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월리스 공식

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목차

1. 개요

월리스 공식은 원주율 π에 대한 무한곱으로, 다양한 방법으로 유도될 수 있다. 이 공식은 적분을 이용한 증명, 오일러의 무한곱, 복소해석, 라플라스 방법 등을 통해 증명될 수 있으며, 스털링 근사 및 리만 제타 함수와도 관련이 있다. 월리스 공식은 원주율 계산에 사용될 수 있지만, 수렴 속도가 느려 실용적인 방법은 아니다.

2. 증명

월리스 공식의 증명은 여러 방법으로 가능하다.


  • 적분을 이용한 증명: 월리스가 직접 제시한 방법이다.
  • 오일러의 무한곱을 이용한 증명: 사인 함수의 오일러 무한곱을 통해 유도할 수 있다.
  • 라플라스 방법을 이용한 증명: 가우스 적분을 활용한다.


복소 함수에서의 삼각함수의 무한 곱 전개를 통해서도 유도 가능하다.

:\frac{\pi z}{\sin \pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 -z^2}

위 식에 z = \frac{1}{2}을 대입하면 다음과 같다.

:\frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}

2. 1. 적분을 이용한 증명

정수 n에 대하여 다음과 같이 정의한다.[5]

:I(n) = \int_0^\pi \sin^n x\,dx

부분 적분을 이용하면 다음을 얻는다.

:\begin{align}

I(n) &= \int_0^\pi \sin^n x\,dx \\[6pt]

{} &= -\sin^{n-1}x\cos x \Biggl|_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x)(n-1) \sin^{n-2}x \cos x\,dx \\[6pt]

{} &= 0 + (n-1) \int_0^\pi \cos^2x \sin^{n-2}x\,dx, \qquad n > 1 \\[6pt]

{} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x\,dx \\[6pt]

{} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x\,dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x\,dx \\[6pt]

{} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\[6pt]

{} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\[6pt]

\Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}

&= \frac{n-1}{n} \\[6pt]

\end{align}

2n과 2n+1에 대하여 다음 점화식이 성립한다.

:I(2n) = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) ,

:I(2n+1) = \frac{2n}{2n+1}I(2n-1).

I(0)과 I(1)은 다음과 같다.

:\begin{align}

I(0) &= \int_0^\pi dx = x\Biggl|_0^\pi = \pi , \\

I(1) &= \int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x \Biggl|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 .

\end{align}

I(2n)에 대하여 점화식을 활용하면

:I(2n)=\int_0^\pi \sin^{2n}x\,dx = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)

:=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}

I(2n+1)에 대하여 점화식을 활용하면

:I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}x\,dx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)

:=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}

을 얻는다.

\sin{x} \leq 1 이므로,

:\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x, 0 \le x \le \pi

:\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)

이고, 이것을 I(2n+1)으로 나누면

:\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}

을 얻는다. 샌드위치 정리를 활용하면

:\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1

:\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1

:\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots

을 얻는다.

월리스는 보간법을 사용하여 이 무한 곱을 유도했지만, 그의 방법은 엄밀한 것으로 여겨지지 않는다. 현대적인 유도는 I(n) = \int_0^\pi \sin^n x\,dx를 짝수 및 홀수 값의 n에 대해 조사하고, 큰 n에 대해 n을 1씩 증가시키면 n이 증가함에 따라 점점 작아지는 변화가 발생한다는 점에 유의하여 찾을 수 있다.

이것은 월리스 적분의 한 형태이다.

복소 함수로서의 삼각함수의 무한 곱 전개

:\frac{\pi z}{\sin \pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 -z^2}

로부터 자연스럽게 유도된다. 이 식에 ''z'' = 1/2을 대입하면

:\frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}

를 얻는다.

2. 2. 오일러의 무한곱을 이용한 증명

월리스 공식은 사인 함수의 오일러 무한곱의 따름정리이다.

:\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

x = \frac{\pi}{2}로 두면 다음과 같다.

:\begin{align}

\Rightarrow\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\[6pt]

\Rightarrow\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\[6pt]

&= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots

\end{align}

[1]

이 공식은 복소 함수로서의 삼각함수의 무한 곱 전개로부터 유도될 수 있다.

:\frac{\pi z}{\sin \pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 -z^2}

이 식에 ''z'' = 1/2을 대입하면 다음과 같다.

:\frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}

2. 3. 라플라스 방법을 이용한 증명

가우스 적분 문서를 참조하라.

제곱근을 취하는 것보다 월리스 적분에서 얻을 수 있는 극한식으로 귀착되지만, 다른 관점으로 복소 함수로서의 삼각함수의 무한 곱 전개

:\frac{\pi z}{\sin \pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 -z^2}

로부터 자연스럽게 유도된다. 이 식에 ''z'' = 1/2을 대입하면

:\frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}

를 얻는다.

3. 스털링 근사와의 관계

스털링 근사에 따르면 팩토리얼 함수 n!은 다음과 같이 근사할 수 있다.

:n! = \sqrt {2\pi n} {\left(\frac{n}{e}\right)}^n \left[1 + O\left(\frac{1}{n}\right) \right].

월리스 곱의 유한 근사 p_k를 다음과 같이 정의한다.

:p_k = \prod_{n=1}^{k} \frac{2n}{2n - 1}\frac{2n}{2n + 1}.

이 식은 다음과 같이 변형할 수 있다.

:\begin{align}

p_k &= {1 \over {2k + 1}} \prod_{n=1}^{k} \frac{(2n)^4}{[(2n)(2n - 1)]^2} \\[6pt]

&= {1 \over {2k + 1}} \cdot .

\end{align}

위 식에 스털링 근사를 대입하여(k!와 (2k)! 모두) 극한값 k \rightarrow \infty을 계산하면 p_k가 \frac{\pi}{2}로 수렴함을 알 수 있다.

4. 리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수와 디리클레 에타 함수는 다음과 같이 정의된다.[1]

:\\begin{align}

\zeta(s) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}, \Re(s)>1 \\[6pt]

\eta(s) &= (1-2^{1-s})\zeta(s) \\[6pt]

&= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, \Re(s)>0

\end{align}

후자 수열에 오일러 변환을 적용하면 다음을 얻는다.

:\\begin{align}

\eta(s) &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left[\frac{1}{n^s}-\frac{1}{(n+1)^s}\right], \Re(s)>-1 \\[6pt]

\Rightarrow \eta'(s) &= (1-2^{1-s})\zeta'(s)+2^{1-s} (\ln 2) \zeta(s) \\[6pt]

&= -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left[\frac{\ln n}{n^s}-\frac{\ln (n+1)}{(n+1)^s}\right], \Re(s)>-1

\end{align}

:\\begin{align}

\Rightarrow \eta'(0) &= -\zeta'(0) - \ln 2 = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln (n+1)\right] \\[6pt]

&= -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\ln \frac{n}{n+1} \\[6pt]

&= -\frac{1}{2} \left(\ln \frac{1}{2} - \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} - \ln \frac{4}{5} + \ln \frac{5}{6} - \cdots\right) \\[6pt]

&= \frac{1}{2} \left(\ln \frac{2}{1} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{4}{3} + \ln \frac{4}{5} + \ln \frac{6}{5} + \cdots\right) \\[6pt]

&= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\cdots\right) = \frac{1}{2} \ln\frac{\pi}{2} \\

\Rightarrow \zeta'(0) &= -\frac{1}{2} \ln\left(2 \pi\right)

\end{align}

5. 원주율 계산

원주율에 수렴하는 무한곱으로, 근호를 포함하지 않아 계산하기 쉽지만, 수렴 속도가 매우 느려[4] 실용적이지 않다.

참조

[1] 웹사이트 Wallis Formula http://mathworld.wol[...]
[2] 웹사이트 Integrating Powers and Product of Sines and Cosines: Challenging Problems http://www.sosmath.c[...]
[3] 기타 Wolfram Mathworld: Wallis Formula http://mathworld.wol[...]
[4] 서적 ベックマン 2006
[5] 웹인용 Integrating Powers and Product of Sines and Cosines: Challenging Problems http://www.sosmath.c[...]


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