외접원

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 외접원의 방정식
5. 외심의 좌표
6. 기타 성질
7. 내접 다각형
참조

1. 개요

외접원은 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 의미하며, 그 중심을 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 다각형을 내접 다각형이라고 하며, 특히 사각형의 경우 내접 사각형이라고 한다. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이며, 예각삼각형은 내부에, 둔각삼각형은 외부에, 직각삼각형은 빗변의 중점에 위치한다. 외접원의 지름은 사인 법칙을 통해 구할 수 있으며, 삼각형의 외심은 무게중심, 수심과 함께 오일러선 위에 놓인다. 사각형은 특정 조건을 만족할 때 외접원을 가질 수 있으며, 직사각형과 등변사다리꼴이 이에 해당한다. 외접원은 항해술에서 위치를 파악하는 데 사용되기도 하며, 모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 외접원의 방정식, 외심의 좌표, 그리고 외접원과 관련된 다양한 기하학적 성질과 정리가 존재한다.

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외접원
정의
설명	삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원
성질
중심	수직이등분선의 교점
반지름	외접원의 반지름
관련 용어
관련 요소	외심
계산
외접원 반지름 (R)	R = abc / 4K (a, b, c는 삼각형 변의 길이, K는 삼각형의 넓이)
넓이 (K)	K = abc / 4R (a, b, c는 삼각형 변의 길이, R은 외접원의 반지름)

2. 정의

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 '''외접원'''이라고 하며, 외접원의 중심을 '''외심'''이라고 한다. 외접원을 갖는 다각형을 '''내접 다각형'''(cyclic polygon, inscribed polygon^영어)이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 사각형을 '''내접 사각형'''이라고 한다.

삼각형의 외심은 세 수직 이등분선 중 임의의 두 개를 그리는 것으로 작도할 수 있다. 모든 삼각형에는 외접원이 존재하며, 삼각형의 외심은 3개의 변의 수직이등분선이 교차하는 점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형 내부에 있고, 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.

연안 항해에서 삼각형의 외접원은 나침반을 사용할 수 없을 때 육분의를 사용하여 위치선을 얻는 방법으로 사용되기도 한다.

3. 성질

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재한다면, 이 원을 다각형의 '''외접원'''이라고 하고, 그 중심을 '''외심'''이라고 한다. 외접원을 갖는 다각형을 '''내접 다각형'''이라고 한다.^[4] 외심은 다각형 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같다.

모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선 중 임의의 두 개를 그리는 것으로 작도할 수 있다.

연안 항해에서 삼각형의 외접원은 나침반을 사용할 수 없을 때 육분의를 사용하여 위치선을 얻는 방법으로 사용되기도 한다.

3. 1. 삼각형의 외심

예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 둔각 삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 이는 탈레스의 정리의 한 형태이다.^[4]

모든 삼각형에는 외접원이 존재하며, 삼각형의 외심은 3개의 변의 수직이등분선이 교차하는 점이다. 항해에서 삼각형의 외접원은 나침반을 사용할 수 없는 상황에서 육분의를 이용하여 위치를 파악하는 데 사용될 수 있다.

삼각형에서 어떤 꼭짓점과 그 대변의 수직이등분선의 연장선상에 있는 외접원(원주)과의 교점(대변에서 삼각형의 바깥쪽)을 잇는 직선은 그 꼭짓점의 내각을 이등분하는 직선이 된다.

3. 1. 1. 반지름

삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 ''R''이라고 하고, 세 변의 길이를 ''a''=BC, ''b''=CA, ''c''=AB라고 할 때, 사인 법칙에 따라 다음 등식이 성립한다.^[4]

:

\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R

삼각형의 넓이를 ''S''라고 하면, 다음이 성립한다.

:

S=\frac{abc}{4R}

삼각형의 내접원의 반지름을 ''r''이라고 하면, 오일러 삼각형 정리에 따라 외심 ''O''와 내심 ''I'' 사이의 거리는 다음과 같다.

:

OI=\sqrt{R^2-2Rr}

특히, 오일러 부등식에 의해 다음 부등식이 성립한다.

:

R\ge 2r

외접원의 지름은 다음과 같이 표현할 수도 있다.^[4]

:

\begin{align}\text{지름} & {}= \frac{abc}{2\cdot\text{면적}} = \frac

{2|\Delta ABC|} \\[5pt]& {}= \frac{abc}{2\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}\\[5pt]& {}= \frac{2abc}{\sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}}\end{align}

여기서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이이고

s=\tfrac{a+b+c}{2}

는 반둘레이다.

\scriptstyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

는 헤론의 공식에 의한 삼각형의 면적이다.

외접원의 지름에 대한 삼각 표현에는 다음이 포함된다.^[5]

:

\text{지름} = \sqrt{\frac{2 \cdot \text{면적}}{\sin A \sin B \sin C}}.

기하학의 오일러 정리에 의해, 외심 ''O''와 내심 ''I'' 사이의 거리는

:

\overline{OI} = \sqrt{R(R - 2r)},

여기서 ''r''은 내접원 반지름이고, ''R''은 외접원 반지름이다. 따라서 외접 반지름은 적어도 내접 반지름의 두 배이다(오일러의 삼각형 부등식).^[6]^[7]

삼각형이 외접원과 내접원으로 두 개의 특정 원을 갖는 경우, 외접원의 꼭짓점으로 외접원의 임의의 점을 사용하여 동일한 외접원과 내접원을 갖는 무한한 수의 다른 삼각형이 존재한다. (이것은 퐁슬레의 포리즘의 ''n'' = 3인 경우이다.)

외접원의 반지름은 다음과 같은 식으로 나타낸다.

:

\begin{align}R &= \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\&= \frac{abc}{4rs} \\&= \frac{r}{\cos A + \cos B + \cos C - 1}\end{align}

여기서 a, b, c는 세 변의 길이, A, B, C는 세 각의 크기, r은 내접원의 반지름, s는 둘레의 절반을 의미한다.

3. 1. 2. 오일러 직선

삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위에 있으며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

3. 2. 사각형의 외심

(볼록) 사각형

ABCD

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
두 대각의 합은 $180^\circ$ 이다. ( $\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$ )
(원주각) $\angle ACB=\angle ADB$
(방멱 정리) 두 대각선 $AC$ , $BD$ 의 교점을 $E$ 라고 할 때, $EA\cdot EC=EB\cdot ED$ 이다.
(프톨레마이오스 정리) $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$ 이다.

사각형이 특정 조건—예를 들어 대각이 보각 (서로 더해서 180° 또는 π|파이^영어 라디안)이 될 때—을 만족하면, 원을 외접시킬 수 있다.

이를 만족하는 대표적인 사각형으로는 직사각형, 등변사다리꼴이 있다.

외접원의 반지름은

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

로 나타낼 수 있다. (브라마굽타의 공식) 여기서 s는 반둘레이다.

4개의 변의 길이를

a, b, c, d

, 대각선의 길이를

p, q

라고 하면,

ac + bd = pq

가 성립한다. (프톨레마이오스의 정리)

3. 3. 미켈 정리

삼각형

ABC

와 직선

BC

,

CA

,

AB

위의 점

D

,

E

,

F

가 주어졌을 때, '''미켈 정리'''(Miquel theorem^영어)에 따르면 삼각형

AEF

,

BFD

,

CDE

의 외접원은 한 점

P

에서 만난다.^[18] 이 점

P

를 삼각형

ABC

에 대한 점

D

,

E

,

F

의 '''미켈 점'''(Miquel point^영어)이라고 한다. 만약

D

,

E

,

F

가 한 직선 위에 있지 않다면, 삼각형

DEF

를 삼각형

ABC

에 대한 점

P

의 '''미켈 삼각형'''(Miquel triangle^영어)이라고 한다.

미켈 정리는 네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원이 한 점에서 만나는 경우로 확장할 수 있는데, 이는

D

,

E

,

F

가 한 직선 위에 있는 특수한 경우이다.

삼각형

ABC

와 직선

BC

,

CA

,

AB

위의 점

D

,

E

,

F

및 점

P

에 대하여, 삼각형

DEF

가 점

P

의 미켈 삼각형일 필요충분조건은 유향각

\angle PFA

,

\angle PDB

,

\angle PEC

의 크기가 같은 것이다. 따라서, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형

ABC

와 직선

BC

,

CA

,

AB

위의 점

D

,

E

,

F

및 미켈 점

P

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.^[18]

:

\angle BPC=\angle BAC+\angle EDF

:

\angle CPA=\angle CBA+\angle FED

:

\angle APB=\angle ACB+\angle DFE

여기서 모든 각도는 유향각이다.

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형

ABC

에 대한 점

P

의 모든 미켈 삼각형은

P

를 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.^[18]

3. 4. 키페르트 포물선과의 관계

삼각형의 모든 내접 포물선의 초점은 외접원 위에 있다.^[19] 특히 삼각형의 키페르트 포물선(Kiepert’s parabola^영어)의 초점은 외접원 위에 있다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 증명할 수 있다.

내접 포물선의 초점

F

가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점

F

를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점

F

를 지나는, 포물선 위 임의의 점

P

에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점

V

에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

점

P

또는 초점

F

를 지나는 준선의 수선의 발을

D

,

E

라고 하고, 꼭짓점

V

에서의 접선과

DF

의 교점을

M

이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점

V

는 선분

EF

의 중점이며,

VM

과

DE

는 평행하므로

M

은 선분

DF

의 중점이다.

PD=PF

이므로

PM

은

DF

의 수선이자

\angle DPF

의 이등분선이다. 이에 따라 광선

FP

가 직선

PM

에 반사된 광선은

DP

의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선

FP

가 포물선에 반사된 광선은

DP

의 연장선이므로,

PM

은 포물선의

P

에서의 접선이다.

4. 외접원의 방정식

유클리드 평면에서 삼각형 꼭짓점의 데카르트 좌표를 사용하여 외접원의 방정식을 표현할 수 있다. 점 A, B, C의 좌표를 다음과 같이 가정한다.

: $\begin{align}\mathbf{A} &= (A_x, A_y) \\\mathbf{B} &= (B_x, B_y) \\\mathbf{C} &= (C_x, C_y)\end{align}$

외접원은 다음 방정식을 만족하는 점 $\mathbf v = (v_x,v_y)$ 의 집합으로 표현된다.

: $\begin{align}|\mathbf{v} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{A} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{B} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{C} - \mathbf{u}|^2 &= r^2\end{align}$

여기서 '''A''', '''B''', '''C''', '''v'''는 모두 원의 중심 $\mathbf u$ 에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 편광 항등식을 사용하면, 이 방정식은 다음 행렬 조건으로 단순화된다.

: $\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\|\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\|\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\|\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1\end{bmatrix}$

이 행렬은 0이 아닌 커널을 가진다. 따라서 외접원은 다음 행렬의 행렬식이 0이 되는 점들의 자취로 표현할 수 있다.

: $\det\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & v_x & v_y & 1 \\|\mathbf{A}|^2 & A_x & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_x & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_x & C_y & 1\end{bmatrix}=0.$

여인수 전개를 사용하여 정리하면 다음과 같다.

: $\begin{align}S_x &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}|\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]S_y &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]a &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & 1 \\B_x & B_y & 1 \\C_x & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]b &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & |\mathbf{A}|^2 \\B_x & B_y & |\mathbf{B}|^2 \\C_x & C_y & |\mathbf{C}|^2\end{bmatrix}\end{align}$

$a|\mathbf v|^2 - 2\mathbf{Sv} - b = 0$ 이고, 여기서 $\mathbf S = (S_x, S_y)$ 이다. 세 점이 일직선상에 있지 않으면(외접원은 $\mathbf{S}$ 가 무한대인 일반화된 원), 외심은 $\tfrac{\mathbf S}{a}$ 이고 외접반경은 $\sqrt{\tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2}}$ 이다. 사면체의 외접구 방정식도 비슷한 방법으로 유도할 수 있다.

원에 포함된 평면에 수직인 단위 벡터는 다음과 같다.

: $\widehat{n} = \frac{(P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)}$

.

반지름

r

, 중심

P_c

, 원 위의 점

P_0

, 원을 포함하는 평면의 단위 법선 벡터

\widehat n

이 주어졌을 때, 점

P_0

에서 시작하여

\widehat n

에 대해 양의 방향(오른손 법칙)으로 진행하는 원의 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

:

\mathrm{R} (s) = \mathrm{P_c} +\cos\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}\right)(P_0 - P_c) +\sin\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}\right)\left[\widehat{n} \times(P_0 - P_c)\right].

삼선좌표계에서 외접원의 방정식은

\tfrac{a}{x} + \tfrac{b}{y} + \tfrac{c}{z} =0

이다. 바리중심 좌표계에서 외접원의 방정식은

\tfrac{a^2}{x} + \tfrac{b^2}{y} + \tfrac{c^2}{z} =0

이다.

외접원의 등각 켤레점은 무한대선이며, 삼선좌표계에서는

ax+by+cz=0

, 바리중심 좌표계에서는

x+y+z=0

으로 주어진다.

직교 좌표계에서의 외접원의 방정식은 행렬식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\det\begin{vmatrix}v^2 & v_x & v_y & 1 \\A^2 & A_x & A_y & 1 \\B^2 & B_x & B_y & 1 \\C^2 & C_x & C_y & 1\end{vmatrix}=0

여기서 ''A'', ''B'', ''C''는 각 꼭짓점을 나타내며, 이 식을 만족하는 '''v'''의 집합이 외접원이 된다. ('''A'''² = ''A''_''x''² + ''A''_''y''²)

5. 외심의 좌표

유클리드 평면에서 삼각형의 세 꼭짓점 데카르트 좌표를 사용하여 외접원의 방정식을 표현할 수 있다. 세 점 A, B, C의 좌표를 다음과 같이 가정한다.

: $\begin{align}\mathbf{A} &= (A_x, A_y) \\\mathbf{B} &= (B_x, B_y) \\\mathbf{C} &= (C_x, C_y)\end{align}$

외접원은 다음 방정식을 만족하는 점 $\mathbf v = (v_x,v_y)$ 의 집합으로 표현된다.

: $\begin{align}|\mathbf{v} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{A} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{B} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{C} - \mathbf{u}|^2 &= r^2\end{align}$

여기서 A, B, C, v는 모두 원의 중심 $\mathbf u$ 에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 편광 항등식을 이용하면, 위 방정식은 다음 행렬 조건으로 간단하게 표현된다.

: $\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\|\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\|\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\|\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1\end{bmatrix}$

이 행렬은 0이 아닌 커널을 가진다. 따라서 외접원은 다음 행렬식의 영점의 자취로 표현할 수 있다.

: $\det\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & v_x & v_y & 1 \\|\mathbf{A}|^2 & A_x & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_x & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_x & C_y & 1\end{bmatrix}=0.$

여인수 전개를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\begin{align}S_x &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}|\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]S_y &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]a &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & 1 \\B_x & B_y & 1 \\C_x & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]b &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & |\mathbf{A}|^2 \\B_x & B_y & |\mathbf{B}|^2 \\C_x & C_y & |\mathbf{C}|^2\end{bmatrix}\end{align}$

$a|\mathbf v|^2 - 2\mathbf{Sv} - b = 0$ 이고, 여기서 $\mathbf S = (S_x, S_y)$ 이다. 세 점이 일직선상에 있지 않으면(그렇지 않으면 외접원은 S가 무한대인 일반화된 원으로 볼 수 있는 선이다), $\left|\mathbf v - \tfrac{\mathbf S}{a}\right|^2 = \tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2},$ 가 외심 $\tfrac{\mathbf S}{a}$ 와 외접반경 $\sqrt{\tfrac{b}{a} + \tfrac$

6. 기타 성질

외접 지름은 외접 반지름의 두 배이며, 사인 법칙을 이용하여 계산할 수 있다. 삼각형의 한 변의 길이를 마주보는 각의 사인 값으로 나눈 값으로, 예를 들어 변 a와 마주보는 각 A에 대해 다음과 같이 표현된다.^[4]:

\text{지름} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

사인 법칙에 의해, 어떤 변과 마주보는 각을 사용하든 결과는 같다. 외접원의 지름은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.^[4]

:

\begin{align}\text{지름} & {}= \frac{abc}{2\cdot\text{면적}} = \frac

{2|\Delta ABC|} \\[5pt]& {}= \frac{abc}{2\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}\\[5pt]& {}= \frac{2abc}{\sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}}\end{align}

여기서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이이고

s=\tfrac{a+b+c}{2}

는 반둘레이다.

\scriptstyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

는 헤론의 공식에 따른 삼각형의 면적이다.^[4]

외심은 무게 중심, 수심과 함께 오일러 직선 위에 있다.

외심과 내심 사이의 거리는 기하학의 오일러 정리에 의해 다음과 같이 계산된다.

:

\overline{OI} = \sqrt{R(R - 2r)},

여기서 r은 내접원 반지름이고 R은 외접원 반지름이다. 따라서 외접 반지름은 내접 반지름의 최소 두 배이며(오일러의 삼각형 부등식), 정삼각형일 때만 같다.^[6]^[7]

7. 내접 다각형

꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 모든 삼각형은 내접 다각형이지만, 모든 사각형이 내접 다각형인 것은 아니다. 내접 사각형은 대각의 합이 180°라는 중요한 성질을 갖는다.

(볼록) 사각형 $ABCD$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
(두 대각의 합은 $180^\circ$ ) $\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$
(원주각) $\angle ACB=\angle ADB$
(방멱 정리) 두 대각선 $AC$ , $BD$ 의 교점을 $E$ 라고 할 때, $EA\cdot EC=EB\cdot ED$
(프톨레마이오스 정리) $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

사각형이 특정 조건—예를 들어 대각이 보각 (서로 더해서 180° 또는 π 라디안)이 될 때—을 만족할 때, 원을 외접시킬 수 있다.

이를 만족하는 대표적인 사각형으로, 직사각형·등변사다리꼴이 있다.

외접원의 반지름은

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

로 나타낼 수 있다. (브라마굽타의 공식) s는 반둘레이다.

4개의 변의 길이를

a, b, c, d

, 대각선의 길이를

p, q

라고 하면,

ac + bd = pq

가 성립한다. (프톨레마이오스의 정리)

외접원과 내접원이 모두 존재하는 사각형을 쌍심 사각형이라고 한다.

모든 각의 크기가 같은 공원 다각형이 되기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다.

각의 개수가 홀수인 경우: 정다각형
각의 개수가 짝수인 경우: 변의 길이가 교대로 같다(즉, 각 변에 인접한 두 변의 길이가 서로 같다)^[15]

변의 길이와 면적이 모두 유리수인 공원 오각형은 Robbins pentagon|로비ൻസ് 오각형^영어이라고 하며, 알려진 모든 경우에서 대각선 길이도 모두 유리수이다.^[16]

짝수

n

에 대한 임의의 공원

n

-각형에 대해, 각을 교대로 두 개의 그룹으로 나눌 때, 각 그룹에 속하는 각의 합은 서로 같다("홀수 번째 각의 합" = "짝수 번째 각의 합"). 이 사실은

n = 4

의 경우에서 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 귀납 단계에서는 하나의 변을 새로운 세 변으로 교체하여 원래 변과 더해진 세 변이 같은 조건을 만족하는 사각형을 이루도록 할 수 있다는 점에 유의한다(이때, 얻어진 사각형의 교대 각은 원래

n

-각형의 교대 각의 합에 각각 더해지지만, 그 합이 서로 같다는 것은 변하지 않는다).

어떤

n

-각형

X

가 원

C

에 내접하고, 다른

n

-각형

Y

가 앞선

n

-각형

X

의 각 꼭짓점에서 접하는 방식으로 원

C

에 외접한다고 하자. 이 때 원

C

위의 임의의 점

P

에서 다각형

X

의 각 변에 내린 수선의 길이의 곱은

P

에서 다각형

Y

의 각 변에 내린 수선의 길이의 곱과 같다.^[17]

참조

_[1] 서적 Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions https://archive.org/[...] Deighton, Bell, and Co.
_[2] MathWorld Barycentric Coordinates
_[3] 백과사전 Part I: Introduction and Centers X(1) – X(1000) https://faculty.evan[...]
_[4] 서적 Introduction to geometry https://archive.org/[...] Wiley
_[5] 서적 100 Great Problems of Elementary Mathematics Dover
_[6] 논문 Euler's triangle inequality via proof without words 2008-02
_[7] 간행물 Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities http://forumgeom.fau[...] 2015-01-18
_[8] 간행물 Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers http://forumgeom.fau[...]
_[9] 간행물 Euler and triangle geometry 2007-11
_[10] 서적 Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle Houghton Mifflin Co.
_[11] 서적 The Secrets of Triangles Prometheus Books
_[12] 서적 College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle Barnes & Noble
_[13] 서적 Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions http://www.forgotten[...] Forgotten Books
_[14] MathWorld barycentric coordinates
_[15] 간행물 Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons 2011-03
_[16] 간행물 Cyclic polygons with rational sides and area http://docserver.car[...]
_[17] 서적 Advanced Euclidean Geometry Dover
_[18] 서적
_[19] 서적

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