거스틴해버 대수

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1. 개요

거스틴해버 대수는 정수 등급을 갖는 대수이며, 곱셈과 리 괄호 연산을 포함한다. 호모토피 거스틴해버 대수는 거스틴해버 대수의 일반화로, 여러 개의 n항 연산을 가지며, A∞-대수와 L∞-대수의 공통적인 일반화로 볼 수 있다. 호모토피 거스틴해버 대수는 1항 연산인 공경계, 2항 연산인 곱셈과 다른 연산, 그리고 여러 3항 연산을 포함하며, 멱영성, 곱 규칙, 호모토피 결합 법칙 등의 항등식을 만족한다. 거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이며, 호흐실트 코호몰로지, 바탈린-빌코비스키 대수 등 다양한 예시가 존재한다. 이 개념은 머리 거스틴해버에 의해 처음 소개되었다.

거스틴해버 대수

일반 정보

분야	수학, 대수학
정의	차등 등급 대수와 리 대수의 호환 가능한 구조를 갖춘 등급 벡터 공간
이름의 유래	머리 거스틴해버

관련 분야	대수적 위상수학, 변형 이론
관련 개념	푸아송 대수, 브라켓

2. 정의

거스틴해버 대수 $A$ 는 Z-등급을 갖는 대수이다. 즉, 다음과 같은 구조를 가진다.
: $A=\bigoplus_{p\in\mathbb Z}(A^p_+\oplus A^p_-)$
이 대수 위에는 두 가지 주요 연산이 정의된다. 하나는 등급 0의 곱(·) 연산이고, 다른 하나는 등급 −1의 [[리 괄호]]([, ]) 연산이다. 곱 연산은 초교환 법칙과 결합 법칙을 만족하며, 리 괄호 연산은 특정 반대칭성 규칙(초교환 법칙)과 야코비 항등식을 만족시킨다. 이 두 연산은 푸아송 항등식이라는 관계식을 통해 서로 연결된다.

각 원소는 차수(등급)라고 불리는 정수 값을 가지며, 이는 연산의 성질을 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 이론 물리학에서는 이 차수를 고스트 넘버라고 부르기도 한다.

거스틴해버 대수는 리 괄호의 차수가 통상적인 푸아송 대수와 달리 0이 아닌 −1이라는 점에서 푸아송 슈퍼대수와 구별된다. 모든 연산은 슈퍼대수의 일반적인 부호 규칙을 따른다.

2.1. 연산

거스틴해버 대수 $A$ 는 $\mathbb Z$ 차수(등급)를 갖는 대수이다.
: $A=\bigoplus_{p\in\mathbb Z}(A^p_+\oplus A^p_-)$
이 대수 위에는 다음과 같은 주요 연산들이 정의된다.

* 곱 ( $\cdot$ ): 차수 0을 갖는 이항 연산이다.
결합 법칙: $(ab)c = a(bc)$
초교환 법칙: $ab = (-1)^$

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ba
차수: $|ab| = |a| + |b|$ (곱 연산은 차수를 더한다)

* 리 괄호 ( $[,]$ ): 차수 -1을 갖는 이항 연산이다.
차수:

|[a,b]| = |a| + |b| - 1

(리 괄호 연산은 차수를 더하고 1을 뺀다)
반대칭성 (초교환 법칙): $[a,b] = -(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,a]$
야코비 항등식:

[a,[b,c]] = a

* 야코비 항등식은 다음과 같은 대칭적인 형태로도 표현할 수 있다.
$(-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]] = 0$

* 곱과 리 괄호의 관계 (푸아송 항등식): 곱과 리 괄호는 다음 푸아송 항등식을 만족시킨다.

[a,bc] = [a,b]c + (-1)^{(|a|-1)|b|}b[a,c]

여기서

|a|

는 원소

a

의 차수를 나타내며, 이론 물리학에서는 때때로 고스트 넘버라고도 불린다. 모든 연산은 일반적인 슈퍼대수의 부호 규칙을 따른다. 거스틴해버 대수는 리 괄호의 차수가 0이 아닌 -1이라는 점에서 푸아송 슈퍼대수와 구별된다.

2.2. 항등식

거스틴해버 대수는 두 개의 곱셈 연산(일반 곱셈 '.' 와 리 괄호 '[, ]')과 차수(간혹 고스트 넘버라고도 불림)라고 불리는 Z-등급 대수를 가진다. 원소 a의 차수는 |a|로 표기한다. 이 연산과 차수는 다음 항등식들을 만족시킨다.

* 곱셈의 결합 법칙: (ab)c = a(bc)
* 곱셈의 초교환 법칙 (Supercommutativity): ab = (−1)^|a||b|ba
* 곱셈의 차수: |ab| = |a| + |b| (곱셈은 차수 0을 갖는다)
* 리 괄호의 차수: |[a,b]| = |a| + |b| − 1 (리 괄호는 차수 −1을 갖는다)
* 푸아송 항등식: [a,bc] = [a,b]c + (−1)^(|a|−1)|b|b[a,c]
* 리 괄호의 반대칭성 (초교환 법칙): [a,b] = −(−1)^{(|a|−1)(|b|−1)} [b,a]
* 야코비 항등식: [a,[b,c]] = a

야코비 항등식은 다음과 같은 대칭적인 형태로도 표현될 수 있다.
: ( −1)^{(|a|−1)(|c|−1)}[a,[b,c]] + (−1)^{(|b|−1)(|a|−1)}[b,[c,a]] + (−1)^{(|c|−1)(|b|−1)}[c,[a,b]] = 0.

거스틴해버 대수는 리 괄호의 차수가 0이 아닌 −1이라는 점에서 푸아송 슈퍼대수와 구별된다.

3. 호모토피 거스틴해버 대수

호모토피 거스틴해버 대수(homotopy Gerstenhaber algebra^영어, G_∞-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 거스틴해버 대수의 개념을 호모토피 이론의 관점에서 일반화한 대수 구조이다. 이 대수는 $\mathbb Z$ 등급을 가지며, 거스틴해버 대수의 기본적인 연산(곱과 괄호) 외에도 무한히 많은 고차 연산 $m_{n_1,\dots,n_k}$ 들을 포함하는 것이 특징이다.

이 고차 연산들은 거스틴해버 대수에서 엄밀하게 성립했던 결합 법칙이나 야코비 항등식과 같은 중요한 대수적 성질들이 정확히 등호(=)로 연결되는 대신, 호모토피적으로, 즉 어떤 '오차 항'을 통해 연결되도록 한다. 이러한 오차 항들은 미분 연산자( $d$ )와 관련되어 있으며, 대수 구조가 더 유연하게 변형될 수 있도록 허용한다. 구체적인 연산과 항등식의 정의는 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3.1. 정의

호모토피 거스틴해버 대수(homotopy Gerstenhaber algebra^영어, G_∞-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 $\mathbb Z$ 등급을 갖는 대수이다. 이 위에는 모든
: $n=n_1+\cdots+n_k\qquad(n_i\ge1,k\ge1)$
에 대하여, $n$ 항 연산 $m_{n_1,\dots,n_k}$ 이 존재하며, 이는 등급 $3-n-k$ 을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.
* 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 $m_1=d$ 로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다.
* 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 $m_2=\cdot$ , $m_{1,1}=\circ$ 로 쓴다.
* 3항 연산은 4개가 있으며, $m_{1,1,1}$ , $m_{1,2}$ , $m_{2,1}$ , $m_3$ 이다.

이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.
* (멱영성) $d^2=0$
* (곱 규칙) $d(ab)=(da)b+a(db)$
* (호모토피 결합 법칙) $a(bc)-(ab)c=m_3(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_3(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_3(a,b,dc)$
* (호모토피 교환 법칙) $ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db$
* $(a\circ b)\circ c-a\circ(b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)$

3.2. 주요 연산

호모토피 거스틴해버 대수(homotopy Gerstenhaber algebra^영어, G_∞-algebra^영어, braid algebra^영어, 2-algebra^영어)는 $\mathbb Z$ 등급을 갖는 대수이다. 이 대수 위에는 모든
: $n=n_1+\cdots+n_k\qquad(n_i\ge1,k\ge1)$
에 대하여, $n$ 항 연산 $m_{n_1,\dots,n_k}$ 이 존재하며, 이는 등급 $3-n-k$ 을 갖는다.

주요 연산들은 다음과 같다.
* 1항 연산: 하나만 존재하며, 보통 $m_1=d$ 로 표기한다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계(coboundary)에 해당한다.
* 2항 연산: 두 개가 존재하며, 보통 $m_2=\cdot$ (곱)과 $m_{1,1}=\circ$ (원 연산)으로 표기한다.
* 3항 연산: 네 개가 존재하며, $m_{1,1,1}$ , $m_{1,2}$ , $m_{2,1}$ , $m_3$ 이다.

이 연산들 사이에는 여러 항등식이 성립하며, 그중 기본적인 것들은 다음과 같다.
* 멱영성(Nilpotency): $d^2=0$ . 이는 공경계 연산자의 기본적인 성질이다.
* [[곱 규칙]](Product rule): $d(ab)=(da)b+a(db)$ . 이는 미분 연산자와 유사한 성질을 나타낸다.
* 호모토피 [[결합 법칙]](Homotopy associativity): $a(bc)-(ab)c=m_3(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_3(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_3(a,b,dc)$ . 이는 곱셈 연산 $\cdot$ 이 엄밀한 의미의 결합 법칙을 만족하지 않고, 호모토피적으로만 만족함을 의미한다.
* 호모토피 [[교환 법칙]](Homotopy commutativity): $ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db$ . 이는 곱셈 연산 $\cdot$ 이 등급을 고려한 교환 법칙을 호모토피적으로 만족함을 의미한다.
* 고차 항등식: $(a\circ b)\circ c-a\circ(b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)$ . 이는 원 연산 $\circ$ 과 다른 연산들 사이의 복잡한 관계를 나타내는 항등식 중 하나이다.

3.3. 항등식 (호모토피 거스틴해버 대수)

호모토피 거스틴해버 대수(homotopy Gerstenhaber algebra^영어, G_∞-algebra, braid algebra, 2-algebra)의 연산들은 여러 항등식을 만족시킨다.

호모토피 거스틴해버 대수에는 $\mathbb Z$ 등급(grade)을 가진 다양한 연산( $m_{n_1,\dots,n_k}$ )이 존재하며, 각 연산은 $3-n-k$ (여기서 $n=n_1+\cdots+n_k$ ) 등급을 가진다. 낮은 차수의 연산과 이들이 만족하는 기본적인 항등식은 다음과 같다.

* 1항 연산 (등급 1): $m_1=d$ 로 표기하며, 공사슬 복합체의 공경계(coboundary) 연산자와 같다.
* 2항 연산 (등급 0): $m_2=\cdot$ (곱)과 $m_{1,1}=\circ$ (괄호)가 있다.
* 3항 연산 (등급 -1): $m_{1,1,1}$ , $m_{1,2}$ , $m_{2,1}$ , $m_3$ 등이 있다.

이 연산들 사이에는 다음과 같은 주요 항등식들이 성립한다.

* 멱영성(Nilpotency): 공경계 연산자 $d$ 를 두 번 적용하면 0이 된다.
: $d^2=0$
* [[곱 규칙]](Leibniz rule): 공경계 연산자 $d$ 는 곱셈 연산 $\cdot$ 에 대해 다음 곱 규칙을 만족한다.
: $d(ab)=(da)b+a(db)$
* 호모토피 [[결합 법칙]](Homotopy associativity): 곱셈 연산 $\cdot$ 은 엄밀한 의미의 결합 법칙을 만족하지는 않지만, 3항 연산 $m_3$ 과 공경계 연산자 $d$ 를 통해 그 차이가 호모토피적으로 제어된다.
: $a(bc)-(ab)c=m_3(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_3(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_3(a,b,dc)$
* 호모토피 [[교환 법칙]](Homotopy commutativity): 곱셈 연산 $\cdot$ 이 등급을 고려한 교환 법칙에서 벗어나는 정도가 2항 연산 $\circ$ 와 공경계 연산자 $d$ 로 표현된다.
: $ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db$
* 고차 항등식: 더 높은 차수의 연산들 사이에도 복잡한 항등식들이 존재한다. 예를 들어, 2항 연산 $\circ$ 와 3항 연산 $m_{1,1,1}, m_{1,2}, m_{2,1}$ 등이 관련된 항등식은 다음과 같다.
: $(a\circ b)\circ c-a\circ(b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}m_{1,1,1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)$

4. 성질

호모토피 거스틴해버 대수는 A∞-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.
* 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 $m_{n_1,\dots,n_k}$ 가운데, $k=1$ 인 연산들은 A∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A∞-대수이다.
* 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 $m_{n_1,\dots,n_k}$ 가운데, $k=n$ 인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L∞-대수이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 $A$ 에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한 다음 조건들을 만족하면 $(A,\cdot,[,])$ 은 거스틴해버 대수를 이룬다.
: $a\circ b-(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=[a,b]$
: $a\circ b+(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=0$
또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다.

5. 예시

* 결합 법칙을 따르는 대수 $A$ 의 호흐실트 코호몰로지 $H^\bullet(A,A)$ 는 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 형성한다.
* 위상 꼭짓점 연산자 대수는 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며, 여기에 BRST 양자화를 통해 물리적 상태로 구성된 코호몰로지를 취하면, 해당 코호몰로지 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.
* 바탈린-빌코비스키 대수는 추가적인 구조( $\Delta$ 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다. 이 $\Delta$ 연산자를 제외하면 기본적인 거스틴해버 대수가 된다.
* 리 대수 $\mathfrak g$ 의 외대수 $\bigwedge^\bullet\mathfrak g$ 는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.
* 푸아송 다양체의 미분 형식은 거스틴해버 대수를 형성한다.
* 다양체의 다중 벡터장은 쇼텐-니엔하위스 괄호를 사용하여 거스틴해버 대수를 형성한다.

6. 역사

머리 거스틴해버(Murray Gerstenhaber^영어)가 도입하였다.

분야	수학, 대수학
정의	차등 등급 대수와 리 대수의 호환 가능한 구조를 갖춘 등급 벡터 공간
이름의 유래	머리 거스틴해버