pi,-]$는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 '''푸아송 코호몰로지'''라고 한다.
  

  3. 예시

  낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같이 계산된다.
  
  

  차수 $(\backslash deg\; X,\backslash deg\; Y)$	대칭성	스하우턴-네이엔하위스 괄호 $[X,Y]$	비고
  (0,0)	대칭	$0$	상수 함수
  (0,1)	반대칭	$[X,Y]\; =\; -(\backslash partial\_iX)Y^i$	스칼라장의 벡터장 방향 미분
  (1,1)	반대칭	$[X,Y]^i\; =\; X^l\backslash partial\_lY^i\; -\; (\backslash partial\_lX^i)Y^l$	벡터장의 리 미분
  (0,2)	대칭	$[X,Y]^i\; =\; -(\backslash partial\_lX)Y^\{li\}$	스칼라장의 기울기와의 내부곱
  (1,2)	반대칭	$[X,Y]^\{ij\}\; =\; X^l\backslash partial\_lY^\{ij\}\; -\; (\backslash partial\_l\; X^i)Y^\{lj\}\; -\; (\backslash partial\_lX^j)Y^\{il\}$
  (2,2)	대칭	$[X,Y]^\{ijk\}\; =$

  
  

4. 일반화

스하우턴-네이엔하위스 괄호는 교대 다중 벡터장과 프뢸리허-네이엔하위스 괄호에 대한 일반화로 비노그라도프(1990)에 의해 일반화되었다.

유사한 방식으로 대칭 다중 벡터장에 대해서도 스하우턴-네이엔하위스 괄호의 버전을 정의할 수 있다. 대칭 다중 벡터장은 올록 공간 ''$T^*M$''의 섬유에 대해 다항식인 함수로 식별될 수 있으며, 이러한 식별 하에서 대칭 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 심플렉틱 다양체 ''$T^*M$''의 함수에 대한 푸아송 괄호에 해당한다. 뒤부아-비올레트와 페터 W. 미코어(1995)는 대칭 다중 벡터장과 프뢸리허-네이엔하위스 괄호에 대한 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 일반화하였다.

5. 역사

얀 아르놀뒤스 스하우턴(Jan Arnoldus Schouten|얀 아르놀뒤스 스하우턴^nl)^[2][3]과 알버르트 네이엔하위스(Albert Nijenhuis|알버르트 네이엔하위스^nl)^[4]가 도입하였다.

참조

_[1] 논문 Brackets
_[2] 논문 Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Grössen http://www.dwc.knaw.[...]
_[3] 서적 Convegno internazionale di geometria differenziale, Italia, 20–26 settembre 1953 Edizioni Cremonese
_[4] 논문 Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields Ⅰ