원진 (마법진)
1. 개요
원진은 원과 살의 교차점에 숫자를 배치하여 구성되는 마법진의 한 종류이다. 양휘, 정이동, 청대위 등 여러 수학자들이 다양한 형태의 원진을 연구했다. 특히 양휘는 동심원 마법진, 사각형 모양 마법진 등 다양한 형태의 원진을 제시했으며, 정이동은 6개의 고리로 이루어진 마법진을 통해 마방진을 형성했다. 청대위는 산법통종에 여러 마법진을 소개했다. 또한, 앤드루스는 구 모양의 마원진을 제시하여 다차원적으로 확장되기도 했다. 마법진은 마방진에서 파생될 수 있으며, 현대에도 연구가 진행되고 있다.
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| 유형 | 수학 |
|---|---|
| 분야 | 조합론 |
| 유형 | 민속 |
|---|---|
| 문화적 의미 | 악령으로부터 보호 |
| 관련 항목 | 부적, 결계 |
2. 양휘의 마원진
양휘(, Yang Hui영어)는 1275년 그의 저서 《속고적기산법》(續古摘奇算法)에서 다양한 형태의 마원진을 제시했다. 그가 만든 마원진은 사각형 모양 5개, 고리 모양 6개, 사각형 모양의 동심원 마원진 8개, 사각형 모양 마원진 9개 등이다.
양휘의 마법진은 정사각형 안의 마법 5원, 고리 안의 6원, 정사각형 안의 마법 8원, 마법 동심원, 정사각형 안의 마법 9원 등으로 구성된다.
2.1. 양휘의 동심원 마원진
양휘의 마법 동심원은 다음과 같은 특징을 갖는다.
* 8개 반지름에 있는 수의 합(9 제외)은 69이다.
28 + 5 + 11 + 25 = 69
* 4개 지름에 있는 수의 합은 147이다.
28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147 = (69 × 2) + 9
* 각 원(9 제외)에 있는 수들의 합은 138이고, 가운데 9를 더하면 147이다.
10 + 22 + 7 + 30 + 2 + 18 + 25 + 24 = 138 = 69 × 2
* 닮은 반원에 있는 수들의 합은 모두 345이다.
28 + 27 + 20 + 33 + 12 = 120
5 + 15 + 16 + 1 + 31 = 68
11 + 3 + 23 + 13 + 19 = 69
25 + 24 + 10 + 22 + 7 = 88
* 120 + 68 + 69 + 88 = 345 = 69 × 5
27 + 20 + 33 + 12 + 4 = 96
15 + 16 + 1 + 31 + 21 = 84
3 + 23 + 13 + 19 + 14 = 72
24 + 10 + 22 + 7 + 30 = 93
* 96 + 84 + 72 + 93 = 345
* 4개의 지름에 있는 숫자들의 합은 147이다.
28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
* 8개의 숫자와 중앙의 9의 합은 147이다.
** 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
* 9를 제외한 8개의 반지름에 있는 숫자들의 합은 마법수 69이다. (예: 27 + 15 + 3 + 24 = 69)
* 각 원에 있는 모든 숫자들의 합(9 제외)은 69의 두 배이다.
* 8개의 반원이 존재하며, 숫자들의 합은 마법수 69이다. 마법수 69를 갖는 16개의 선분(반원과 반지름)이 있으며, 이는 12개의 마법수를 갖는 6차 마방진보다 많다.
2.2. 양휘의 사각형 모양 마원진
양휘는 사각형 모양의 동심원 마법진인 팔진도(八陣圖)와 연환도(連環圖)를 제시했다. 팔진도는 8개의 원으로, 연환도는 9개의 원으로 구성되어 있으며, 각 원에는 여러 숫자가 특정한 규칙에 따라 배열되어 합이 일정하게 나오는 특징을 가진다.
2.2.1. 팔진도(八陣圖)
1부터 64까지의 숫자가 8개의 원으로 배열되어 있으며, 각 원에는 8개의 숫자가 있다. 각 원의 숫자 합은 260이고, 모든 숫자의 총합은 2080(=8×260)이다. 원은 3×3 정사각형 격자로 배열되어 있으며, 중앙 영역은 비어 있다. 중앙 열과 행을 따라 가로/세로 합이 260이고, 두 대각선을 따라 숫자의 총합은 520이다.
| 40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 | =260 | 14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 | =260 | 45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 | =260 | ||||||||||
| 48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 | =260 | 37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 | =260 | (49 + 16 + 1 + 64) + (60 + 5 + 12 + 53) | =260 | ||||||||||
| 38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 | =260 | 7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 | =260 | 47 + 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 | =260 | ||||||||||
| (14 + 51 + 62 + 3) + (7 + 58 + 55 + 10) | =260 | (40 + 57 + 41 + 56) + (50 + 47 + 34 + 63) + (29 + 4 + 13 + 20) + (22 + 11 + 6 + 27) | =2 × 260 = 520 | ||||||||||||
2.2.2. 연환도(連環圖)
1부터 72까지의 숫자가 정사각형 안에 8개의 숫자로 구성된 9개의 원으로 배열되어 있으며, 인접한 숫자들은 4개의 추가적인 8개 숫자 원을 형성하여 총 13개의 8개 숫자 원이 있다.
| 북서 | 북 | 북동 | ||
|---|---|---|---|---|
| x1 | x2 | |||
| 서 | 중 | 동 | ||
| x3 | x4 | |||
| 남서 | 남 | 남동 |
* x1은 북서, 북, 중, 서 원의 숫자를 포함한다.
* x2는 북, 북동, 동, 중 원의 숫자를 포함한다.
* x3은 서, 중, 남, 남서 원의 숫자를 포함한다.
* x4는 중, 동, 남동, 남 원의 숫자를 포함한다.
* 72개 숫자의 총합 = 2628
* 8개 숫자 원의 숫자 합 = 292
* 수평선, 수직선, 대각선 상의 세 원의 합 = 876
3. 정이동의 마원진
정이동(丁易东중국어)의 마법진의 특성은 다음과 같다.
* 각 반지름과 중심에 있는 일부 수들은 일의 자리 숫자가 같다.
각 반지름 위에 있는 끝에서부터 5개의 수의 일의 자리 숫자는 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9이다.
중심에 있는 9개의 수의 일의 자리 숫자는 5 또는 0이다.
* 각 원(가운데 25 제외)에 있는 수들의 합은 200이다.
45 + 10 + 35 + 30 + 5 + 40 + 15 + 20 = 200
* 어떤 수를 선택하면(가운데 25 제외), 원에서 그 반대편에 있는 수와의 합이 50이다.
49 + 1 = 50
2 + 48 = 50
* 따라서 각 지름에 있는 수들의 합은 항상 325이다.
49 + 39 + 29 + 19 + 9 + 45 + 25 + 5 + 41 + 31 + 21 + 11 + 1 = 325 = 25 + 6 × 50
딩이동은 양휘와 동시대의 수학자였다. 그의 6개의 고리로 이루어진 마법진에서, 5개의 바깥 고리의 일의 자리 숫자와 중앙 고리의 일의 자리 숫자를 합하면 다음과 같은 마방진이 형성된다.
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
구성 방법은 다음과 같다.
* 반경 그룹 1 = 1, 11, 21, 31, 41
* 반경 그룹 2 = 2, 12, 22, 32, 42
* 반경 그룹 3 = 3, 13, 23, 33, 43
* 반경 그룹 4 = 4, 14, 24, 34, 44
* 반경 그룹 6 = 6, 16, 26, 36, 46
* 반경 그룹 7 = 7, 17, 27, 37, 47
* 반경 그룹 8 = 8, 18, 28, 38, 48
* 반경 그룹 9 = 9, 19, 29, 39, 49
* 중앙 그룹 = 5, 15, 25, 35, 45
그룹 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9를 다음과 같이 배치한다.
* 각 숫자는 원의 한 위치를 차지한다.
* 방향을 교대로 배치하여 한 반경은 바깥쪽에 가장 작은 숫자를, 인접한 반경은 바깥쪽에 가장 큰 숫자를 갖도록 한다.
* 각 그룹은 낙서 마방진의 숫자에 해당하는 반경 위치를 차지한다. 즉, 그룹 1은 1 위치, 그룹 2는 2 위치 등.
* 마지막으로 중앙 그룹을 중앙 원에 배치하여 다음과 같이 한다.
숫자 5는 그룹 1 반경에 위치
숫자 10은 그룹 2 반경에 위치
숫자 15는 그룹 3 반경에 위치
...
** 숫자 45는 그룹 9 반경에 위치
4. 청대위(程大位)의 마원진
청 대위는 명나라 시대의 수학자로, 그의 저서 산법통종에서 여러 마법진을 나열했다.
5. 다차원 확장
1917년, W. S. 앤드루스는 지구의 위선과 경선을 나타내는 구 위에 1부터 62까지의 숫자를 배열하여 각 원의 12개 숫자의 합이 378이 되도록 하는 마구진을 발표했다.
5.1. 앤드루스의 마구(魔球)
다음은 구 모양의 마원진이다.
6. 마방진과의 관계
마법진은 원과 살(원을 가로지르는 선)의 각 교차점에 숫자를 배치하여 하나 이상의 마방진에서 파생될 수 있다. 마방진의 열을 복제하여 추가적인 살을 추가할 수 있다.
그림의 예에서, 다음 4 × 4 최고 완전 마방진이 마법진의 윗부분에 복사되었다.
| 6 | 15 | 4 | 9 |
| 3 | 10 | 5 | 16 |
| 13 | 8 | 11 | 2 |
| 12 | 1 | 14 | 7 |
각 숫자(16이 더해짐)는 원의 중심에 대해 대칭인 교차점에 배치되었다. 이렇게 하면 숫자 1부터 32까지 포함하는 마법진이 생성되며, 각 원과 지름의 합은 132이다.