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2. 수학

1은 0보다 크고 2보다 작은 유일한 자연수이며, 곱셈에 대한 항등원이다. 모든 자연수의 약수이고, 최대공약수가 1인 두 수는 서로소라고 한다. 약수가 한 개인 유일한 자연수이며, 소수도 합성수도 아니지만 고도 합성수에는 포함된다.

1은 첫 번째 삼각수, 사각수, 오각수 등 다양한 도형수이다. 피보나치 수, 카탈란 수 등 다양한 수열에서 중요한 역할을 한다. 확률론에서 어떤 사건이 반드시 일어날 확률은 1이다. 2진법에서 사용되는 가장 큰 수이다.

페아노가 자연수를 정의하기 위해 만든 페아노 공리의 원래 공식에서 1은 자연수 시퀀스의 시작점으로 간주되었다.^[4][5] 페아노는 나중에 공리를 수정하여 시퀀스를 0부터 시작하도록 했다.^[6][7]

단항 기수법은 눈금표에 사용되는 것과 같이 "1진법" 숫자 시스템의 한 예시인데, 눈금 자체인 하나의 표시만 있으면 되기 때문이다.

많은 수학 및 공학 문제에서 숫자 값은 일반적으로 1이 최대 가능한 값을 나타내는 단위 구간([0,1]) 내에 있도록 정규화된다. 예를 들어, 정의에 따라 1은 절대적으로 또는 거의 확실한 사건이 발생할 확률이다.^[3]

1은 1808년 아드리앵-마리 르장드르가 소수 계량 함수의 점근적 분석을 표현하기 위해 도입한 르장드르 상수의 값이다.

타마가와 수에 대한 베유 추측은 타마가와 수 $\backslash tau(G)$가 모든 단일 연결 군에 대해 1이라고 명시한다.

1은 많은 실제 숫자 데이터 집합에서 가장 일반적인 첫 번째 자릿수이다. 이는 벤포드의 법칙의 결과이다.

과거에는 1을 소수로 간주하는 수학자도 있었다. 1을 소수라고 공언한 마지막 수학 전문가는 1899년의 앙리 르베그이다. 현대에는 1은 소수도 합성수도 아니며, 단수로 간주된다. 산술의 기본 정리에 따르면, 소인수 분해는 유일하다.

자리수 표기법의 밑으로 사용할 수 없다. 획선법은 밑 1의 기수법(일진법)이라고 불리는 경우가 있지만, 이것은 자리수 표기법이 아니다.

함수 1^''x''는 항상 1과 같고 역함수를 갖지 않으므로, 밑 1의 로그는 정의하지 않는다.

고대 이집트에서는, 분자가 1인 분수, 또는 그것들의 합으로 나타내는 형식은 단위 분수 또는 이집트 분수라고 한다.

모든 항이 1인 수열의 모함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{1\}\{1-x\}\; =1+x+x^2\; +x^3\; +\backslash cdots$

:이 급수는, |''x''| < 1일 때만 수렴한다.

자연계에 출현하는 수치나 2의 거듭제곱 등의 수학적 대상의 대부분은 벤포드의 법칙을 따르며, 1로 시작하는 것이 최다로 전체의 약 30%를 차지한다.

급수 + + + + ⋯는 1에 수렴한다.

구구단에서 1단은 1 × 1 = 1(인일지일)로 표시 방법이 1가지뿐이다. 이 외에 25, 49, 64, 81도 표시 방법이 1가지뿐이다.

2. 1. 수학적 성질

• 0.999…와 같다.
• 정수론에서 0과 더불어 소수(素數)도 합성수도 아니다.
• 1은 모든 자연수의 약수이다. 두 수의 최대공약수가 1인 수는 서로소라고 부른다.
• 1은 약수가 한 개인 유일한 자연수로, 가장 작은 고도 합성수이다. 1은 소수도 합성수도 아니지만, 고도 합성수에는 포함된다.
• 1은 첫 번째 N각수이다.
• 1은 첫 번째 삼각수, 첫 번째 사각수, 첫 번째 오각수이다.
• 1은 첫 번째와 두 번째 피보나치 수이다. 세 번째 피보나치 수는 2이다.
• 1은 0번째와 첫 번째 카탈란 수이다. 두 번째 카탈란 수는 2이다.
• 확률론에서 어떤 사건이 반드시 일어날 때의 확률은 1이다.
• n이 2 이상의 자연수일 때 0과 함께 n의 값에 관계없이 n제곱수이면서 동시에 n각수가 될 수 있는 둘뿐인 정수이다.
• 1은 2진법에서 쓰이는 숫자 중 가장 큰 수이다. 0, 1 다음에는 10, 11, 100, 101... 이 된다.
• 1은 곱셈에 대한 항등원이다. 어떤 수에 1을 곱하면 그 수 자신이 된다.

• 모든 수의 1제곱은 그 수 자신이다.

• 1의 제곱은 1이고, 제곱근도 1이다.

• 1은 첫 번째 n제곱수이다.

• 0을 제외한 모든 수의 0제곱은 1이다.

• 1번째 메르센 수로, 2의 1제곱에서 1을 뺀 수이다.
• 0!과 1!도 1이다.

• x/1=x
• 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

• 수 1은 0 다음의 첫 번째 자연수이다. 1을 포함한 각 자연수는 후임자 함수를 통해 구성되는데, 이는 이전 자연수에 1을 더하는 것이다. 1은 정수, 실수, 복소수의 곱셈 항등원이다. 즉, 어떤 수 $n$에 1을 곱해도 변하지 않는다($1\backslash times\; n\; =\; n\backslash times\; 1\; =\; n$). 결과적으로, 1의 제곱($1^2=1$), 제곱근($\backslash sqrt\{1\}\; =\; 1$), 그리고 1의 다른 모든 거듭제곱은 항상 1과 같다. 1은 자기 자신의 팩토리얼($1!=1$)이며, 0!도 1이다. 이것들은 공집합 곱의 특수한 경우이다.^[1] 1은 1과 자기 자신(1)으로만 나누어 떨어지는, 소박한 소수의 정의를 충족하지만, 현대적 관례에 따르면 소수도 합성수도 아니다.^[2]
• 단항 기수법은 눈금표에 사용되는 것과 같이 "1진법" 숫자 시스템의 한 예시인데, 눈금 자체인 하나의 표시만 있으면 되기 때문이다.
• 많은 수학 및 공학 문제에서 숫자 값은 일반적으로 1이 최대 가능한 값을 나타내는 단위 구간([0,1]) 내에 있도록 정규화된다. 예를 들어, 정의에 따라 1은 절대적으로 또는 거의 확실한 사건이 발생할 확률이다.^[3] 마찬가지로, 벡터 공간의 벡터는 종종 단위 벡터 (즉, 크기가 1인 벡터)로 정규화되는데, 이는 종종 더 바람직한 특성을 갖기 때문이다.
• 1은 1808년 아드리앵-마리 르장드르가 소수 계량 함수의 점근적 분석을 표현하기 위해 도입한 르장드르 상수의 값이다.
• 타마가와 수에 대한 베유 추측은 전역 수체에서 연결된 선형 대수적 군의 기하학적 척도인 타마가와 수 $\backslash tau(G)$가 모든 단일 연결 군(즉, '구멍'이 없는 경로 연결된 군)에 대해 1이라고 명시한다.
• 1은 많은 실제 숫자 데이터 집합에서 가장 일반적인 첫 번째 자릿수이다. 이는 특정 첫 번째 자릿수 $d$에 대한 확률이 $\backslash log\_\{10\}\; \backslash left(\backslash frac\{d+1\}\{d\}\; \backslash right)$라고 명시하는 벤포드의 법칙의 결과이다.
• 0을 제외한 최소의 자연수이며, 자연수 중 최소의 홀수이기도 하다. 임의의 수 ''x''에 1을 곱해도 ''x'' 그대로이므로, 1은 곱셈에 관한 항등원이라고 불린다.
• 1은 1 자신의 계승이며, 제곱이며, 더 일반적인 거듭제곱이기도 하다.
• 0 이외의 임의의 수의 0제곱은 1이다.
• 대부분의 경우, 0의 계승이나 0의 0제곱은 규약에 따라 1로 간주된다.
• 1은 정확히 1개의 양의 정수로 나누어 떨어지는 유일한 양의 정수이다.

• 실수, 복소수에서의 곱셈의 단위 원소이다.
• 곱셈과 나눗셈에서는, 1을 곱수나 제수로 하는 연산의 곱이나 몫은 피곱수나 피제수와 같은 수가 된다.
• 거듭제곱에서는, 지수가 0인 경우, 값은 반드시 1이 된다.
• 과거에는, 1을 소수로 간주하는 수학자도 있었다. 1을 소수라고 공언한 마지막 수학 전문가는 1899년의 앙리 르베그이다. 현대에는 1은 소수도 합성수도 아니며, −1이나 가우스 정수에서의 ''i'' 및 −''i'' 등과 같이 단수로 간주된다. 산술의 기본 정리에 따르면, 단수의 차이를 차이로 간주하지 않으면, 소인수 분해는 유일하다.
• 자리수 표기법의 밑으로 사용할 수 없다. 획선법은 밑 1의 기수법(일진법)이라고 불리는 경우가 있지만, 이것은 자리수 표기법이 아니다.
• 함수 1는 항상 1과 같고 역함수를 갖지 않으므로, 밑 1의 로그는 정의하지 않는다.

• 모든 종류의 도형수의 첫 번째 수이다.

• 1 = 1 = 1 = 1 = 1 …

• 최소의 카탈랑 수이다. 다음은 2이다.
• 최소의 고도 토티엔트 수이다. 다음은 2이다. 또한, 홀수 중에서는 유일하게 논토티엔트가 아니다.
• 1 = 2¹ − 1

• 1 + 1 = 2이며, ''n'' + 1의 형태로 소수를 낳는 최소의 수이다. 다음은 2이다.
• 1! + 1 = 2이며, ''n''! + 1의 형태로 소수를 낳는 최소의 수이다(0!일 때도 실제 값은 동일하다). 다음은 2이다.
• 피보나치 수열의 첫 번째 수이자 두 번째 수이며, 그 외 많은 정수열의 첫 번째 수이다. 닐 슬론의 온라인 정수열 대사전에서는 수열의 처음에 나열된 0이나 1은 사전식 순서의 고려 대상 외로 되어 있다.
• 최소의 벨 수이다. 다음은 2이다.
• 교호 계승의 최소의 수이자 두 번째 수이며, 두 번째의 경우 2! − 1! = 2 − 1이다. 다음은 5이다.
• 단위 벡터의 길이이며, 단위 행렬의 행렬식이다.
• 확률론에서, 확률의 최대값이며, 반드시 일어나는 사건의 확률이다.
• 통계학에서 상관계수는 −1부터 1 사이의 값을 가지며, 1에 가까울수록 정(+)의 상관관계가 강하다.
• 자연수를 정식화하는 방법에 따라, 1은 다른 표현을 가진다.
• 페아노 공리에서는, 1은 0의 후자이다. 즉, 1 = {0} = {Ø}이다(Ø는 공집합).
• 수학 원리에서는, 1은 단집합(1개의 원소만 갖는 집합) 모든 집합으로 정의된다.
• 고대 이집트에서는, 분자가 1인 분수, 또는 그것들의 합으로 나타내는 형식은 단위 분수 또는 이집트 분수라고 한다.
• 모든 항이 1인 수열의 모함수는 다음과 같이 주어진다.
• :$\backslash frac\{1\}\{1-x\}\; =1+x+x^2\; +x^3\; +\backslash cdots$

• 자연계에 출현하는 수치나 2의 거듭제곱 등의 수학적 대상의 대부분은 벤포드의 법칙을 따르며, 1로 시작하는 것이 최다로 전체의 약 30%를 차지한다.
• 최소의 뤼카 수이다. 다음은 3이다. 또한, 첫째 항 2의 후자이다.
• 1 = 1!

• 급수는 1에 수렴한다.
• 약수의 합이 1이 되는 수는 1개 있다(1). 약수의 합 1개로 나타낼 수 있는 최소의 수이다. 다음은 3이다.

• 연속해서 어떤 수에 대해 약수의 합을 구했을 경우 1개의 수가 1이 된다. 그 최소의 수. 다음은 4(2개).
• 구구단에서는, 1단의 경우 1 × 1 = 1(인일지일)로 표시 방법이 1가지밖에 없다. 구구단으로 표시 방법이 1가지밖에 없는 수는 그 외 25, 49, 64, 81이 있으며, 총 5개이다.
• 각 자리의 합이 1이 되는 하샤드 수는 100까지 3개, 1000까지 4개, 10000까지 5개 있다.

• 최소의 하샤드 수이다. 다음은 2이다.

• 각 자리의 곱이 1이 되는 최소의 수이다. 다음은 11이다.
• 최소의 카프레카 수(제1정의). 다음은 9이다.
• 1의 약수의 개수는 1개가 되어 1의 1배가 된다. 1∼''n''까지의 약수의 개수가 ''n''의 정수배가 되는 최소의 수이다. 다음은 4(2배).