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정상 집합

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목차

1. 개요

정상 집합은 가산할 수 없는 공종도 κ의 기수 S가 κ의 모든 클럽 집합과 교차할 때를 말하며, 그렇지 않은 집합은 얇은 집합이라고 한다. 클럽 집합은 순서 위상에 대해 닫혀 있고, 상한이 α인 극한 순서수의 부분 집합이다. 정상 집합과 클럽 집합의 교집합은 정상 집합이며, 솔로베이의 정리에 따르면 정규 기수의 정상 집합은 여러 개의 정상 집합으로 분할될 수 있다. 또한, 포도르 정리는 정상 집합과 함수에 대한 성질을 제시한다. 정상 집합 개념은 말로 기수, 다이아몬드 원리와 같은 큰 기수 공리와 일반화된 개념으로 확장된다. 1911년 말로가 약한 말로 기수를 도입했고, 1953년 블로크가 정상 집합 개념을 도입했으며, 포도르, 솔로베이, 젠슨 등이 이 분야에 기여했다.

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정상 집합
집합론
분야집합론
정의주어진 집합에서 클럽 집합과 교집합이 공집합이 아닌 집합
성질모든 클럽 집합은 정지 집합임
정지 집합은 비가산 집합임
정지 집합은 클럽 집합의 여집합임
참고 문헌
참고 문헌Thomas Jech, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy
Keith Devlin, The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory

2. 정의

\kappa가 가산할 수 없는 공종도의 기수이고, S \subseteq \kappa이며, S가 \kappa의 모든 클럽 집합과 교차하면, S를 '''정상 집합'''이라고 한다.[1] 집합이 정상 집합이 아니면 '''얇은 집합'''이라고 한다. 이 개념은 수론에서의 얇은 집합의 개념과 혼동해서는 안 된다.

S가 정상 집합이고 C가 클럽 집합이면, 그 교집합 S \cap C도 정상 집합이다. 이는 D가 임의의 클럽 집합이면 C \cap D가 클럽 집합이 되므로 (S \cap C) \cap D = S \cap (C \cap D)가 공집합이 아니기 때문이다. 따라서 (S \cap C)는 정상 집합이어야 한다.

''참고'': 포도르의 보조 정리

가산할 수 없는 공종도로 제한하는 것은 자명함을 피하기 위한 것이다. \kappa가 가산 공종성을 갖는다고 가정해 보자. 그러면 S \subseteq \kappa가 \kappa에서 정상 집합이 되려면 \kappa\setminus S가 \kappa에서 유계여야 한다. 특히, \kappa의 공종성이 \omega=\aleph_0이면, \kappa의 임의의 두 정상 부분 집합은 정상 교집합을 갖는다.

\kappa의 공종성이 가산할 수 없는 경우에는 더 이상 그렇지 않다. 실제로, \kappa가 더 나아가 정규 기수이고 S \subseteq \kappa가 정상 집합이라고 가정해 보자. 그러면 S는 \kappa개의 서로소인 정상 집합으로 분할될 수 있다. 이 결과는 솔로베이의 정리이다. \kappa가 후속 기수인 경우, 이 결과는 울람의 정리이며, '''울람 행렬'''이라고 하는 것을 통해 쉽게 증명할 수 있다.

H. 프리드먼은 모든 가산 후속 순서수 \beta에 대해 \omega_1의 모든 정상 부분 집합은 닫힌 차수형 \beta의 부분 집합을 포함한다는 것을 보였다.

2. 1. 클럽 집합

극한 순서수 \alpha의 부분 집합 C\subseteq\alpha가 다음 두 조건을 만족시키면 \alpha-'''클럽 집합'''(\alpha-club set}})이라고 한다.

  • 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 0<\beta<\alpha에 대하여, \sup(C\cap\beta)=\beta라면, \beta\in C이다.
  • \textstyle\sup_{\operatorname{Ord영어C=\alpha이다. 즉, 임의의 순서수 \beta<\alpha에 대하여, \beta<\beta'\in C가 존재한다.

2. 2. 정상 집합

임의의 기수 \kappa의 공종도가 비가산이고, S\subseteq\kappa 일 때, S와 \kappa-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니면 S를 정상 집합이라고 한다.[1] 정상 집합이 아닌 집합은 얇은 집합이라고 하며, 이는 수론에서의 얇은 집합과는 다른 개념이다.

S가 정상 집합이고 C가 클럽 집합이면, 그 교집합 S \cap C도 정상 집합이다. 이는 임의의 클럽 집합 D에 대해 C \cap D가 클럽 집합이 되므로 (S \cap C) \cap D = S \cap (C \cap D)가 공집합이 아니기 때문이다.

가산할 수 없는 공종도로 제한하는 이유는, \kappa가 가산 공종성을 가지면 S \subseteq \kappa가 \kappa에서 정상 집합이 되려면 \kappa\setminus S가 \kappa에서 유계여야 하기 때문이다. 특히 \kappa의 공종성이 \omega=\aleph_0이면, \kappa의 임의의 두 정상 부분 집합은 정상 교집합을 갖는다.

하지만 \kappa의 공종성이 가산할 수 없는 경우에는 그렇지 않다. 솔로베이의 정리에 따르면, \kappa가 정규 기수이고 S \subseteq \kappa가 정상 집합이면 S는 \kappa개의 서로소인 정상 집합으로 분할될 수 있다. \kappa가 후속 기수인 경우, 이 결과는 울람의 정리이며, '''울람 행렬'''을 통해 증명할 수 있다.

H. 프리드먼은 모든 가산 후속 순서수 \beta에 대해 \omega_1의 모든 정상 부분 집합은 닫힌 차수형 \beta의 부분 집합을 포함한다는 것을 보였다.

3. 성질

3. 1. 연산에 대한 닫힘

클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 \kappa 및 두 \kappa-클럽 집합 C,C'\subseteq\kappa가 주어졌을 때, C\cap C' 역시 \kappa-클럽 집합이다. 이는 클럽 집합들이 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다는 것을 의미한다. 이를 \kappa의 클럽 필터(club filter영어)라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 \kappa 및 \kappa-정상 집합 S\subseteq\kappa와 \kappa-클럽 집합 C\subseteq\kappa가 주어졌을 때, S\cap C 역시 정상 집합이다. D \,를 클럽 집합이라고 하면 C \cap D \,는 클럽(두 클럽 집합의 교집합은 클럽)이고, (S \cap C) \cap D = S \cap (C \cap D) \,는 공집합이 아닌 집합이 된다. 그러므로, (S \cap C) \,는 정상이다.

3. 2. 솔로베이 분할

정칙 비가산 기수 \kappa와 정상 집합 S\subseteq\kappa가 주어졌을 때, '''솔로베이 정상 집합 분할 정리'''(Solovay定常集合分割定理, Solovay’s theorem on partitions of stationary sets영어)에 따르면, S는 \kappa개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

3. 3. 포도르 정리

정칙 비가산 기수 \kappa와 정상 집합 S\subseteq\kappa, 함수 f\colon S\to\kappa가 주어졌고, 임의의 0<\alpha\in S에 대하여 f(\alpha)<\alpha가 성립한다고 하자. 포도르 정리(Fodor’s theorem영어)에 따르면, f|_{S'}=\alpha'인 정상 부분 집합 S'\subseteq S와 순서수 \alpha'<\kappa가 존재한다.[2]

4. 큰 기수 공리

4. 1. 말로 기수

말로 기수는 큰 기수의 일종으로, 특정한 조건을 만족시키는 기수를 의미한다. 말로 기수의 존재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다.[3]

기수의 모임 \operatorname{Card}의 부분 모임 P\subseteq\operatorname{Card}에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

:\kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)\iff (\kappa\in P)\land(\kappa\cap P\in\mathfrak S_\kappa)\land\operatorname{cf}(\kappa)>\omega

이를 '''말로 연산'''(Mahlo演算, Mahlo operation영어)이라고 한다.[3]

여기서 \mathfrak S_\kappa는 \kappa-정상 집합들의 모임이다.

기수 \kappa에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''말로 기수'''(Mahlo基數, Mahlo cardinal영어)라고 한다.

  • 만약 P가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, \kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)이다.[3]
  • 임의의 R\subseteq V_\kappa에 대하여, \langle V_\alpha,\in,R\cap V_\alpha\rangle\prec\langle V_\kappa,\in, R\rangle가 되는 도달 불가능한 기수 \alpha<\kappa가 존재한다.[3]

여기서 V_\alpha는 폰 노이만 전체의 단계이며, \langle V_\kappa,\in,R\rangle는 이항 연산 \in과 상수 기호 R를 갖춘 구조이며, \prec는 기본 매장의 존재를 의미한다.

만약 P가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, \operatorname{Mahlo}(P)의 원소를 '''약한 말로 기수'''(弱-Mahlo基數, weakly Mahlo cardinal영어)라고 한다.[3] 일반화 연속체 가설을 가정하면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,[3] 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.

:\operatorname{Mahlo}^\alpha(P)=

\begin{cases}

\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Mahlo}^\beta(P))&\beta+1=\alpha\\

P\cap\bigcap_{\beta<\alpha}\operatorname{Mahlo}^\beta(P)&\nexists\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta+1=\alpha

\end{cases}



이를 사용하여, '''\alpha-말로 기수'''의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

:도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[4]

:\operatorname{Inaccble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Inaccble})\supseteq\operatorname{Measble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Measble})\supseteq\operatorname{Supercomp}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Supercomp})\supseteq\operatorname{Extble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Extble})\supseteq\operatorname{Superhuge}

여기서

  • \operatorname{Inaccble}: 도달 불가능한 기수의 모임
  • \operatorname{Measble}: 가측 기수의 모임
  • \operatorname{Supercomp}: 초콤팩트 기수의 모임
  • \operatorname{Extble}: 확장 가능 기수(extendible cardinal영어)의 모임
  • \operatorname{Superhuge}: 초거대 기수(superhuge cardinal영어)의 모임

4. 2. 다이아몬드 원리

기수 \kappa 및 \kappa-정상 집합 S\subseteq\kappa에 대하여, '''(\kappa,S)-다이아몬드 집합렬'''((\kappa,S)-diamond sequence영어) A\colon S\to\mathcal P(\kappa)은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.[5]

  • 임의의 \alpha\in S에 대하여, A_\alpha\subseteq\alpha
  • 임의의 T\subseteq\kappa에 대하여, \{\alpha\in S\colon T\cap\alpha=A_\alpha\}는 \kappa-정상 집합이다.


'''(\kappa,S)-다이아몬드 원리'''((\kappa,S)-diamond原理, (\kappa,S)-diamond principle영어) \diamondsuit_\kappa(S)는 (\kappa,S)-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.[5]

\diamondsuit_{\omega_1}(\omega_1)은 흔히 '''다이아몬드 원리''' \diamondsuit라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.[5]

:V=L\implies\diamondsuit\implies(\lnot\mathsf{SH}\land\mathsf{CH})

즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

5. 일반화된 개념

5. 1. Jech의 정의

토마스 예흐는 [X]^\lambda의 정상 집합 개념을 정의하였다. 여기서 [X]^\lambda는 크기가 \lambda인 X의 부분 집합의 집합으로, [X]^\lambda=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda\}이다. S\subseteq[X]^\lambda는 [X]^\lambda의 클럽 집합을 만날 때 정상 집합이 된다. 클럽 집합은 \subseteq에 대해 무한하고, 길이가 최대 \lambda인 체인의 합집합에 대해 닫혀 있는 집합이다.

이러한 개념은 일반적으로 다르지만, X = \omega_1이고 \lambda = \aleph_0인 경우 S\subseteq[\omega_1]^\omega가 정상이면 S\cap\omega_1가 \omega_1에서 정상이라는 의미에서 일치한다. 포도르 보조 정리도 이 개념에 대해 성립한다.

5. 2. 일반화된 정상성

모형 이론적 관점에서 일반화된 정상성 개념은 마기돌, 포먼, 쉘라 등에 의해 처음 제시되었으며, 우딘에 의해서도 널리 사용되었다. 이 개념은 스콜렘 함수와 밀접하게 관련되어 있다.

X를 공집합이 아닌 집합이라고 할 때, 집합 C\subseteq{\mathcal P}(X)는 함수 F:[X]^{<\omega}\to X가 존재하여 C=\{z:F

M이 가산 언어에서 구조이며 우주가 X이고 F가 M에 대한 스콜렘 함수라고 가정하면, 정규 S는 M의 기본 부분 구조를 포함한다.

6. 역사

1911년에 프리드리히 파울 말로/Friedrich Paul Mahlode(1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ0-수"(ρ0-Zahlde)라는 이름으로 도입하였다.[6][7][8] 1953년에 제라르 블로크(Gérard Bloch프랑스어)가 정상 집합의 개념을 도입하였다.[9][2] 1956년에 포도르 게저(Fodor Gézahu, 1927~1977)가 포도르 정리를 증명하였다.[10] 1971년에 로버트 솔로베이가 솔로베이 정상 집합 분할 정리를 증명하였다.[11] 1972년에 로널드 비언 젠슨(Ronald Björn Jensen영어, 1936~)이 다이아몬드 원리를 도입하였다.[12] "클럽 집합"(club set영어)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"('''cl'''osed and '''u'''n'''b'''ounded영어)의 머리글자를 딴 것이다.[2]

참조

[1] 문서 Jech (2003) p.91
[2] 서적 Handbook of set theory Springer-Verlag 2010
[3] 서적 The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings Springer-Verlag 2003
[4] 저널 Set theory for category theory 2008
[5] 서적 Set Theory and Its Applications 2011
[6] 저널 Über lineare transfinite Mengen
[7] 저널 Zur Theorie und Anwendung der ρ0-Zahlen
[8] 저널 Zur Theorie und Anwendung der ρ0-Zahlen II
[9] 저널 Sur les ensembles stationnaires de nombres ordinaux et les suites distinguées de fonctions régressives 1953
[10] 저널 Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen http://acta.fyx.hu/a[...] 2016-07-11
[11] 서적 Axiomatic set theory. Part 1 American Mathematical Society 1971
[12] 저널 The fine structure of the constructible hierarchy


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