심프슨 공식

1. 개요

심프슨 공식은 주어진 구간의 세 점(양 끝점과 중간점)을 지나는 이차 함수를 이용하여 함수를 근사하는 수치 적분 방법이다. 복합 심프슨 공식과 심프슨 3/8 법칙과 같은 확장된 형태가 있으며, 적분 구간을 여러 부분으로 나누어 정확도를 높인다. 심프슨 공식은 중점 규칙과 사다리꼴 공식을 결합하여 유도할 수 있으며, 좁은 피크를 갖는 함수에 대해서는 사다리꼴 공식보다 효율성이 떨어진다. 뉴턴-코츠 공식, 수치 적분, 사다리꼴 공식, 롬베르크 적분법 등이 관련 항목이다.

2. 기본

심프슨 공식은 주어진 구간의 양 끝점과 중간점, 총 세 점을 지나는 이차 함수를 이용하여 원래 함수를 근사하는 방식이다. 이 이차 함수는 라그랑주 다항식 보간법을 통해 구할 수 있다.

기본 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; f(x)\; \backslash ,\; dx\backslash approx\; \backslash frac\{b-a\}\{6\}\backslash left[f(a)\; +\; 4f\backslash left(\backslash frac\{a+b\}\{2\}\backslash right)+f(b)\backslash right]$

이 공식으로 적분을 구할 때 생기는 오차는 다음과 같다. 여기서 $h\; =\; \backslash textstyle\; \backslash frac\{b-a\}2$이고, $\backslash xi$는 a와 b 사이에 있는 임의의 숫자이다.

:$-\backslash frac\{h^5\}\{90\}f^\{(4)\}(\backslash xi)$

3. 심프슨 공식의 확장

심프슨 공식은 적분 구간이 작을 때 정확하지만, 구간이 넓어지면 오차가 커진다. 이 문제를 해결하기 위해 적분 구간을 여러 개의 작은 부분 구간으로 나누어 각 구간에 심프슨 공식을 적용하고 그 결과들을 합하는 방식을 사용한다. 이를 통해 정확도를 높일 수 있다.

확장된 공식은 측량학에서 면체적 측량 시 쓰이며 심프슨 1법칙이라고도 부른다.

이 외에도 겹치는 구간에 심프슨 공식을 적용하는 다른 형태의 복합 심프슨 공식도 있으며, 임의 차수 다항식 보간에 대한 일반화는 뉴턴-코츠 공식으로 이어진다.

3.1. 복합 심프슨 1/3 법칙 (Composite Simpson's 1/3 rule)

적분 구간 $[a,\; b]$이 작지 않을 때는 먼저 구간을 몇 개의 작은 구간으로 나누고, 각 구간에 심프슨 법칙을 적용해 그 값들을 합해야 한다. 여기서 확장된 공식을 유도할 수 있다. 측량학에서는 면체적 측량 시 쓰이며 심프슨 1법칙이라고 부른다.

구간 $[a,\; b]$를 짝수 $n$개의 부분 구간으로 나누면, 복합 심프슨 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\backslash approx$
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg]

이 식에서 $n$은 구간 $[a,\; b]$을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, $h\; =\; \backslash textstyle\; \backslash frac\{b-a\}n$은 각 부분구간의 길이이다. 면적측량 시 n이 홀수라면 남는 부분은 사다리꼴의 넓이로 계산하여 더해준다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\backslash approx$
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]

구간 $[a,\; b]$를 길이 $h\; =\; (b\; -\; a)/n$인 $n$개의 부분 구간으로 나누고, $0\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; n$에 대해 점 $x\_i\; =\; a\; +\; ih$을 도입하면 (특히, $x\_0\; =\; a$ 및 $x\_n\; =\; b$), 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$
\int_a^b f(x)\, dx
\approx \frac{1}{3} h\sum_{i = 1}^{n/2}\big[f(x_{2i - 2}) + 4f(x_{2i - 1}) + f(x_{2i})\big]
= \frac{1}{3} h\big[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \dots + 2f(x_{n - 2}) + 4f(x_{n - 1}) + f(x_n)\big]
= \frac{1}{3} h\left[f(x_0) + 4\sum_{i = 1}^{n/2} f(x_{2i - 1}) + 2\sum_{i = 1}^{n/2 - 1} f(x_{2i}) + f(x_n)\right].


복합 심프슨 공식에 의해 발생하는 오차는 다음과 같다.

:$-\backslash frac\{1\}\{180\}\; h^4(b\; -\; a)f^\{(4)\}(\backslash xi),$

여기서 $\backslash xi$는 $a$와 $b$ 사이의 어떤 수이고, $h\; =\; (b\; -\; a)/n$은 "단계 길이"이다. 오차는 (절대값으로) 다음과 같이 제한된다.

:$\backslash frac\{1\}\{180\}\; h^4(b\; -\; a)\; \backslash max\_\{\backslash xi\; \backslash in\; [a,\; b]\}\; \backslash left|f^\{(4)\}(\backslash xi)\backslash right|.$

3.2. 심프슨 3/8 법칙 (Simpson's 3/8 rule)

n이 3의 배수일 때 3개의 h씩 묶어 면적을 계산하여 다음 식으로 전체 면적을 구할 수도 있다. n이 3의 배수가 아니면, 2법칙을 적용하고 남는 구간은 심프슨 1법칙으로 계산해서 더한다.

: $\backslash frac\{3\}\{8\}h\; [f(x\_0)\; +\; 2\backslash Sigma\; f(x\_\{\backslash text\{3의\; 배\; 수\; \}\})\; +\; 3\backslash Sigma\; f(x\_\{\backslash text\{남\; 은\; 수\; \}\})\; +\; f(x\_n)]$

토머스 심프슨이 제안한 수치 적분 방법 중 하나로, 3차 보간법을 기반으로 한다. 심프슨 3/8 법칙은 심프슨의 두 번째 공식이라고도 불린다. 공식은 다음과 같다.

$$$$
\begin{align}
\int_a^b f(x)\, dx
&\approx \frac{b - a}{8} \left[f(a) + 3f\left(\frac{2a + b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a + 2b}{3}\right) + f(b)\right]\\
&= \frac{3}{8} h\left[f(a) + 3f\left(a + h\right) + 3f\left(a + 2h\right) + f(b)\right],
\end{align}


여기서 $h\; =\; (b\; -\; a)/3$는 단계 크기이다.

이 방법의 오차는 다음과 같다.

$$-\backslash frac\{3\}\{80\}\; h^5f^\{(4)\}(\backslash xi)\; =\; -\backslash frac\{(b\; -\; a)^5\}\{6480\}\; f^\{(4)\}(\backslash xi),$$

여기서 $\backslash xi$는 $a$와 $b$ 사이의 어떤 숫자이다. 따라서 3/8 공식은 표준 방법보다 약 두 배 더 정확하지만, 함수 값을 하나 더 사용한다.

구간 $[a,\; b]$를 길이 $h\; =\; (b\; -\; a)/n$인 $n$개의 부분 구간으로 나누고, 점 $x\_i\; =\; a\; +\; ih$를 $0\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; n$에 대해 도입하면(특히, $x\_0\; =\; a$와 $x\_n\; =\; b$), 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$$$
\begin{align}
\int_a^b f(x)\, dx
&\approx \frac{3}{8} h\sum_{i = 1}^{n/3} \big[f(x_{3i - 3}) + 3f(x_{3i - 2}) + 3f(x_{3i - 1}) + f(x_{3i})\big]\\
&= \frac{3}{8} h\big[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + 3f(x_5) + 2f(x_6) + \dots \\&\qquad+ 2f(x_{n - 3}) + 3f(x_{n - 2}) + 3f(x_{n - 1}) + f(x_n)\big]\\
&= \frac{3}{8} h\left[f(x_0) + 3 \sum_{i = 1,\ 3\nmid i}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=1}^{n/3 - 1} f(x_{3i}) + f(x_n)\right].
\end{align}


이 공식에 대한 나머지 항은 $-\backslash frac\{1\}\{80\}\; h^4(b\; -\; a)f^\{(4)\}(\backslash xi),$ 로 표시되지만, 이는 $n$이 3의 배수일 때만 사용할 수 있다. 나머지 부분 구간에 대해서는 오차 항의 차수를 변경하지 않고 1/3 공식을 사용할 수 있다. (반대로, 홀수 번호의 부분 구간에 대해서는 3/8 공식과 합성 1/3 공식을 함께 사용할 수 있다.)

이 개념을 더 일반화 하면 뉴턴-코츠 공식을 얻을 수 있다.

3.3. 불규칙 간격 데이터에 대한 복합 심프슨 공식

어떤 응용 분야에서는 적분 구간 $I\; =\; [a,\; b]$를 불균등한 간격으로 나누어야 할 필요가 있다. 이는 데이터의 불균등한 샘플링, 또는 누락되거나 손상된 데이터 포인트 때문일 수 있다.

구간 $I$를 너비 $h\_k$를 갖는 짝수 개의 $N$개의 부분 구간으로 나눈다고 가정하면, 합성 심슨 공식은 다음과 같다.

:$$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{N/2\; -\; 1\}\; \backslash frac\{h\_\{2i\}\; +\; h\_\{2i\; +\; 1\}\}\{6\}\; \backslash left[\backslash left(2\; -\; \backslash frac\{h\_\{2i\; +\; 1\}\}\{h\_\{2i\}\}\backslash right)\; f\_\{2i\}\; +\; \backslash frac\{(h\_\{2i\}\; +\; h\_\{2i\; +\; 1\})^2\}\{h\_\{2i\}\; h\_\{2i\; +\; 1\}\}\; f\_\{2i\; +\; 1\}\; +\; \backslash left(2\; -\; \backslash frac\{h\_\{2i\}\}\{h\_\{2i\; +\; 1\}\}\backslash right)\; f\_\{2i\; +\; 2\}\backslash right],$$

여기서

:$$f\_k\; =\; f\backslash left(a\; +\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{k\; -\; 1\}\; h\_i\backslash right)$$

는 구간 $I$의 $k$번째 샘플링 지점에서의 함수 값이다.

홀수 개의 $N$개의 부분 구간의 경우, 위 공식은 마지막에서 두 번째 구간까지 사용되며, 마지막 구간은 결과에 다음을 더하여 별도로 처리된다.

:$$\backslash alpha\; f\_N\; +\; \backslash beta\; f\_\{N\; -\; 1\}\; -\; \backslash eta\; f\_\{N\; -\; 2\},$$

여기서

:$$$$
\begin{align}
\alpha &= \frac{2h_{N - 1}^2 + 3h_{N - 1} h_{N - 2}}{6(h_{N - 2} + h_{N - 1})},\\[1ex]
\beta &= \frac{h_{N - 1}^2 + 3h_{N - 1} h_{N - 2}}{6h_{N - 2}},\\[1ex]
\eta &= \frac{h_{N - 1}^3}{6 h_{N - 2}(h_{N - 2} + h_{N - 1})}.
\end{align}

4. 다른 수치 적분 방법과의 관계

심프슨 공식은 뉴턴-코츠 공식의 한 예로, 함수를 이차 다항식으로 근사하여 적분값을 계산한다.

심프슨 공식은 중점 규칙과 사다리꼴 공식을 조합하여 유도할 수도 있다. 중점 규칙은 다음과 같다.

:$$M\; =\; (b\; -\; a)f\backslash left(\backslash frac\{a\; +\; b\}\{2\}\backslash right)$$

사다리꼴 공식은 다음과 같다.

:$$T\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (b\; -\; a)\backslash big(f(a)\; +\; f(b)\backslash big).$$

이 두 공식의 오차는 각각 다음과 같다.

:$$\backslash frac\{1\}\{24\}\; (b\; -\; a)^3\; f$$(a) + O\big((b - a)^4\big)

:$$-\backslash frac\{1\}\{12\}\; (b\; -\; a)^3\; f$$(a) + O\big((b - a)^4\big)

여기서 $O\backslash big((b\; -\; a)^4\backslash big)$는 $(b\; -\; a)^4$에 점근적으로 비례하는 항을 나타낸다. 중점 규칙과 사다리꼴 규칙의 오차에서 주요 항을 제거하기 위해 가중 평균을 취하면 심프슨 공식을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{2M\; +\; T\}\{3\}.$

롬베르크 적분법은 이와 같이 다른 근사값을 사용하여 오차 항을 제거하는 방법이다.

5. 좁은 피크를 갖는 함수의 경우

좁은 피크 형태 함수 전체 면적 추정 작업에서, 심프슨 공식은 사다리꼴 공식보다 효율성이 떨어진다. 특히, 복합 심프슨 1/3 공식은 사다리꼴 공식과 동일한 정확도를 얻기 위해 1.8배 더 많은 점이 필요하다. 복합 심프슨 3/8 공식은 정확도가 더 낮다. 심프슨 1/3 공식에 의한 적분은 단계 h를 갖는 사다리꼴 공식에 의한 적분에서 2/3의 값과 단계 2h를 갖는 직사각형 공식에 의한 적분에서 1/3의 값이 나오는 가중 평균으로 표현될 수 있다. 정확도는 두 번째 (2h 단계) 항에 의해 결정된다. 적절하게 이동된 프레임을 갖는 심프슨 1/3 공식 복합 합의 평균은 다음과 같은 공식을 생성한다.

:$$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{24\}\; h\backslash left[-f(x\_\{-1\})\; +\; 12f(x\_0)\; +\; 25f(x\_1)\; +\; 24\backslash sum\_\{i\; =\; 2\}^\{n\; -\; 2\}\; f(x\_i)\; +\; 25f(x\_\{n\; -\; 1\})\; +\; 12f(x\_n)\; -\; f(x\_\{n\; +\; 1\})\backslash right],$$

여기서 적분 영역 외부의 두 점이 사용되고,

:$$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{24\}\; h\backslash left[9f(x\_0)\; +\; 28f(x\_1)\; +\; 23f(x\_2)\; +\; 24\backslash sum\_\{i\; =\; 3\}^\{n\; -\; 3\}\; f(x\_i)\; +\; 23f(x\_\{n\; -\; 2\})\; +\; 28f(x\_\{n\; -\; 1\})\; +\; 9f(x\_n)\backslash right],$$

여기서 적분 영역 내의 점만 사용된다. 두 번째 공식을 3점 영역에 적용하면 1/3 심프슨 공식이 생성되고, 4점 영역에 적용하면 3/8 공식이 생성된다.

이러한 공식은 대안적인 확장된 심프슨 공식과 매우 유사하다. 적분되는 영역의 주요 부분 내의 계수는 가장자리에만 단위가 아닌 계수가 있는 1이다. 이 두 가지 공식은 첫 번째 미분 항을 갖는 오일러-매클로린 공식과 관련될 수 있으며, 1차 오일러-매클로린 적분 공식이라고 명명된다.

6. 관련 항목

* 뉴턴-코츠 공식