에일리어싱

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1. 개요
2. 에일리어싱의 원리
3. 에일리어싱의 종류
- 3.1. 시간 에일리어싱
- 3.2. 공간 에일리어싱
4. 에일리어싱 방지 기술
5. 에일리어싱의 활용
- 5.1. 디지털 채널라이저 (Digital channelizer)
- 5.2. 슈퍼헤테로다인 수신기 (Superheterodyne receiver)
6. 역사적 배경
참조

1. 개요

에일리어싱은 신호 처리에서 샘플링 과정에서 발생하는 현상으로, 원래 신호에 존재하지 않는 주파수 성분이 나타나는 왜곡을 의미한다. 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리에 따르면, 신호를 정확하게 복원하려면 샘플링 주파수가 원래 신호의 최고 주파수 성분보다 두 배 이상이어야 하며, 이를 나이퀴스트 주파수라고 한다. 에일리어싱은 시간, 공간 영역에서 발생하며, 모아레 패턴과 마차 바퀴 효과 등이 그 예시이다. 안티 에일리어싱 필터, 과표본화, 언더샘플링 등의 기술을 통해 에일리어싱을 방지하거나 활용할 수 있다. 에일리어싱은 슈퍼헤테로다인 수신기 기술에서 유래되었으며, 1949년 존 튜키와 리처드 해밍의 벨 연구소 기술 메모에서 처음 사용된 것으로 알려져 있다.

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에일리어싱
개요
이름	한국어: 에일리어싱 영어: aliasing 일본어: 折り返し雑音 (おりかえしざつおん, orikaeshizatsumon)
정의	신호 처리에서 발생하는 왜곡 현상
다른 이름	에일리어싱 왜곡 공간 에일리어싱 폴딩 노이즈 (folding noise, 折り返し雑音의 직역)
설명	"aliasing"은 원래 "가명 사용"을 의미 샘플링 과정에서 원래 신호의 고주파 성분이 저주파 성분으로 잘못 해석되어 발생하는 현상
유형
시각적 에일리어싱	계단 현상 (재기) 모아레 패턴 왜건 휠 효과 (회전 바퀴 효과)
시간적 에일리어싱	스트로보스코프 효과
원인
나이퀴스트-섀넌 표본화 정리 위반	표본화 주파수가 신호의 최대 주파수의 두 배보다 낮은 경우
해결 방법
안티에일리어싱	표본화 전에 신호의 고주파 성분 제거 (저역 통과 필터 사용) 더 높은 표본화 주파수 사용 (오버샘플링)
기타	Mipmap 이방성 필터링
응용 분야
디지털 신호 처리	음향학 이미지 처리 컴퓨터 그래픽스
기타	통신 시스템
관련 항목

2. 에일리어싱의 원리

에일리어싱은 신호를 불연속적인 간격으로 샘플링할 때, 샘플링 주파수보다 높은 주파수 성분이 낮은 주파수로 잘못 해석되어 발생하는 현상이다.

신호를 양자화할 때, 샘플링 속도가 실제 신호 속도보다 느리면 위 그림과 같이 다른 모양의 주파수로 측정될 수 있다. 예를 들어 디지털 오실로스코프가 아날로그-디지털 변환기(ADC)를 이용하여 샘플링하고 메모리에 넣는 경우, 오실로스코프의 샘플링 속도가 낮다면 낮은 주파수로 보일 수 있다.^[1]

해상도가 낮은 하프톤으로 크기가 조정된 이미지로 인해 발생한 공간 에일리어싱으로 하늘에 나타나는 점들

디지털 이미지를 볼 때, 신호 재구성은 디스플레이 또는 프린터 장치, 눈, 그리고 뇌에 의해 수행된다. 만약 이미지 데이터가 샘플링 또는 재구성 과정에서 잘못 처리되면, 재구성된 이미지는 원래 이미지와 달라지며, 에일리어스가 나타난다. 공간 에일리어싱의 한 예는 벽돌 벽의 픽셀화가 제대로 되지 않은 이미지에서 관찰되는 모아레 패턴이다. 공간 안티에일리어싱 기술은 이러한 픽셀화 문제를 피한다.^[1]

시간 에일리어싱은 비디오 및 오디오 신호의 샘플링에서 중요한 문제이다. 예를 들어, 음악에는 인간이 들을 수 없는 고주파 성분이 포함될 수 있다. 만약 어떤 음악이 초당 32,000 샘플 속도(Hz)로 샘플링된다면, 16,000 헤르츠(Hz) 이상(이 샘플링 속도에 대한 나이퀴스트 주파수)의 모든 주파수 성분은 디지털-아날로그 변환기(DAC)에 의해 음악이 재생될 때 에일리어싱을 발생시킨다. 아날로그 신호의 고주파는 기록된 디지털 샘플에서 더 낮은 주파수(잘못된 에일리어스)로 나타나며, 따라서 DAC에 의해 재현될 수 없다. 이를 방지하기 위해, 안티에일리어싱 필터가 샘플링 전에 나이퀴스트 주파수 이상의 성분을 제거하는 데 사용된다.^[2]

비디오 또는 영화 촬영에서 시간 에일리어싱은 제한된 프레임 속도로 인해 발생하며, 마차 바퀴 효과를 일으켜 바퀴살이 있는 바퀴가 너무 느리게 회전하거나 심지어 뒤로 회전하는 것처럼 보이게 한다. 에일리어싱은 회전의 겉보기 주파수를 변화시켰다. 비디오 및 영화 촬영에서 시간 에일리어싱 주파수는 카메라의 프레임 속도에 의해 결정되지만, 에일리어스된 주파수의 상대적인 강도는 셔터 타이밍(노출 시간) 또는 촬영 중 시간 에일리어싱 감소 필터의 사용에 의해 결정된다.^[2]

정현파는 중요한 유형의 주기 함수이며, 실제 신호는 종종 다양한 주파수와 진폭을 가진 여러 정현파의 합으로 모델링된다(예: 푸리에 급수 또는 푸리에 변환). 개별 정현파에 대한 에일리어싱의 작용을 이해하는 것은 그 합에 무슨 일이 일어나는지 이해하는 데 유용하다.

2. 1. 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리

나이퀴스트 기준에 따르면, 원본 신호의 최고 주파수 성분에 대해

f_s/2 > f\,

조건이 충족되면 모든 주파수 성분에 대해 조건이 충족된다. 여기서

f_s/2\,

는 나이퀴스트 주파수라고 한다. 이를 위해 샘플링 전에 안티 에일리어싱 필터를 사용하여 고주파 성분을 감쇠시킨다. 필터링된 신호는 휘태커-섀넌 보간 공식과 같은 보간 알고리즘을 통해 추가적인 왜곡 없이 재구성될 수 있다.

오른쪽 그림처럼 표본화 간격이 1.0일 때, 서로 다른 두 정현파가 같은 표본을 생성할 수 있다. 이 경우 샘플링 주파수

f_s\,

= 1.0이다. 회색 정현파의 19 사이클과 빨간색 정현파의 1 사이클이 20 간격 동안 일치한다. 각 정현파의 주파수는

f_\mathrm{grey}\,

= 0.95,

f_\mathrm{red}\,

= 0.05이다.^[1]

일반적으로 주파수

f\,

의 정현파를 주파수

f_s\,

로 표본화했을 때, 표본점은

t_n=n/f_s

이다. 주파수

f\,

와

g\,

의 정현파가 표본점에서 일치하는 경우 다음이 성립한다.^[1]

:

g=f-Nf_s

(

N

은 임의의 정수)

표본점에서는 주파수가

f_\mathrm{image}(N) = |f - Nf_s|\,

가 되는 다른 정현파의 표본과 구별할 수 없다. 여기서

f_\mathrm{image}(0) = f\,

는 실제 신호 주파수이다. 많은 재생 기법에서는 이들 중 최소 주파수를 생성하므로,

f_\mathrm{image}(0)\,

이 유일한 최소인 것이 중요하다.

원래 신호가 빨간색 정현파라면 나이키스트 조건을 만족하지만(

f = f_\mathrm{red}\,

),

f = f_\mathrm{grey}\,

라면 최소 이미지 주파수는

f_\mathrm{image}(1) = |0.95 - 1.0| = 0.05 = f_\mathrm{red}\,

가 된다. 즉, 재생 기법에 따라 회색 정현파가 아닌 빨간색 정현파가 생성될 수 있다.^[1]

f_s/2 > f\,

조건이 원래 신호의 최고 주파수 성분에 적합하면 모든 주파수 성분이 조건에 적합하며, 이를 샘플링 정리라고 한다. 이는 안티 에일리어싱 필터를 사용하여 고주파 성분을 감쇠시키는 것으로 근사적으로 달성할 수 있다. 필터를 통과한 신호는 휘태커-섀넌 보간 공식 등을 통해 큰 왜곡 없이 재생 가능하다.^[1]

나이퀴스트 기준은 샘플링되는 신호의 주파수 성분이 상한을 가질 것을 전제로 하며, 이는 지속 기간의 상한이 없음을 의미한다. 휘태커-섀넌 보간 공식은 현실에서는 불가능한 이상적인 모델을 전제로 하므로, 실제 신호의 샘플링에서는 근사적으로만 완벽한 재생이 가능하다.^[1]

2. 2. 폴딩 (Folding)

정현파를 주파수

f_s

(간격

1/f_s

)에서 샘플링할 때, 시간

t

에서 다음 함수들은 동일한 샘플 집합을 생성한다:

\{\sin(2\pi(f+Nf_s)t+\phi), N=0, \pm1, \pm2, \pm3, ... \}

. 샘플의 주파수 스펙트럼은 모든 해당 주파수에서 동일하게 강한 응답을 생성한다. 따라서 함수와 해당 주파수는 서로의 "에일리어스"라고 한다.^[17]

삼각 함수 항등식을 사용하여 모든 에일리어스 주파수를 양의 값으로 표현하면 다음과 같다:

f_{_N}(f) \triangleq \left|f+Nf_{\rm s}\right|

. 예를 들어, Fig.2의 오른쪽 아래 프레임의 스냅샷은 실제 주파수

f

와 에일리어스

f_{_{-1}}(f)

에서 구성 요소를 보여준다.

f

가 증가하면

f_{_{-1}}(f)

가 감소한다. 이때

(f=f_s/2)

인 지점을 '''''폴딩 주파수''''', 즉 '''''나이키스트 주파수''''''라고 한다.^[18]

Fig.5: 주파수 에일리어싱 그래프로, 폴딩 주파수와 주기성을 보여준다. $f_s/2$ 보다 높은 주파수는 $f_s/2$ 보다 낮은 "별칭"을 가지며, 그 값은 이 그래프에 의해 주어진다.

에일리어싱은 원래 파형을 샘플에서 재구성할 때 중요하며, 가장 일반적인 재구성 기술은

f_{_N}(f)

주파수 중 가장 작은 값을 생성한다. 따라서

f_0(f)

가 고유한 최소값이어야 하며, 이를 위한 필요충분 조건은

f_s/2 > |f|

이다. 이를 '''''나이키스트 조건''''''이라고 한다.

실제 값 샘플의 주파수 스펙트럼을 보면 폴딩은 Fig.4와 같이 실제에서 종종 관찰된다. 아래 그림들은 샘플링으로 인한 에일리어싱을 묘사하며, 주파수에 대한 진폭 그래프(시간이 아님)는 주파수

0.6 f_s

에서 단일 정현파와

0.4 f_s

,

1.4 f_s

, 및

1.6 f_s

에서 몇몇 별칭을 Fig.3과 같이 나타낸다.

Fig.4: 초당 44,100개의 샘플로 샘플링된 음악의 푸리에 변환은 나이퀴스트 주파수(22,050 Hz) 주변에서 대칭("폴딩"이라고 함)을 나타낸다.

실수 값의 정현파는 음의 주파수 에일리어싱을 가지며, $|f - Nf_s|\,$ 처럼 절댓값을 취하는 것이 가능한 이유는 항상 양의 주파수에도 동일한 정현파가 존재하기 때문이다. $f\,$ 가 $f_s/2\,$ 에서 $f_s\,$ 로 증가함에 따라, 이미지는 $f_s/2\,$ 에서 0으로 이동한다. 이로 인해 주파수 $f_s/2\,$ 에 대한 국소적 대칭성이 형성된다. 예를 들어, $0.6 f_s\,$ 의 주파수 성분은 $0.4 f_s\,$ 위치에 거울 이미지(mirror image)를 갖는다. 이러한 현상을 일반적으로 '''폴딩'''^[17]이라고 부르며, 따라서 나이키스트 주파수 $f_s/2\,$ 를 '''폴딩 주파수'''^[18]라고도 부른다.

2. 3. 복소 신호 표현

복소 정현파는 표본이 복소수인 파형이며, 음의 주파수 개념은 이를 구별하는 데 필요하다. 복소 신호를 사용하면 음의 주파수 개념을 통해 에일리어싱을 더 명확하게 설명할 수 있다.^[17] 이 경우, 에일리어싱의 주파수는

f_\mathrm{image}(N) = f - Nf_s\,

로 주어진다.^[17] 따라서

f\,

가

f_s/2\,

에서

f_s\,

로 증가함에 따라, 0에 가장 가까운 이미지 주파수는

-f_s/2\,

에서 0으로 가까워진다. 결과적으로 복소 정현파는 ''폴딩''을 나타내지 않는다.^[17]

복소 신호란, 그 표본이 복소수로 표현되는 신호이며, 음의 주파수의 개념을 필요로 한다.^[17] 이 경우, 에일리어싱의 주파수는

f_\mathrm{image}(N) = f - Nf_s\,

로 주어진다.^[17] 따라서

f\,

가

f_s/2\,

에서

f_s\,

로 증가함에 따라, 0에 가장 가까운 이미지 주파수는

-f_s/2\,

에서 0으로 가까워진다.^[17]

실수 값의 정현파는 복소 신호의 경우와 마찬가지로 음의 주파수 에일리어싱을 갖는다.^[17]

|f - Nf_s|\,

처럼 절댓값을 취하는 것이 가능한 이유는 항상 양의 주파수에도 동일한 정현파가 존재하기 때문이다.^[17] 따라서

f\,

가

f_s/2\,

에서

f_s\,

로 증가함에 따라, 이미지는

f_s/2\,

에서 0으로 이동한다. 이로 인해 주파수

f_s/2\,

에 대한 국소적 대칭성이 형성된다. 예를 들어,

0.6 f_s\,

의 주파수 성분은

0.4 f_s\,

위치에 거울 이미지(mirror image)를 갖는다. 이러한 현상을 일반적으로 '''폴딩'''이라고 부른다.^[17] 따라서 나이키스트 주파수

f_s/2\,

를 '''폴딩 주파수'''라고도 부른다.^[18]

3. 에일리어싱의 종류

에일리어싱은 발생하는 영역에 따라 크게 시간 에일리어싱과 공간 에일리어싱으로 나눌 수 있다. 시간 에일리어싱은 주로 오디오나 비디오 신호와 같이 시간의 흐름에 따라 변화하는 신호를 처리할 때 발생하며, 공간 에일리어싱은 이미지 처리, 3차원 디스플레이, 전파나 음성의 방향 추정 등 공간적인 정보를 다룰 때 나타난다.

3. 1. 시간 에일리어싱

시간 에일리어싱은 시간 영역에서 발생하는 에일리어싱이다. 마차 바퀴 효과(비디오)나 오디오에서 고주파 성분이 저주파로 들리는 현상이 대표적인 예이다.^[1]

신호를 양자화할 때, 샘플링 속도가 실제 신호 속도보다 느리면 다른 모양의 주파수로 측정될 수 있다. 예를 들어, 디지털 오실로스코프의 샘플링 속도가 낮다면, 낮은 주파수로 보일 수 있다.

음악에는 인간이 들을 수 없는 고주파 성분이 포함될 수 있다. 만약 어떤 음악이 초당 32,000 샘플 속도(Hz)로 샘플링된다면, 16,000 헤르츠(Hz) 이상(이 샘플링 속도에 대한 나이퀴스트 주파수)의 모든 주파수 성분은 디지털-아날로그 변환기(DAC)에 의해 음악이 재생될 때 에일리어싱을 발생시킨다. 아날로그 신호의 고주파는 기록된 디지털 샘플에서 더 낮은 주파수(잘못된 에일리어스)로 나타나며, 따라서 DAC에 의해 재현될 수 없다. 이를 방지하기 위해, 안티 에일리어싱 필터가 샘플링 전에 나이퀴스트 주파수 이상의 성분을 제거하는 데 사용된다.

비디오 또는 영화 촬영에서 시간 에일리어싱은 제한된 프레임 속도로 인해 발생하며, 마차 바퀴 효과를 일으킨다.^[2] 에일리어싱은 회전의 겉보기 주파수를 변화시키며, 방향의 반전은 음수 주파수로 설명될 수 있다.

정현파는 중요한 유형의 주기 함수이다. 실제 신호는 종종 다양한 주파수와 진폭을 가진 여러 정현파의 합으로 모델링되기 때문이다(예: 푸리에 급수 또는 푸리에 변환).

주파수 (간격 )에서 함수를 샘플링할 때, 동일한 샘플 집합을 생성하는 다른 함수들이 존재하며, 이들을 서로 "에일리어스"라고 한다. 샘플의 주파수 스펙트럼은 모든 해당 주파수에서 동일하게 강한 응답을 생성한다.

모든 에일리어스 주파수는 양의 값으로 표현할 수 있다:

f_{_N}(f) \triangleq \left|f+Nf_{\rm s}\right|

.

(f=f_s/2)

인 지점은 '''''폴딩 주파수''''', 즉 '''''나이키스트 주파수''''''라고 하는 대칭 축이다.

에일리어싱은 원래 파형을 샘플에서 재구성하려는 경우 중요하며, 이를 방지하기 위한 조건은

f_s/2 > |f|

이며, 이를 '''''나이키스트 조건''''''이라고 한다.

원본 신호의 최고 주파수 성분에 대해 조건을 충족하면 모든 주파수 성분에 대해 충족되는데, 이를 나이키스트 기준이라고 한다.

에일리어싱의 질적인 효과는 다음 오디오 데모에서 확인할 수 있다. 여섯 개의 톱니파가 순서대로 재생되며, 톱니파는 대역 제한 (비 에일리어싱) 톱니파와 에일리어싱된 톱니파를 번갈아 가며 사용하며, 샘플링 속도는 22050 Hz이다. 에일리어싱 왜곡은 기본 주파수가 높을수록 낮은 주파수에서 더욱 뚜렷하게 나타난다.

3. 2. 공간 에일리어싱

디지털 이미지를 볼 때, 신호 재구성은 디스플레이 또는 프린터 장치, 눈, 그리고 뇌에 의해 수행된다. 만약 이미지 데이터가 샘플링 또는 재구성 과정에서 잘못 처리되면, 재구성된 이미지는 원래 이미지와 달라지며, 에일리어스가 나타난다.

공간 에일리어싱의 한 예는 벽돌 벽의 픽셀화가 제대로 되지 않은 이미지에서 관찰되는 모아레 패턴이다. 공간 안티에일리어싱 기술은 이러한 픽셀화 문제를 피한다. 에일리어싱은 샘플링 단계 또는 재구성 단계에 의해 발생할 수 있으며, 샘플링 에일리어싱은 ''프리에일리어싱'', 재구성 에일리어싱은 ''포스트에일리어싱''이라고 구분할 수 있다.^[1]

주파수 에일리어싱은 연속 신호를 캡처하거나 생성하기 위해 불연속 요소를 사용할 때 발생한다. 특히 각 주파수의 공간 에일리어싱은 3차원 디스플레이나 음향의 파면 합성과 같이 불연속 요소를 사용하여 광선장 또는 음장을 재현할 때 발생할 수 있다.^[4]

이러한 에일리어싱은 렌티큘러 인쇄가 적용된 포스터와 같은 이미지에서 볼 수 있다. 만약 이러한 포스터가 낮은 각 해상도를 가지고 있다면, 좌에서 우로 움직일 때 2차원 이미지가 처음에는 변하지 않다가(따라서 왼쪽으로 움직이는 것처럼 보임), 다음 각 이미지로 이동하면서 이미지가 갑자기 변한다(오른쪽으로 점프). 이 좌우 움직임의 주파수와 진폭은 이미지의 각 해상도(그리고, 주파수의 경우 시청자의 횡적 움직임 속도)에 해당하며, 이는 4차원 광선장의 각 에일리어싱이다.

2차원 이미지와 입체경 안경으로 제작된 3D 영화에서 시청자의 움직임에 따른 시차 부족(3D 영화에서 이러한 효과는 이미지가 축을 중심으로 회전하는 것처럼 보여 "요잉"이라고 불림) 또한 각 해상도의 손실로 볼 수 있으며, 모든 각 주파수는 0(상수)으로 에일리어싱된다.

안테나 배열이나 마이크 배열에서 파동 신호의 도래 방향을 추정하는 경우에도 공간적 에일리어싱 형태가 발생할 수 있으며, 이는 지진파에 의한 지구물리 탐사와 같은 경우이다. 파동은 파장당 두 점 이상으로 더 조밀하게 샘플링해야 하며, 그렇지 않으면 파동 도래 방향이 모호해진다.^[5]

4. 에일리어싱 방지 기술

에일리어싱을 방지하기 위해 다양한 기술이 사용된다.

신호를 양자화할 때 샘플링 속도가 실제 신호 속도보다 느리면, 그림과 같이 다른 모양의 주파수로 측정되어 보일 수 있다. 예를 들어 디지털 오실로스코프에서 샘플링 속도가 낮으면, 낮은 주파수로 신호가 보일 수 있다.

4. 1. 안티 에일리어싱 필터 (Anti-aliasing filter)

샘플링 속도가 실제 신호 속도보다 느리면, 원래 신호와 다른 주파수로 측정되어 에일리어싱이 나타날 수 있다. 예를 들어, 디지털 오실로스코프의 샘플링 속도가 낮으면, 신호가 낮은 주파수로 보일 수 있다.^[1]

디지털 이미지에서 신호 재구성은 디스플레이, 프린터, 눈, 뇌에 의해 수행된다. 이미지 데이터가 샘플링 또는 재구성 과정에서 잘못 처리되면, 재구성된 이미지는 원래 이미지와 달라져 에일리어스가 나타난다. 모아레 패턴은 공간 에일리어싱의 한 예시이며, 공간 안티에일리어싱 기술로 이러한 문제를 피할 수 있다. 에일리어싱은 샘플링 또는 재구성 단계에서 발생할 수 있으며, 각각 프리에일리어싱과 포스트에일리어싱으로 구분된다.^[1]

시간 에일리어싱은 비디오 및 오디오 신호 샘플링에서 중요한 문제다. 음악에 포함된, 인간이 들을 수 없는 고주파 성분이 초당 32,000 샘플 속도(Hz)로 샘플링될 경우, 16,000 헤르츠(Hz) (나이퀴스트 주파수) 이상의 주파수 성분은 디지털-아날로그 변환기(DAC)에 의해 재생될 때 에일리어싱을 발생시킨다. 아날로그 신호의 고주파는 기록된 디지털 샘플에서 낮은 주파수로 나타나 DAC에 의해 재현될 수 없다. 이를 방지하기 위해 안티에일리어싱 필터를 사용하여 샘플링 전에 나이퀴스트 주파수 이상의 성분을 제거한다.

비디오 또는 영화 촬영에서 시간 에일리어싱은 제한된 프레임 속도로 인해 발생하며, 마차 바퀴 효과를 일으킨다. 에일리어싱은 회전의 겉보기 주파수를 변화시키며, 방향 반전은 음수 주파수로 설명될 수 있다. 시간 에일리어싱 주파수는 카메라의 프레임 속도에 의해 결정되지만, 에일리어스된 주파수의 상대 강도는 셔터 타이밍(노출 시간) 또는 시간 에일리어싱 감소 필터 사용에 의해 결정된다.^[2]

대부분의 샘플링 방식은 주기적이며, 시간 또는 공간에서 특징적인 샘플링 주파수를 갖는다. 디지털 카메라는 각도 또는 라디안당, mm당 특정 수의 샘플(픽셀)을 제공하고, 오디오 신호는 아날로그-디지털 변환기로 샘플링되어 초당 일정한 수의 샘플을 생성한다. 에일리어싱의 가장 극명한 예는 샘플링되는 신호에도 주기적인 내용이 있을 때 발생한다.

나이퀴스트 기준에 따르면, 원본 신호의 최고 주파수 성분에 대해 조건을 충족하면 모든 주파수 성분에 대해 충족된다. 이를 위해 샘플링 전에 고주파 성분을 감쇠시키는 필터링을 하며, 이 필터를 안티에일리어싱 필터라고 한다.

필터링된 신호는 보간 알고리즘을 통해 왜곡 없이 재구성될 수 있다. 대부분의 샘플링된 신호는 저장되고 재구성되지 않지만, 이론적 재구성의 충실도는 샘플링 효과 측정의 일반적인 척도이다.

정현파는 중요한 주기 함수이며, 신호는 서로 다른 주파수와 진폭의 정현파, 여현파의 총합으로 나타낼 수 있다. 신호를 정현파, 여현파의 무한 합으로 나타내는 것을 푸리에 급수라 하고, 유한 개의 표본점을 취하고, 그 표본점에서 원래 신호와 일치하도록 정현파, 여현파의 유한 합으로 나타내는 것을 이산 푸리에 변환(역 이산 푸리에 변환)이라고 한다.

표본점에서는 주파수가

f_\mathrm{image}(N) = |f - Nf_s|\,

가 되는 다른 정현파의 표본과 구별할 수 없다. (

N\,

은 임의의 정수이며,

f_\mathrm{image}(0) = f\,

는 실제 신호 주파수). 많은 재생 기법에서는 이들 중 최소 주파수를 생성하므로,

f_\mathrm{image}(0)\,

이 유일한 최소인 것이 종종 중요해진다. 이를 위한 충분 조건은

f_s/2 > f\,

이며,

f_s/2\,

를 일반적으로 나이키스트 주파수라고 한다.

샘플링 정리에 따르면,

f_s/2 > f\,

라는 조건이 원래 신호의 최고 주파수 성분에 적합할 때, 모든 주파수 성분이 조건에 적합하다. 이 상태는 원래 신호의 고주파 성분을 필터 회로로 감쇠시키는 것으로 근사적으로 달성된다. 이러한 목적으로 사용되는 필터를 "안티 에일리어싱 필터"라고 부른다. 필터를 통과한 신호는 적절한 보간법 (휘태커-섀넌 보간 공식 등)을 사용하여 큰 왜곡 없이 재생할 수 있다.

4. 2. 과표본화 (Oversampling)

Oversampling^영어은 나이퀴스트 주파수보다 훨씬 높은 주파수로 신호를 샘플링하여 에일리어싱을 줄이는 방법이다. 신호를 양자화할 때 샘플링 속도가 실제 신호 속도보다 느리면, 다른 모양의 주파수로 측정되어 보일 수 있다.

원본 신호의 최고 주파수 성분에 대해

f_s/2 > f

조건을 충족하면 모든 주파수 성분에 대해 나이퀴스트 기준을 만족하게 된다. 이는 샘플링 전에 고주파 성분을 감쇠시키도록 원본 신호를 필터링하여 근사화된다. 이때 사용되는 필터를 안티 에일리어싱 필터라고 한다. 필터링된 신호는 휘태커-섀넌 보간 공식을 통해 추가적인 왜곡 없이 재구성될 수 있다.

푸리에 급수와 이산 푸리에 변환(역 이산 푸리에 변환)에 따르면, 정현파에서의 앨리어싱을 이해하면 그 총합에서의 앨리어싱을 이해하기 쉽다. 표본점에서는 주파수가

f_\mathrm{image}(N) = |f - Nf_s|\,

가 되는 다른 정현파의 표본과 구별할 수 없다. (

N\,

은 임의의 정수이며,

f_\mathrm{image}(0) = f\,

는 실제 신호 주파수). 따라서

f_s/2 > f\,

조건을 만족해야 하며,

f_s/2\,

를 나이키스트 주파수라고 한다.

4. 3. 언더샘플링 (Undersampling)

에일리어싱은 저주파 성분이 없는 신호, 즉 '대역 통과' 신호에 의도적으로 사용되기도 한다. 언더샘플링은 저주파 에일리어스를 생성하며, 낮은 속도로 샘플링하기 전에 신호를 저주파수로 주파수 변환하는 것과 동일한 결과를 더 적은 노력으로 생성할 수 있다. 일부 디지털 채널라이저는 이러한 방식으로 계산 효율성을 위해 에일리어싱을 활용한다.^[3]

(샘플링 (신호 처리), 나이퀴스트 속도 (샘플링 관련), 필터 뱅크 참조)

오른쪽 그림에서 표본화 간격은 1.0이고, 서로 다른 2개의 정현파가 같은 표본을 생성한다. 이 경우 샘플링 주파수

f_s\,

= 1.0이다. 예를 들어 간격이 1초라면, 매초 1회 표본을 채취하게 된다. 회색 정현파의 19 사이클이 빨간색 정현파의 1 사이클에 해당하며, 그 사이의 간격은 20이다. 각 정현파의 주파수는

f_\mathrm{grey}\,

= 0.95와

f_\mathrm{red}\,

= 0.05이다.

일반적으로 주파수

f\,

의 정현파를 주파수

f_s\,

로 표본화했을 때, 표본점은

t_n=n/f_s

이다. 주파수

f\,

의 정현파가 주파수

g\,

의 정현파와 표본점에서 일치하는 경우(구별할 수 없는 경우)는 다음과 같다.

:

\sin(2\pi ft_n)=\sin(2\pi gt_n)

:

\sin(2\pi fn/f_s)=\sin(2\pi gn/f_s)

:

2\pi nf/f_s=2\pi ng/f_s+2\pi A_n

(

A_n

은 정수의 수열)

:

A_n=n(f-g)/f_s

이것이 임의의 정수

n

에 대해 성립하기 위해서는,

n=1

인 경우

A_1=(f-g)/f_s

가 정수여야 하며, 이를 대입하면

A_n=nA_1

이 임의의 정수

n

에 대해 성립한다. 따라서

N=A_1

으로 놓으면, 다음의 경우 표본점 상에서 주파수

f\,

와

g\,

의 정현파는 일치한다.

:

g=f-Nf_s

(

N

은 임의의 정수)

g<0

인 경우, "마이너스 주파수와 표본점 상에서 일치했다"고 생각할 수도 있지만,

\sin(2\pi ft_n)=\sin(2\pi gt_n)=-\sin(2\pi |g|t_n)

이므로, "주파수

|g|

와 진폭 역방향으로 표본점 상에서 일치했다"고 생각할 수도 있다. 진폭 역방향에서의 일치도 포함하는 경우, 위의 조건은 다음과 같다.

:

g=|f-Nf_s|

(

N

은 임의의 정수)

표본점에서는 주파수가

f_\mathrm{image}(N) = |f - Nf_s|\,

가 되는 다른 정현파의 표본과 구별할 수 없다(

N\,

은 임의의 정수이며,

f_\mathrm{image}(0) = f\,

는 실제 신호 주파수). 많은 재생 기법에서는 이들 중 최소 주파수를 생성하므로,

f_\mathrm{image}(0)\,

이 유일한 최소인 것이 종종 중요해진다. 이를 위한 충분 조건은

f_s/2 > f\,

이며,

f_s/2\,

를 일반적으로 나이키스트 주파수라고 한다.

원래 신호가 빨간색 정현파라면 나이키스트 조건을 만족하고 있다(

f = f_\mathrm{red}\,

). 그러나

f = f_\mathrm{grey}\,

라면, 최소 이미지 주파수는 다음과 같다.

:

f_\mathrm{image}(1) = |0.95 - 1.0| = 0.05 = f_\mathrm{red}\,

생각할 수 있는 최소 주파수를 표본군으로부터 구축하는 재생 기법에서는, 회색 정현파가 아닌 빨간색 정현파가 생성된다. 이미지 주파수로

-0.05\,

도 있을 수 있지만,

-f\,

주파수의 정현파와

f\,

주파수의 정현파를 구별하는 방법은 없다. 따라서 모든 가짜 신호는 단순히 양의 주파수를 사용하여 나타낸다.

5. 에일리어싱의 활용

에일리어싱은 일반적으로 왜곡 현상이지만, 특정 상황에서는 유용하게 활용될 수 있다.

언더샘플링은 저주파 에일리어스를 생성하는데, 이는 낮은 속도로 샘플링하기 전에 신호를 저주파수로 주파수 변환하는 것과 동일한 결과를 더 적은 노력으로 낼 수 있게 한다. 일부 디지털 채널라이저는 이러한 방식으로 계산 효율성을 위해 에일리어싱을 활용한다.^[3]

역사적으로 "에일리어싱"이라는 용어는 슈퍼헤테로다인 수신기 방식이라는 무선 기술에서 사용되었다. 슈퍼헤테로다인 방식에서는 수신한 목적 신호를 국부 발진기의 신호와 믹서로 혼합(헤테로다인)하여 중간 주파수 신호를 얻는다. 이때 중간 주파수 신호에는 목적하지 않는 신호에 기인하는 신호가 섞이는데, "목적 신호", "국부 발진기", "목적하지 않는 신호"의 주파수 관계는 표본 추출에서의 "원 신호", "샘플링 주파수", "에일리어스"의 관계와 같다. 이 "목적하지 않는 신호"를 필요한 신호의 "허상^[19]" 또는 "에일리어스"라고 불렀다.

5. 1. 디지털 채널라이저 (Digital channelizer)

언더샘플링은 저주파 에일리어스를 생성하며, 낮은 속도로 샘플링하기 전에 신호를 저주파수로 주파수 변환하는 것과 동일한 결과를 더 적은 노력으로 생성할 수 있다. 일부 디지털 채널라이저는 이러한 방식으로 계산 효율성을 위해 에일리어싱을 활용한다.^[3]

5. 2. 슈퍼헤테로다인 수신기 (Superheterodyne receiver)

역사적으로 "에일리어싱"이라는 용어는 슈퍼헤테로다인 수신기 방식이라는 무선 기술에서 사용되었다. 슈퍼헤테로다인 방식에서는 수신한 목적 신호를 국부 발진기의 신호와 믹서로 혼합(헤테로다인)하여, 거기에서 각각의 차이 주파수인 중간 주파수 신호를 얻는다. 이때 중간 주파수 신호에는 목적하지 않는 신호에 기인하는 신호가 섞인다. "목적 신호", "국부 발진기", "목적하지 않는 신호"의 주파수 관계는, 표본 추출에서의 "원 신호", "샘플링 주파수", "에일리어스"의 관계와 같다. 이 "목적하지 않는 신호"를 필요한 신호의 "허상^[19]" 또는 "에일리어스"라고 불렀다.

6. 역사적 배경

"에일리어싱"이라는 용어는 원래 수퍼헤테로다인 수신기의 작동 방식 때문에 라디오 공학에서 유래되었다.^[6] 수신기에서 여러 신호를 RF에서 IF로 낮추는 헤테로다인 과정에서, 원치 않는 신호가 발생할 수 있다. 이 신호는 원하는 신호와 국부 발진기 (LO) 주파수에서 같은 거리에 있지만 반대쪽에 위치하며, 결국 원하는 신호와 동일한 IF 주파수를 갖게 된다. 이 원치 않는 신호를 원하는 신호의 ''이미지'' 또는 ''별칭''이라고 한다.^[19]

신호 처리 분야에서 "별칭"과 "에일리어싱"이라는 용어가 처음 등장한 문헌은 존 투키와 리처드 해밍의 1949년 미출판 벨 연구소 기술 메모^[6]이다. 이 논문에는 1922년으로 거슬러 올라가는 주파수 에일리어싱의 예시가 포함되어 있다. "에일리어싱"이라는 용어가 처음 ''출판''된 것은 1958년 블랙먼과 투키의 논문에서였다.^[8] 이 논문의 도버 재인쇄본 서문^[7]에서 그들은 에일리어싱 개념이 10년 전에 Stumpf에 의해 그래픽으로 설명되었다고 언급했다.^[9]

1949년 벨 기술 보고서에서는 에일리어싱을 이미 잘 알려진 개념처럼 언급했지만, 이 용어의 출처는 밝히지 않았다. 그윌림 젠킨스와 모리스 프리슬리는 투키가 이 용어를 도입했다고 말했지만,^[10] 몇 년 전에 부분 요인 설계에서 에일리어싱과 유사한 개념이 도입되었다.^[11] 투키는 요인 실험에서 중요한 연구를 수행했고^[12] 부분 설계에서의 에일리어싱을 알고 있었지만,^[13] 신호 처리에서 "에일리어싱" 사용이 이 설계에 의해 의식적으로 영감을 받았는지는 알 수 없다.

역사적으로 "에일리어싱"이라는 용어는 슈퍼헤테로다인 방식이라는 무선 기술에서 사용되었다. 슈퍼헤테로다인 방식에서는 수신한 목적 신호를 국부 발진기의 신호와 믹서로 혼합하여 (헤테로다인) 각각의 차이 주파수인 중간 주파수 신호를 얻는다. 이때 중간 주파수 신호에는 목적하지 않는 신호에 기인하는 신호가 섞인다. "목적 신호"와 "국부 발진기"와 "목적하지 않는 신호"의 주파수 관계는, 표본 추출에서의 "원 신호"와 "샘플링 주파수"와 "에일리어스"의 관계와 같다. 이 "목적하지 않는 신호"를 필요한 신호의 "허상" 또는 "에일리어스"라고 불렀다.^[19]

참조

_[1] 간행물 Reconstruction filters in computer-graphics http://www.mentallan[...] 1988-08
_[2] 웹사이트 Time Filter Technical Explanation http://tessive.com/t[...] Tessive, LLC 2010
_[3] 서적 Multirate Signal Processing for Communication Systems Prentice Hall PTR 2006-08
_[4] 웹사이트 The (New) Stanford Light Field Archive http://lightfield.st[...]
_[5] 문서 Beamwidth and useable bandwidth of delay-steered microphone arrays 1985
_[6] 서적 The Collected Works of John W. Tukey Wadsworth 1984
_[7] 서적 The Measurement of Power Spectra from the Point of View of Communications Engineering Dover 1959
_[8] 학술지 The measurement of power spectra from the point of view of communications engineering - Part I 1958
_[9] 서적 Grundlagen und Methoden der Periodenforschung Springer 1937
_[10] 학술지 Discussion (Symposium on Spectral Approach to Time Series) 1957
_[11] 학술지 The fractional replication of factorial arrangements 1945
_[12] 서적 The Collected Works of John W. Tukey Wadsworth 1992
_[13] 서적 The Collected Works of John W. Tukey Wadsworth 1984
_[14] 문서 aliasing distortion
_[15] 문서 spatial aliasing
_[16] 서적 Multirate Signal Processing for Communication Systems Prentice Hall PTR 2006
_[17] 문서 folding
_[18] 문서 folding frequency
_[19] 문서 image

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