얽힘 엔트로피

1. 개요

얽힘 엔트로피는 힐베르트 공간의 순수 상태를 두 부분으로 나눌 때, 한 부분의 밀도 행렬에 대한 폰 노이만 엔트로피로 정의된다. 이는 양자 시스템의 얽힘 정도를 측정하는 중요한 척도이다.

얽힘 엔트로피는 폰 노이만 얽힘 엔트로피와 레니 얽힘 엔트로피로 나눌 수 있다. 폰 노이만 얽힘 엔트로피는 감소 밀도 행렬의 폰 노이만 엔트로피로 정의되며, 레니 얽힘 엔트로피는 레니 지수를 사용하여 정의된다. 얽힘 엔트로피는 슈미트 분해의 특이값을 사용하여 표현할 수 있으며, 얽힘 척도와 밀접한 관련이 있다.

이분 얽힘 엔트로피는 면적 법칙을 따르며, 이는 양자 다체계의 복잡성을 줄이는 데 중요한 역할을 한다.

2. 이분 얽힘 엔트로피

양자 시스템을 A와 B 두 부분으로 나누었을 때, 각 부분계의 축소 밀도 행렬을 이용하여 얽힘 엔트로피를 정의한다.

양자 시스템이 $N$개의 입자로 구성되어 있다고 가정할 때, 시스템을 두 부분 $A$와 $B$로 나누는 것을 이분할이라고 하며, 각 부분은 각각 $k$개와 $l$개의 입자를 포함하고 $k+l=N$을 만족한다. 이분할 얽힘 엔트로피는 이 이분할과 관련하여 정의된다.

이분할된 상태는 폰 노이만 얽힘 엔트로피 또는 레니 얽힘 엔트로피를 통해 얽힘 정도를 측정할 수 있다.

2.1. 폰 노이만 얽힘 엔트로피

폰 노이만 얽힘 엔트로피는 얽힘 엔트로피의 가장 기본적인 형태이며, 감소 밀도 행렬을 이용하여 측정한다.

2.1.1. 정의

힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H=\backslash mathcal\; H\_A\backslash otimes\backslash mathcal\; H\_B$에 속한 순수 상태 $|\backslash psi\backslash rangle\backslash in\backslash mathcal\; H$를 생각하자. 여기에 $\backslash mathcal\; H\_A$ 또는 $\backslash mathcal\; H\_B$ 방향으로 대각합을 가해, 다음과 같은 밀도 행렬들을 정의할 수 있다.

:$\backslash rho=|\backslash psi\backslash rangle\backslash langle\backslash psi|$
:$\backslash rho\_A=\backslash operatorname\{tr\}\_B\backslash rho$
:$\backslash rho\_B=\backslash operatorname\{tr\}\_A\backslash rho$

이 경우, 순수 상태 $|\backslash psi\backslash rangle$의 얽힘 엔트로피는 $\backslash rho\_A$ 또는 $\backslash rho\_B$의 폰 노이만 엔트로피이다. (이 둘은 일치한다는 것을 보일 수 있다.)

:$S\_\{AB\}=-\backslash operatorname\{tr\}\_A(\backslash rho\_A\backslash ln\backslash rho\_A)=-\backslash operatorname\{tr\}\_B(\backslash rho\_B\backslash ln\backslash rho\_B)$

이는 두 감소 상태 중 하나의 폰 노이만 엔트로피로 정의되며, 두 상태의 값이 같기 때문이다(분할에 대한 상태의 슈미트 분해로부터 증명될 수 있다). 결과는 어떤 상태를 선택하든 관계없이 동일하다. 즉, 순수 상태 $\backslash rho\_\{AB\}=\; |\backslash Psi\backslash rangle\backslash langle\backslash Psi|\_\{AB\}$에 대해 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathcal\{S\}(\backslash rho\_A)=\; -\backslash operatorname\{Tr\}[\backslash rho\_A\backslash operatorname\{log\}\backslash rho\_A]\; =\; -\backslash operatorname\{Tr\}[\backslash rho\_B\backslash operatorname\{log\}\backslash rho\_B]\; =\; \backslash mathcal\{S\}(\backslash rho\_B)$

여기서 $\backslash rho\_\{A\}=\backslash operatorname\{Tr\}\_B(\backslash rho\_\{AB\})$ 및 $\backslash rho\_\{B\}=\backslash operatorname\{Tr\}\_A(\backslash rho\_\{AB\})$는 각 분할에 대한 감소 밀도 행렬이다.

얽힘 엔트로피는 상태의 슈미트 분해의 특이값을 사용하여 표현할 수 있다. 모든 순수 상태는 $|\backslash Psi\; \backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{i\; =1\}\; ^m\; \backslash alpha\; \_i\; |u\_i\; \backslash rangle\_A\; \backslash otimes\; |v\_i\; \backslash rangle\_B$로 쓸 수 있으며, 여기서 $|u\_i\backslash rangle\_A$ 및 $|v\_i\backslash rangle\_B$는 각각 부분 시스템 $A$와 부분 시스템 $B$에서 정규 직교 상태이다. 얽힘 엔트로피는 다음과 같다.

:$-\backslash sum\_i\; \backslash alpha\_i^2\; \backslash log(\backslash alpha\_i^2)$

이러한 형태의 엔트로피 표기는 $A$ 또는 $B$ 부분 시스템에 대해 부분 추적을 계산하는 것과 관계없이 얽힘 엔트로피가 동일하다는 것을 명확하게 보여준다.

2.1.2. 슈미트 분해

힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H=\backslash mathcal\; H\_A\backslash otimes\backslash mathcal\; H\_B$에 속한 순수 상태 $|\backslash psi\backslash rangle\backslash in\backslash mathcal\; H$가 있다고 하자. 이 경우, 순수 상태 $|\backslash psi\backslash rangle$는 다음과 같은 슈미트 분해를 통해 표현할 수 있다.

:$|\backslash Psi\; \backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{i\; =1\}\; ^m\; \backslash alpha\; \_i\; |u\_i\; \backslash rangle\_A\; \backslash otimes\; |v\_i\; \backslash rangle\_B$

여기서 $|u\_i\backslash rangle\_A$ 및 $|v\_i\backslash rangle\_B$는 각각 부분 시스템 $A$와 부분 시스템 $B$에서 정규 직교 상태이다.

이때 얽힘 엔트로피는 다음과 같이 슈미트 분해의 특이값($\backslash alpha\_i$)을 사용하여 표현할 수 있다.

:$-\backslash sum\_i\; \backslash alpha\_i^2\; \backslash log(\backslash alpha\_i^2)$

이러한 표현은 얽힘 엔트로피가 $A$ 또는 $B$ 부분 시스템에 대해 대각합을 계산하는 것과 관계없이 동일하다는 것을 보여준다.

2.1.3. 다른 얽힘 척도와의 관계

많은 얽힘 척도는 순수 상태에 대해 평가될 때 얽힘 엔트로피로 수렴한다. 이러한 척도에는 다음이 포함된다.

* 추출 가능한 얽힘
* 얽힘 비용
* 형성 얽힘
* 얽힘의 상대 엔트로피
* 압착된 얽힘

얽힘 엔트로피로 수렴하지 않는 일부 얽힘 척도는 다음과 같다.

* 음수성
* 로그 음수성
* 얽힘의 견고성

2.2. 레니 얽힘 엔트로피

레니 얽힘 엔트로피 $\backslash mathcal\{S\}\_\backslash alpha$는 축소된 밀도 행렬과 레니 지수 $\backslash alpha\; \backslash geq\; 0$로 정의된다. 이는 축소된 밀도 행렬의 레니 엔트로피로 정의된다.

:$\backslash mathcal\{S\}\_\backslash alpha\; (\backslash rho\_A)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash alpha\}\; \backslash operatorname\{log\}\; \backslash operatorname\{tr\}\; (\backslash rho\_A^\backslash alpha)\; =\; \backslash mathcal\{S\}\_\backslash alpha(\backslash rho\_B)$

$\backslash alpha\backslash rightarrow\; 1$의 극한에서, 레니 얽힘 엔트로피는 폰 노이만 얽힘 엔트로피에 접근한다.

3. 예시: 결합된 조화 진동자

양자 조화 진동자 두 개가 결합된 모델은 얽힘 엔트로피를 구체적으로 계산하는 예시이다. 이 모델을 통해 폰 노이만 엔트로피와 레니 엔트로피를 계산할 수 있다.

3.1. 모델 설정

두 개의 결합된 양자 조화 진동자를 고려해 보자. 위치는 $q\_A$와 $q\_B$이고, 운동량은 $p\_A$와 $p\_B$이며, 시스템 해밀토니안은 다음과 같다.

:$H=(p\_A^2\; +\; p\_B^2)/2\; +\; \backslash omega\_1^2\; (\; q\_A^2\; +\; q\_B^2)/\{2\}\; +\; \{\; \backslash omega\_2^2\; (q\_A\; -\; q\_B)^2\}/\{2\}$

$\backslash omega\_\backslash pm^2\; =\; \backslash omega\_1^2\; +\; \backslash omega\_2^2\; \backslash pm\; \backslash omega\_2^2$로, 시스템의 순수 바닥 상태 밀도 행렬은 $\backslash rho\_\{AB\}\; =\; |0\backslash rangle\; \backslash langle\; 0|$이고, 위치 기준에서는 다음과 같다.

:$\backslash langle\; q\_A,\; q\_B\; |\; \backslash rho\_\{AB\}\; |\; q\_A\text{'},\; q\_B\text{'}\; \backslash rangle\; \backslash propto\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\{\backslash omega\_+\; (q\_A\; +\; q\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_-\; (q\_A\; -\; q\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_+\; (q\text{'}\_A\; +\; q\text{'}\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_-\; (q\text{'}\_A\; -\; q\text{'}\_B)^2\}/\{2\}\; \backslash right)$

3.2. 폰 노이만 엔트로피 계산

양자 조화 진동자 두 개가 결합된 경우를 생각해보자. 위치는 $q\_A$와 $q\_B$, 운동량은 $p\_A$와 $p\_B$로 나타내고, 시스템의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$H=(p\_A^2\; +\; p\_B^2)/2\; +\; \backslash omega\_1^2\; (\; q\_A^2\; +\; q\_B^2)/\{2\}\; +\; \{\; \backslash omega\_2^2\; (q\_A\; -\; q\_B)^2\}/\{2\}$

여기서 $\backslash omega\_\backslash pm^2\; =\; \backslash omega\_1^2\; +\; \backslash omega\_2^2\; \backslash pm\; \backslash omega\_2^2$ 이다. 시스템의 순수 바닥 상태 밀도 행렬은 $\backslash rho\_\{AB\}\; =\; |0\backslash rangle\; \backslash langle\; 0|$이고, 위치 기준에서는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash langle\; q\_A,\; q\_B\; |\; \backslash rho\_\{AB\}\; |\; q\_A\text{'},\; q\_B\text{'}\; \backslash rangle\; \backslash propto\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\{\backslash omega\_+\; (q\_A\; +\; q\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_-\; (q\_A\; -\; q\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_+\; (q\text{'}\_A\; +\; q\text{'}\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_-\; (q\text{'}\_A\; -\; q\text{'}\_B)^2\}/\{2\}\; \backslash right)$

부분 계 A의 축소 밀도 행렬은 다음과 같다.

:$\backslash langle\; q\_A\; |\; \backslash rho\_A\; |\; q\_A\text{'}\; \backslash rangle\; \backslash propto\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{2(\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2\; q\_A\; q\_A\text{'}\; -(8\backslash omega\_+\; \backslash omega\_-\; +\; (\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2)(q\_A^2+q\_A\text{'}^2)\; \}\{8(\backslash omega\_+\; +\; \backslash omega\_-)\}\; \backslash right)$

$\backslash rho\_A$는 열 평형 상태에서 진동수 $\backslash omega\; \backslash equiv\; \backslash sqrt\{\backslash omega\_+\; \backslash omega\_-\}$를 갖는 단일 양자 조화 진동자의 밀도 행렬과 정확히 같다. 이때 온도 $T$는 $\backslash omega/k\_B\; T\; =\; \backslash cosh^\{-1\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{8\backslash omega\_+\; \backslash omega\_-\; +\; (\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2\}\{(\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2\}\backslash right)$ 로 주어지며, $k\_B$는 볼츠만 상수이다. $\backslash rho\_A$의 고윳값은 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $\backslash lambda\_n\; =\; (1-e^\{-\backslash omega/k\_BT\})e^\{-n\backslash omega/k\_BT\}$이다. 따라서 폰 노이만 엔트로피는 다음과 같이 계산된다.

:$-\backslash sum\_n\; \backslash lambda\_n\; \backslash ln(\backslash lambda\_n)\; =\; \backslash frac\{\backslash omega/k\_BT\}\{e^\{\backslash omega/k\_BT\}-1\}\; -\; \backslash ln(1-e^\{-\backslash omega/k\_BT\})$

마찬가지로 레니 엔트로피는 $S\_\backslash alpha\; (\backslash rho\_A)\; =\; \backslash frac\{(1-e^\{-\; \backslash omega/k\_B\; T\})^\backslash alpha\}\{1-e^\{-\backslash alpha\; \backslash omega/k\_BT\}\}/(1-\backslash alpha)$이다.

3.3. 레니 엔트로피 계산

두 개의 결합된 양자 조화 진동자를 고려한다. 위치는 $q\_A$와 $q\_B$이고, 운동량은 $p\_A$와 $p\_B$이며, 시스템 해밀토니안은 다음과 같다.

:$H=(p\_A^2\; +\; p\_B^2)/2\; +\; \backslash omega\_1^2\; (\; q\_A^2\; +\; q\_B^2)/\{2\}\; +\; \{\; \backslash omega\_2^2\; (q\_A\; -\; q\_B)^2\}/\{2\}$

$\backslash omega\_\backslash pm^2\; =\; \backslash omega\_1^2\; +\; \backslash omega\_2^2\; \backslash pm\; \backslash omega\_2^2$로, 시스템의 순수 바닥 상태 밀도 행렬은 $\backslash rho\_\{AB\}\; =\; |0\backslash rangle\; \backslash langle\; 0|$이고, 위치 기준에서는 $\backslash langle\; q\_A,\; q\_B\; |\; \backslash rho\_\{AB\}\; |\; q\_A\text{'},\; q\_B\text{'}\; \backslash rangle\; \backslash propto\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\{\backslash omega\_+\; (q\_A\; +\; q\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_-\; (q\_A\; -\; q\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_+\; (q\text{'}\_A\; +\; q\text{'}\_B)^2\}/\{2\}\; -\{\backslash omega\_-\; (q\text{'}\_A\; -\; q\text{'}\_B)^2\}/\{2\}\; \backslash right)$이다.

$\backslash langle\; q\_A\; |\; \backslash rho\_A\; |\; q\_A\text{'}\; \backslash rangle\; \backslash propto\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{2(\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2\; q\_A\; q\_A\text{'}\; -(8\backslash omega\_+\; \backslash omega\_-\; +\; (\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2)(q\_A^2+q\_A\text{'}^2)\; \}\{8(\backslash omega\_+\; +\; \backslash omega\_-)\}\; \backslash right)$

$\backslash rho\_A$가 열 평형 상태에 있는 진동수 $\backslash omega\; \backslash equiv\; \backslash sqrt\{\backslash omega\_+\; \backslash omega\_-\}$를 가진 단일 양자 조화 진동자의 밀도 행렬과 정확히 같기 때문에, 온도 $T$ ( $\backslash omega/k\_B\; T\; =\; \backslash cosh^\{-1\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{8\backslash omega\_+\; \backslash omega\_-\; +\; (\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2\}\{(\backslash omega\_+\; -\; \backslash omega\_-)^2\}\backslash right)$, 여기서 $k\_B$는 볼츠만 상수)에서 $\backslash rho\_A$의 고유값은 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $\backslash lambda\_n\; =\; (1-e^\{-\backslash omega/k\_BT\})e^\{-n\backslash omega/k\_BT\}$이다.

마찬가지로 레니 엔트로피는 $S\_\backslash alpha\; (\backslash rho\_A)\; =\; \backslash frac\{(1-e^\{-\; \backslash omega/k\_B\; T\})^\backslash alpha\}\{1-e^\{-\backslash alpha\; \backslash omega/k\_BT\}\}/(1-\backslash alpha)$이다.

4. 이분 얽힘 엔트로피의 면적 법칙

양자 상태는 얽힘 엔트로피의 주요 항이 두 부분계 사이의 경계 면적에 비례하여 증가하는 경우 "면적 법칙"을 충족한다.

면적 법칙은 국소적인 갭이 있는 양자 다체계의 바닥 상태에서 매우 흔하게 나타난다. 이는 중요한 응용 분야를 가지고 있으며, 이러한 응용 분야 중 하나는 양자 다체계의 복잡성을 크게 줄인다는 것이다. 예를 들어, 밀도 행렬 재정규화군 및 행렬 곱 상태는 암묵적으로 이러한 면적 법칙에 의존한다.