예피멘코 방정식

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1. 개요

예피멘코 방정식은 우크라이나 출신 물리학자 올레크 예피멘코가 1966년에 처음 언급한 것으로, 시간에 따라 변하는 전하 밀도와 전류 밀도에 의해 생성되는 전기장과 자기장을 계산하는 데 사용되는 공식이다. 이 방정식은 지연 전위로부터 유도되며, 전자기학의 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙을 시간 의존적으로 일반화한 것이다. 예피멘코 방정식은 헤비사이드-페인만 공식으로도 표현될 수 있으며, 맥스웰 방정식과는 다른 관점에서 전자기파의 생성과 전파를 설명한다.

예피멘코 방정식

유형	맥스웰 방정식의 해

개발자

개발자	올레크 D. 예피멘코

방정식

전기장	$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \left[ \frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{R^3} + \frac{1}{R^2 c} \frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t'} \right] \mathbf{R}\, dV' + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \int \frac{1}{R} \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t'} dV'$
자기장	$\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[ \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{R^3} + \frac{1}{R^2 c} \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t'} \right] \times \mathbf{R}\, dV'$

변수

E	전기장
B	자기장
r	공간의 점
t	시간의 점
ε0	진공 유전율
μ0	진공 투자율
ρ	전하 밀도
J	전류 밀도
c	광속
R	$\mathbf{r} - \mathbf{r}'$
tr	지연 시간

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 전기장과 자기장
- 3.2. 지연 전위로부터의 유도
4. 헤비사이드-페인만 공식
5. 논의

2. 역사

우크라이나 태생 미국 물리학자 올레크 예피멘코(Оле́г Дми́триевич Ефиме́нко^{우크라이나어})는 1966년에 쓴 교과서에 이 공식을 이름 없이 언급하였고, 그 뒤 데이비드 그리피스가 "예피멘코 방정식"이라는 이름을 붙였다.

맥도날드는 예피멘코 방정식이 파노프스키와 필립스의 고전적인 교과서 1962년 제2판에 처음 등장하는 것으로 보인다고 지적했다. 그러나 데이비드 그리피스는 "내가 아는 한 가장 초기의 명시적인 언급은 1966년 올레그 예피멘코에 의해 이루어졌다"고 밝혔으며, 파노프스키와 필립스의 교과서에 있는 방정식을 단지 "밀접하게 관련된 표현"이라고 특징지었다. 앤드루 쟝윌에 따르면 예피멘코의 방정식과 유사하지만 푸리에 주파수 영역에 있는 방정식은 조지 아돌푸스 쇼트가 1912년 논문 『전자기 방사선』에서 처음으로 유도했다.

3. 정의

예피멘코 방정식은 시간에 따라 변하는 전하 밀도와 전류 밀도로 구성된 계가 만드는 전자기장을 기술한다. 로렌츠 게이지 조건 아래, 뒤처진 퍼텐셜을 사용하여 전기장과 자기장을 계산한다.

뒤처진 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

: $\phi(t,\mathbf x)=\int\frac{\rho(t_\text{ret},\mathbf y)}{4\pi\epsilon_0r}\;d^3\mathbf y$
: $\mathbf A(t,\mathbf x)=\int\frac{\mu_0\mathbf J(t_\text{ret},\mathbf y)}{4\pi r}\;d^3\mathbf y$

여기서 $\mathbf r=\mathbf x-\mathbf y$ , $r=\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert$ 이고, $t_\text{ret}=t-r/c$ 은 뒤처진 시간이다.

이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장과 자기장을 직접 계산할 수 있으며, 이렇게 계산된 전기장과 자기장에 대한 공식을 예피멘코 방정식이라고 한다. 전하 분포와 전류 분포가 시간에 따라 변하지 않는다면 ( $\dot\rho=0$ , $\dot{\mathbf J}=0$ ), 예피멘코 방정식은 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙으로 환원된다.

3.1. 전기장과 자기장

예피멘코 방정식은 임의의 전하 밀도 ρ 및 전류 밀도 J에 의해 생성된 전기장 E와 자기장 B를 제공한다.

:

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \left[\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\rho(\mathbf{r}', t_r) + \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2}\frac{1}{c}\frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} - \frac{1}

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\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] dV',
:

\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = -\frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r) + \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2} \times \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] dV',

여기서 r′은 전하 분포의 한 점이고, r은 공간의 한 점이며, 지연 시간은 다음과 같다.
:

t_r = t - \frac

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{c}
D와 H에 대해서도 유사한 표현식이 있다.

이 방정식들은 정전기장 및 정자장과 정상 전류에 대해서만 유효했던 전자기학에 대한 쿨롱의 법칙과 비오-사바르 법칙의 시간 의존적인 일반화이다.

전하 밀도

\rho(\boldsymbol{r},t)

및 전류 밀도

\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r},t)

가 자신이 만들어내는 전장이나 자장의 영향을 받지 않고, 무한한 과거와 무한 원점에서 0으로 수렴하며, 자유 공간에 배치되어 있고, 시공 인과율이 성립한다는 가정 하에, 전장

\boldsymbol{E}

와 자기 선속 밀도

\boldsymbol{B}

는 다음과 같이 표현된다.

:

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} {\int}_{\boldsymbol{V}}  \left[ \left(\frac{\rho(\boldsymbol{s}, {t}_{-})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3} + \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^2 c}\frac{\partial \rho(\boldsymbol{s}, {t}_{-})}{\partial t}\right)(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}) - \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}| c^2}\frac{\partial \boldsymbol{J}(\boldsymbol{s}, {t}_{-})}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 \boldsymbol{s}.

\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} {\int}_{\boldsymbol{V}} \left[\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{s}, {t}_{-})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3} + \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^2 c}\frac{\partial \boldsymbol{J}(\boldsymbol{s}, {t}_{-})}{\partial t} \right] \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}) \mathrm{d}^3 \boldsymbol{s}.

위의 두 식을 통칭하여, 예피멘코 방정식이라고 한다.

여기서, t 는 지연 시간을 나타내며, 다음 식으로 주어진다.
:

t_{-}\equiv t - \frac

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{c}.

또한,
*

\epsilon_0

는 진공 유전율
*

\mu_0

는 진공 투자율
*

c

는 광속
*

\mathrm{d}^3\boldsymbol{s}

는 미소 체적 요소를
나타낸다.

D

나

H

에 대해서도 유사한 식을 유도할 수 있다.

3.2. 지연 전위로부터의 유도

시간에 따라 변하는 전하 밀도 $\rho(t,\mathbf y)$ 와 전류 밀도 $\mathbf J(t,\mathbf y)$ 로 구성된 계가 만드는 전자기장을 생각할 때, 로렌츠 게이지 조건 아래 이 계의 전위 $\phi(t,\mathbf x)$ 와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A(t,\mathbf x)$ 은 뒤처진 퍼텐셜로 주어진다.

: $\phi(t,\mathbf x)=\int\frac{\rho(t_\text{ret},\mathbf y)}{4\pi\epsilon_0r}\;d^3\mathbf y$

: $\mathbf A(t,\mathbf x)=\int\frac{\mu_0\mathbf J(t_\text{ret},\mathbf y)}{4\pi r}\;d^3\mathbf y$

여기서 $\mathbf r=\mathbf x-\mathbf y$ , $r=\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert$ 이고, $t_\text{ret}=t-r/c$ 은 뒤처진 시간이다.

이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장과 자기장을 직접 계산할 수 있다.

: $\mathbf E(t,\mathbf x)=-\nabla\phi(t,\mathbf x)-\dot{\mathbf A}(t,\mathbf x)$

: $\mathbf B(t,\mathbf x)=\nabla\times\mathbf A(t,\mathbf x)$

위의 뒤처진 퍼텐셜 공식을 대입하면 예피멘코 방정식을 얻을 수 있다.

전자기 스칼라 전위 $\phi$ 의 기울기 벡터장은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\nabla\phi(\boldsymbol{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\boldsymbol{V}} \nabla\left(\frac{\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{\mathfrak{R}}\right)\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\boldsymbol{V}} \left[\frac{\nabla\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{\mathfrak{R}}+\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}$

여기서 $\boldsymbol{\mathfrak{R}} = |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{s} |$ 이다.

전하 밀도 $\rho$ 의 전미분을 고려하면, 전하 밀도 $\rho$ 의 기울기 벡터장은 다음과 같이 표현된다.

: $\nabla\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-}) = - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{\partial {t}_{-}}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$

여기서,
: $\dot{\rho}(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-}) = \frac{\partial\rho(\boldsymbol{s} ,\, t)}{\partial {t}_{-}}$
를 의미하고, $\nabla \mathfrak{R} \equiv \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}$ 이다.

결과적으로, $\phi$ 의 기울기 벡터장은 다음과 같다.

: $\nabla\phi(\boldsymbol{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\boldsymbol{V}} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-}) \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}$

마찬가지로, $\boldsymbol{A}$ 에 대해서는 다음 식이 성립한다.

: $\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},\,t)}{\partial t}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\boldsymbol{V}} \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{s},\,{t}_{-})}$

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\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\int_{\boldsymbol{V}} \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{s},\,{t}_{-})}

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\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}

4. 헤비사이드-페인만 공식

--

헤비사이드-페인만 공식(예피멘코-페인만 공식)은 예피멘코 방정식의 점 입자 전하 버전을 나타낸다. 디랙 델타 함수 또는 리나르-뷔헤르 포텐셜을 사용하여 유도할 수 있다. 페인만의 물리학 강의에서 전자기파의 기원을 설명하는 데 사용되었다. 움직이는 전하에 대한 쿨롱의 법칙의 일반화를 제공한다. 공식은 다음과 같다.

: $\mathbf{E} = \frac{-q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{\mathbf{e}_{r'}}{r'^2} + \frac{r'}{c} \frac{d}{dt} \left(\frac{\mathbf{e}_{r'}}{r'^2}\right) +\frac{1}{c^2} \frac{d^2}{dt^2} \mathbf{e}_{r'} \right]$
: $\mathbf{B} = - \mathbf{e}_{r'} \times \frac{\mathbf{E}}{c}$

여기서 $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 는 각각 전기장과 자기장이고, $q$ 는 전하, $\varepsilon_0$ 는 진공 유전율(전기장 상수), $c$ 는 빛의 속도이다. 벡터 $\mathbf{e}_{r'}$ 는 관찰자에서 전하를 가리키는 단위 벡터이고, $r'$ 는 관찰자와 전하 사이의 거리이다. 전자기장이 빛의 속도로 전파되므로, 이 두 양은 지연 시간 $t - r'/c$ 에서 평가된다.

--

$\mathbf{E}$ 에 대한 공식의 첫 번째 항은 정적 전기장에 대한 쿨롱의 법칙을 나타낸다. 두 번째 항은 전기장의 전파 시간인 $\frac{r'}{c}$ 가 곱해진 첫 번째 쿨롱 항의 시간 미분이다. 이것은 자연이 현재 시간에 대한 선형 외삽을 통해 현재 필드가 무엇일지 "시도"하는 것으로 간주될 수 있다. 단위 벡터 $e_{r'}$ 의 2차 미분에 비례하는 마지막 항은 시선에 수직인 전하의 움직임에 민감하다. 이 항에 의해 생성된 전기장은 $a_{t}/r'$ 에 비례하며, 여기서 $a_t$ 는 지연된 시간에서의 횡 가속도이다. 표준 $1/r'^2$ 쿨롱 동작과 비교하여 거리에 따라 $1/r'$ 로만 감소하므로, 이 항은 가속 전하에 의해 발생하는 장거리 전자기파의 원인이 된다.

헤비사이드-페인만 공식은 맥스웰 방정식으로부터 지연 포텐셜 기술을 사용하여 유도할 수 있다. 가속 전하의 전체 방사 전력에 대한 라모 공식을 유도할 수 있다.

5. 논의

맥스웰 방정식에 대한 일반적인 해석은 공간적으로 변화하는 전기장과 자기장이 서로 시간에 따라 변화를 일으켜 전자기파를 생성한다고 본다. (전자기학) 그러나 예피멘코 방정식은 다른 관점을 제시한다. 예피멘코는 다음과 같이 설명한다. "맥스웰 방정식이나 그 해는 전기장과 자기장 사이에 인과 관계가 있다는 것을 나타내지 않는다. 따라서 전자기장은 시간 변화하는 전하와 전류라는 공통 원인에 의해 동시에 생성되는 전기적 요소와 자기적 요소를 항상 갖는 이중적 실체라고 결론지어야 한다."

맥도날드는 예피멘코 방정식이 파노프스키와 필립스의 고전 교과서 1962년 제2판에 처음 등장한 것으로 보인다고 지적했다. 그러나 데이비드 그리피스는 "내가 아는 한 가장 먼저 명확하게 언급된 것은 1966년 올레그 예피멘코였다"고 언급하며, 파노프스키와 필립스의 교과서에 있는 방정식은 "밀접하게 관련된 표현"일 뿐이라고 설명했다. 앤드루 쟝윌에 따르면 예피멘코 방정식과 유사하지만 푸리에 주파수 영역에 있는 방정식은 조지 아돌푸스 쇼트가 쓴 논문 『전자기 방사선』(캠브리지 대학교 출판부, 1912)에서 처음 유도되었다.

이 방정식들의 중요한 특징은 방정식의 "인과 관계"를 반영하는 "지연된" 시간을 우변이 포함한다는 점이다. 즉, 각 방정식의 좌변은 양변이 동시에 일어나는 맥스웰 방정식의 일반적인 미분 표현과는 달리, 실제로 우변에 의해 "야기된다". 맥스웰 방정식의 일반적인 표현에서는 양변이 서로 같다는 것은 의심할 여지가 없지만, 예피멘코는 "이 방정식들은 모두 시간에 대해 동시적인 양을 연결하므로, 이 방정식들 중 어느 것도 인과 관계를 나타낼 수 없다."라고 지적했다.

유형	맥스웰 방정식의 해

개발자

개발자	올레크 D. 예피멘코

방정식

전기장	$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \left[ \frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{R^3} + \frac{1}{R^2 c} \frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t'} \right] \mathbf{R}\, dV' + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \int \frac{1}{R} \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t'} dV'$
자기장	$\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[ \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{R^3} + \frac{1}{R^2 c} \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t'} \right] \times \mathbf{R}\, dV'$

변수

E	전기장
B	자기장
r	공간의 점
t	시간의 점
ε0	진공 유전율
μ0	진공 투자율
ρ	전하 밀도
J	전류 밀도
c	광속
R	$\mathbf{r} - \mathbf{r}'$
tr	지연 시간