아폴로니안 개스킷

3. 곡률

원의 곡률은 반지름의 역수로 정의된다. 곡률에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

• 음의 곡률: 다른 모든 원을 포함하는 원을 나타낸다.
• 0의 곡률: 직선 (무한대 반지름을 가진 원)을 나타낸다.
• 양의 곡률: 다른 원과 외접하는 원을 나타낸다.

3. 1. 정수 곡률

$(a,\; b,\; c,\; d)$가 데카르트 방정식을 만족하는 시스템은 $x^2+m^2=d\_1\; d\_2$일 때 성립한다. 또한, $\backslash gcd(x,\; d\_1,\; d\_2)=1$이면 $(a,\; b,\; c,\; d)$는 원시적이고, 이면 $(a,\; b,\; c,\; d)$는 근 사중항이다.^[5]

이 관계를 이용하면 주어진 음의 굽힘 $x$를 갖는 모든 원시 근 사중항을 찾을 수 있다.^[6]

4. 대칭성

뫼비우스 변환은 원의 모양과 접점을 보존하므로, 아폴로니안 개스킷의 구조를 보존한다. 아폴로니안 개스킷 내의 임의의 세 개의 상호 접하는 원들은 뫼비우스 변환에 의해 서로 매핑될 수 있으며, 임의의 두 아폴로니안 개스킷은 뫼비우스 변환에 의해 서로 매핑될 수 있다.

특히, 임의의 아폴로니안 개스킷에서 두 개의 접하는 원에 대해, 접점 중심의 원에서의 반전(뫼비우스 변환의 특수한 경우)은 이 두 원을 두 개의 평행선으로 변환하고, 개스킷의 나머지를 두 평행선 사이의 개스킷이라는 특수한 형태로 변환한다. 이러한 반전의 합성은 임의의 두 접점을 서로 변환하는 데 사용될 수 있다.

뫼비우스 변환은 쌍곡 평면의 등거리 변환이므로, 쌍곡 기하학에서 모든 아폴로니안 개스킷은 합동이다. 따라서, (쌍곡) 등거리 변환에 따라 아폴로니안 개스킷은 단 하나만 존재한다. 아폴로니안 개스킷은 클라인 군으로 알려진 뫼비우스 변환 그룹의 극한 집합이다.^[4]

4. 1. 유클리드 대칭

• 두 개의 평행선 사이의 아폴로니안 개스킷 (무한 이각 대칭을 가짐)
• 정삼각형 내의 세 개의 합동 원에 의해 생성된 아폴로니안 개스킷 (삼각형의 대칭성을 가짐)
• 반지름 1인 두 개의 원이 반지름 2인 원에 의해 둘러싸인 아폴로니안 개스킷 (두 개의 반사 대칭선을 가짐)

5. 계산 방법

서로 접하는 세 원의 곡률을 ''k''₁, ''k''₂, ''k''₃, 아폴로니우스 원의 곡률을 ''k''₄라 하면, 데카르트의 정리에 의해 다음 식이 성립한다.^[11]

:(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\,(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)\,

''k''₄에 대해 정리하면 다음과 같다.

:k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1}\,

여기서 복호(複號)는 아폴로니우스 원이 두 개 존재한다는 것을 의미한다.

이어서 원의 중심을 살펴보자. '''복소 평면상에서''' 세 원의 중심을 각각 복소수 ''z''₁, ''z''₂, ''z''₃로 표현하고, 아폴로니우스 원의 중심을 ''z''₄라고 하면, 데카르트의 정리에 의해 다음 식이 성립한다.

:(k_1 z_1 + k_2 z_2 + k_3 z_3 + k_4 z_4)^2 = 2\,(k_1^2 z_1^2 + k_2^2 z_2^2 + k_3^2 z_3^2 + k_4^2 z_4^2)\,

''z''₄에 대해 정리하면 다음과 같다.

:z_4 = \frac{z_1 k_1 + z_2 k_2 + z_3 k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 z_1 z_2 + k_2 k_3 z_2 z_3 + k_1 k_3 z_1 z_3}}{k_4}

위 식에서 복호는 복소수의 제곱근을 취하는 과정(일반적으로 두 개의 값을 가짐)에 대응하는 것으로 생각할 수 있으며, ''k''₄를 구하는 식에서의 복호와는 무관하다(같은 순서나 역순이 아니다). 따라서 하나의 ''k''₄ 값에 대해 두 개의 ''z''₄가 존재하지만, 그중 하나만이 올바른 값이다.^[12]

6. 하우스도르프 차원

아폴로니안 개스킷은 하우스도르프 차원이 약 1.3057이다.^[2][3] 잘 정의된 분수 차원을 가지므로, 정확히 자기 유사성은 아니지만, 프랙탈로 생각할 수 있다.

7. 역사

아폴로니안 개스킷은 아폴로니우스의 문제의 해에 의존하기 때문에 페르가의 아폴로니우스의 이름을 따서 명명되었다.^[10] 하지만 개스킷에 대한 가장 초기의 설명은 1706년 라이프니츠가 데스 보세스에게 보낸 편지에서 찾을 수 있다.^[10] 아폴로니안 개스킷에 대한 최초의 현대적 정의는 캐스너와 수프닉이 제시하였다.

참조

_[1] 서적 The Butterfly in the Iglesias Waseas World: The story of the most fascinating quantum fractal https://books.google[...] IOP Publishing 2016
_[2] 논문 The residual set dimension of the Apollonian packing
_[3] 논문 Hausdorff dimension and conformal dynamics, III: Computation of dimension https://abel.math.ha[...]
_[4] 문서 Counting circles and Ergodic theory of Kleinian groups http://www.math.brow[...] University 2009-12
_[5] 논문 Apollonian Circle Packings: Number Theory https://www.scienced[...] 2003
_[6] 웹사이트 Revisiting Apollonian Gaskets https://aldenbradfor[...] 2022-08-07
_[7] 학술지 Some Experiments with Integral Apollonian Circle Packings 2011-11-28
_[8] arXiv The Local-Global Conjecture for Apollonian circle packings is false
_[9] 뉴스 Two Students Unravel a Widely Believed Math Conjecture https://www.quantama[...] Quanta Magazine 2023-08-14
_[10] 문서 Leibniz to Des Bosses, Hannover 11-17 March 1706, translated by Dr. Osvaldo Ottaviani https://humanities.t[...] 1706-03-11
_[11] 논문 The residual set dimension of the Apollonian packing
_[12] 논문 Hausdorff dimension and conformal dynamics, III: Computation of dimension https://abel.math.ha[...]
_[13] 논문 Apollonian Circle Packings: Number Theory http://citeseer.ist.[...] 2003