오버슈트 (신호)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 제어 이론
- 2.2. 전자 공학
3. 깁스 현상
4. 신호 처리
5. 관련 개념
참조

1. 개요

오버슈트는 전자공학 및 신호 처리에서 신호가 목표값으로 변경될 때 최종값을 일시적으로 초과하는 현상을 의미한다. 제어 이론에서는 출력이 정상 상태 값을 초과하는 것을, 깁스 현상에서는 함수 근사 시 나타나는 오버슈트, 언더슈트, 링잉을 포함하는 현상을 의미한다. 신호 처리에서 오버슈트는 필터의 출력이 입력보다 더 높은 최대값을 갖는 경우를 말하며, 이미지 선명화에 사용되기도 한다. 링잉은 오버슈트와 관련이 있으며, 생태학에서는 개체군이 수용 능력을 초과하는 경우를 오버슈트라고 한다.

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오버슈트 (신호)
개요
정의	어떤 값이 목표값을 지나쳐서 나타나는 현상
관련 분야	제어 이론 신호 처리
제어 이론에서의 오버슈트
정의	최종 정상 상태 값에서 시스템 응답이 초과하는 정도
주요 특징	주로 계단 함수 입력에 대한 응답에서 발생 시스템의 감쇠비와 밀접한 관련
계산	오버슈트 (OS) = (최대값 - 계단 높이) / 계단 높이
신호 처리에서의 오버슈트
정의	신호의 값이 목표값을 초과하는 현상
발생 원인	신호의 대역폭 제한 필터 설계
관련 현상	깁스 현상

2. 정의

전자공학에서 오버슈트는 신호가 한 값에서 다른 값으로 변하는 과정에서 과도 응답 상태일 때, 목표값보다 더 큰 값이 나오는 현상을 의미한다. 이러한 현상은 아날로그 증폭기의 출력 신호에서 중요하게 사용된다.^[6]

최대 오버슈트는 가츠히코 오가타(Katsuhiko Ogata)의 저서 ''이산 시간 제어 시스템''에서 "시스템의 원하는 응답에서 측정된 응답 곡선의 최대 피크 값"으로 정의된다.^[1]

2. 1. 제어 이론

제어 이론에서 오버슈트(overshoot)는 출력이 최종, 정상 상태 값을 초과하는 것을 의미한다.^[2] 스텝 응답의 경우, ''과도 응답 백분율''(PO)은 최댓값에서 스텝 값을 뺀 값을 스텝 값으로 나눈 값이다. 단위 스텝의 경우, ''오버슈트''는 스텝 응답의 최댓값에서 1을 뺀 값이다.

2차 시스템의 경우, 과도 응답 백분율은 감쇠비 ''ζ''의 함수이며 다음과 같이 주어진다.^[3]

:

\mathrm{PO} = 100 \exp \left (\frac{-\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right )

감쇠비는 또한 다음을 통해 찾을 수 있다.

:

\zeta = \frac{-\ln\left(\frac{\rm PO}{100}\right)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2\left(\frac{\rm PO}{100}\right)}}

2. 2. 전자 공학

전자공학에서 오버슈트는 신호가 한 값에서 다른 값으로 변할 때, 과도 응답 상태에서 목표값보다 더 큰 값이 나오는 현상을 의미한다. 주로 아날로그 증폭기의 출력 신호에서 중요하게 다루어진다.^[6]

'''오버슈트'''는 어떤 매개변수가 한 값에서 다른 값으로 전환되는 동안 최종(정상 상태) 값을 초과하는 일시적인 값을 의미한다. 이 용어의 중요한 적용 분야는 증폭기의 출력 신호이다.^[4]

'''오버슈트'''는 일시적인 값이 최종 값을 초과할 때 발생한다. 최종 값보다 낮을 때는 '''언더슈트'''라고 한다.

전기 회로는 허용 가능한 한계 내에서 신호의 왜곡을 포함하면서 상승 시간을 최소화하도록 설계된다. 오버슈트는 신호 왜곡을 나타내며, 회로 설계에서 오버슈트를 최소화하고 회로 상승 시간을 줄이는 목표는 상충될 수 있다. 오버슈트의 크기는 ''"감쇠비"''라는 현상을 통해 시간에 따라 달라진다. 계단 응답에서 관련 그림을 참조할 수 있다. 오버슈트는 종종 출력이 정상 상태에 도달하는 데 걸리는 시간인 정착 시간과 관련이 있다. 계단 응답을 참조할 수 있다.

3. 깁스 현상

함수의 근사에서 ''오버슈트''는 근사 품질을 설명하는 용어 중 하나이다. 푸리에 급수 또는 직교 다항식 전개와 같이, 사각파와 같은 함수가 여러 항의 합으로 표현될 때, 급수에서 잘린 항의 수로 함수의 근사를 나타내는 것은 오버슈트, 언더슈트 및 링잉을 나타낼 수 있다. 급수에서 더 많은 항을 유지할수록 근사가 나타내는 함수에서 벗어나는 정도는 줄어들지만, 진동의 주기는 감소하는 반면 진폭은 감소하지 않는다.^[5] 이는 깁스 현상으로 알려져 있다. 푸리에 변환의 경우, 이는 특정 주파수까지의 적분으로 계단 함수를 근사하여 모델링할 수 있으며, 이로 인해 사인 적분이 생성된다. 이는 싱크 함수와의 컨볼루션으로 해석될 수 있으며, 신호 처리 용어로는 저역 통과 필터이다.

4. 신호 처리

신호 처리에서 오버슈트는 필터의 출력이 입력보다 더 높은 최대값을 갖는 경우이며, 특히 계단 응답에서 발생하며 종종 관련 현상인 링잉 아티팩트를 동반한다.

이는 예를 들어 싱크 필터를 이상적인 (브릭월) 로우패스 필터로 사용할 때 발생한다. 계단 응답은 임펄스 응답과의 컨볼루션으로 해석될 수 있으며, 이는 싱크 함수이다.

오버슈트 및 언더슈트는 다음과 같은 방식으로 이해할 수 있다. 커널은 일반적으로 적분 1을 갖도록 정규화되어 상수 함수를 상수 함수로 보낸다. 그렇지 않으면 이득을 갖는다. 한 지점에서 컨볼루션의 값은 입력 신호의 선형 결합이며, 계수는 커널의 값이다. 가우시안 커널과 같이 커널이 음수가 아니면, 필터링된 신호의 값은 입력 값의 볼록 결합이 되고(계수(커널)는 1로 적분되고 음수가 아님), 따라서 입력 신호의 최소값과 최대값 사이에 속하게 된다. 언더슈트 또는 오버슈트가 발생하지 않는다. 반면에 커널이 싱크 함수와 같이 음수 값을 가정하는 경우, 필터링된 신호의 값은 대신 입력 값의 아핀 결합이 되며 입력 신호의 최소값과 최대값 밖으로 떨어질 수 있으며, 언더슈트 및 오버슈트가 발생한다.

오버슈트는 종종 바람직하지 않으며, 특히 클리핑을 유발하는 경우 더욱 그렇지만, 선명도 (인식된 선명도)를 증가시키기 때문에 이미지 선명화에서 때때로 바람직하다.

5. 관련 개념

제어 이론에서 오버슈트는 출력이 최종 정상 상태 값을 초과하는 것을 의미한다.^[2] 스텝 응답의 경우, ''과도 응답 백분율''(PO)은 최대값에서 스텝 값을 뺀 값을 스텝 값으로 나눈 값이다. 단위 스텝의 경우, ''오버슈트''는 스텝 응답의 최대값에서 1을 뺀 값이다.

이와 밀접하게 관련된 현상으로 링잉이 있는데, 이는 오버슈트 이후 신호가 정상 상태 값 ''아래''로 떨어진 다음, 다시 위로 튀어 올라 정상 상태 값에 가까워지기까지 시간이 걸리는 현상을 말한다. 이 시간을 정착 시간이라고 한다.

전기 회로는 허용 가능한 한계 내에서 신호의 왜곡을 포함하면서 상승 시간을 최소화하도록 설계된다. 오버슈트는 종종 정착 시간과 관련이 있다. 정착 시간은 출력이 정상 상태에 도달하는 데 걸리는 시간이다.

최종 값보다 낮을 때는 ''"언더슈트"''라고 한다.

생태학에서 오버슈트는 유사한 개념으로, 개체군이 시스템의 수용 능력을 초과하는 경우를 말한다.

참조

_[1] 서적 Discrete-time control systems Prentice-Hall
_[2] 서적 Automatic control systems http://worldcat.org/[...] Wiley
_[3] 서적 Modern Control Engineering
_[4] 서적 CMOS analog circuit design http://worldcat.org/[...] Oxford University Press
_[5] 서적 Fourier analysis and its application http://worldcat.org/[...] Wadsworth: Brooks/Cole
_[6] 서적 CMOS analog circuit design http://www.worldcat.[...] Norwood Mass

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