계단 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정의의 변형
3. 성질
- 3.1. 르베그 적분
4. 예
- 4.1. 계단 함수가 아닌 예
5. 활용
참조

1. 개요

계단 함수는 유한 개의 구간에서 상수값을 가지는 함수이다. 실수 부분 집합의 지시 함수를 사용하여 정의되며, 여러 개의 지시 함수의 실수배의 합으로 표현된다. 계단 함수의 합, 곱, 실수배는 모두 계단 함수이며, 유한 개의 값만을 가질 수 있다. 계단 함수는 유한 개의 점을 제외하고 미분 가능하며, 부정적분은 조각별 일차 함수이다. 르베그 적분은 각 구간의 길이와 함수값의 곱의 합으로 계산된다. 상수 함수, 부호 함수, 헤비사이드 계단 함수, 사각형 함수 등이 계단 함수의 예시이며, 정수 부분 함수는 무한대의 구간을 가지므로 일반적인 정의의 계단 함수에는 해당하지 않는다.

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계단 함수

2. 정의

'''계단 함수'''는 유한 개의 구간에서 지시 함수들의 선형 결합으로 나타낼 수 있는 함수이다. 간단히 말해, 계단 함수는 유한 개의 구간에서 각각 상수 값을 갖는 함수이다.

함수

f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

가 '''계단 함수'''가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

:

f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)

(단, 모든 실수

x

에 대해)

위 식에서

n\ge 0

이고,

\alpha_i

는 실수,

A_i

는 구간이며,

\chi_A

는

A

의 지시 함수이다. 지시 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\chi_A(x) = \begin{cases}1 & \text{if } x \in A \\0 & \text{if } x \notin A \\\end{cases}

위 정의에서 구간

A_i

는 다음 두 가지 속성을 갖는다고 가정할 수 있다.

쌍별로 서로소이다. ( $i \neq j$ 이면 $A_i \cap A_j = \emptyset$ )
합집합은 전체 실수선이다. ( $\bigcup_{i=0}^n A_i = \mathbb R.$ )

예를 들어, 계단 함수

:

f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}

는 위 조건을 만족하도록 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

f = 0\chi_{(-\infty, -5)} +4 \chi_{[-5, 0]} +7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)}+0\chi_{[6, \infty)}.

2. 1. 정의의 변형

경우에 따라 구간이 오른쪽으로 열려 있거나^[1] 한 점으로만 구성된 집합을 허용하기도 한다.^[2] 구간의 개수가 유한해야 한다는 조건은, 특히 학교 수학에서는 종종 생략되기도 하지만,^[3]^[4]^[5] 이 경우에도 국소 유한성을 만족해야 조각별 상수 함수가 된다.

3. 성질

두 계단 함수의 합과 곱, 그리고 계단 함수와 실수의 곱은 모두 계단 함수이다. 따라서 계단 함수는 실수체 위의 대수를 이룬다.^[7] 계단 함수는 유한 개의 값만 가질 수 있으며, 유한 개의 점을 제외하고 미분 가능하다. 미분 가능한 모든 점에서의 미분은 0이다. 계단 함수의 정적분은 구간별 선형 함수이다.

3. 1. 르베그 적분

계단 함수

\textstyle f = \sum_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}

의 르베그 적분은 다음과 같이 계산된다.^[7]

:

\int f\,dx = \sum_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i)

여기서

\ell(A)

는 구간

A

의 길이를 나타내며, 모든 구간

A_i

는 유한한 길이를 갖는다고 가정한다. 이 등식은 르베그 적분 이론을 구성하는 첫 번째 단계가 될 수 있다.^[7]

4. 예

상수 함수는 가장 단순한 형태의 계단 함수이다. 이 경우 단 하나의 구간만이 존재한다.^[6]
부호 함수는 음수에서 -1, 양수에서 1의 값을 가지는 가장 간단한 비상수 계단 함수이다.
헤비사이드 계단 함수는 음수에서 0, 양수에서 1의 값을 가지며, 동적 시스템의 계단 응답과 같은 테스트 신호를 결정하는 데 사용된다.^[6]
사각형 함수는 단위 펄스를 모델링하는 데 사용되는 함수이다.^[6]

4. 1. 계단 함수가 아닌 예

정수 부분 함수는 이 문서에서 정의하는 계단 함수가 아니다. 왜냐하면 무한 개의 구간을 갖기 때문이다. 하지만 일부 저자들은^[6] 무한 개의 구간을 갖는 계단 함수도 정의한다.^[6]

바닥 함수나 천장 함수는 무한 개의 구간으로 나누어지기 때문에, 이 문서의 문맥에서는 계단 함수가 아니다.

5. 활용

두 계단 함수의 합과 곱, 그리고 계단 함수와 숫자의 곱은 모두 계단 함수이다. 따라서 계단 함수는 실수에 대한 대수를 형성한다.
계단 함수는 유한 개의 값만 가진다.
계단 함수의 정적분은 구간별 선형 함수이다.
계단 함수의 르베그 적분은 $\textstyle \int f\,dx = \sum_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i),$ 이다. 여기서 $\ell(A)$ 는 구간 $A$ 의 길이를 나타내며, 모든 구간 $A_i$ 는 유한한 길이를 갖는다고 가정한다. 이 등식은 르베그 적분을 구성하는 첫 번째 단계가 될 수 있다.^[7]
이산 확률 변수는 확률 변수의 누적 분포 함수가 구간별로 상수인 경우로 정의되기도 한다.^[8] 이 경우, 국소적으로 계단 함수이다. 그러나 일반적으로 가산 개의 가능한 값만 갖는 임의의 확률 변수를 이산 확률 변수라고 부르며, 이 경우 누적 분포 함수는 무한히 많은 간격이 유한한 영역에 축적될 수 있으므로 반드시 국소적으로 계단 함수는 아니다.

참조

_[1] 웹사이트 Step Function http://mathworld.wol[...]
_[2] 웹사이트 Step Functions - Mathonline http://mathonline.wi[...]
_[3] 웹사이트 Mathwords: Step Function https://www.mathword[...]
_[4] 웹사이트 Archived copy https://study.com/ac[...] 2024-12-16
_[5] 웹사이트 Step Function https://www.varsityt[...]
_[6] 서적 Fourier and Wavelet Analysis Springer, New York, 2000 2002-04-05
_[7] 서적 Lebesgue integration and measure Cambridge University Press, 1973 1973-05-10
_[8] 서적 Introduction to Probability Athena Scientific 2002

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