월리스 공식

1. 개요

월리스 공식은 원주율 π에 대한 무한곱으로, 다양한 방법으로 유도될 수 있다. 이 공식은 적분을 이용한 증명, 오일러의 무한곱, 복소해석, 라플라스 방법 등을 통해 증명될 수 있으며, 스털링 근사 및 리만 제타 함수와도 관련이 있다. 월리스 공식은 원주율 계산에 사용될 수 있지만, 수렴 속도가 느려 실용적인 방법은 아니다.

2. 증명

월리스 공식의 증명은 여러 방법으로 가능하다.

* 적분을 이용한 증명: 월리스가 직접 제시한 방법이다.
* 오일러의 무한곱을 이용한 증명: 사인 함수의 오일러 무한곱을 통해 유도할 수 있다.
* 라플라스 방법을 이용한 증명: 가우스 적분을 활용한다.

복소 함수에서의 삼각함수의 무한 곱 전개를 통해서도 유도 가능하다.

:$\backslash frac\{\backslash pi\; z\}\{\backslash sin\; \backslash pi\; z\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{n^2\}\{n^2\; -z^2\}$

위 식에 $z\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$을 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{4n^2\}\{4n^2-1\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(2n)^2\}\{(2n-1)(2n+1)\}$

2.1. 적분을 이용한 증명

정수 $n$에 대하여 다음과 같이 정의한다.

:$I(n)\; =\; \backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash sin^n\; x\backslash ,dx$

부분 적분을 이용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
I(n) &= \int_0^\pi \sin^n x\,dx \\[6pt]
{} &= -\sin^{n-1}x\cos x \Biggl|_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x)(n-1) \sin^{n-2}x \cos x\,dx \\[6pt]
{} &= 0 + (n-1) \int_0^\pi \cos^2x \sin^{n-2}x\,dx, \qquad n > 1 \\[6pt]
{} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x\,dx \\[6pt]
{} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x\,dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x\,dx \\[6pt]
{} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\[6pt]
{} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\[6pt]
\Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}
&= \frac{n-1}{n} \\[6pt]
\end{align}

$2n$과 $2n+1$에 대하여 다음 점화식이 성립한다.
:$I(2n)\; =\; \backslash frac\{2n-1\}\{2n\}I(2n-2)\; ,$
:$I(2n+1)\; =\; \backslash frac\{2n\}\{2n+1\}I(2n-1).$

$I(0)$과 $I(1)$은 다음과 같다.
:$\backslash begin\{align\}$
I(0) &= \int_0^\pi dx = x\Biggl|_0^\pi = \pi , \\
I(1) &= \int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x \Biggl|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 .
\end{align}

$I(2n)$에 대하여 점화식을 활용하면

:$I(2n)=\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash sin^\{2n\}x\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{2n-1\}\{2n\}I(2n-2)\; =\; \backslash frac\{2n-1\}\{2n\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2n-3\}\{2n-2\}I(2n-4)$
:$=\backslash frac\{2n-1\}\{2n\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2n-3\}\{2n-2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2n-5\}\{2n-4\}\; \backslash cdot\; \backslash cdots\; \backslash cdot\; \backslash frac\{5\}\{6\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{3\}\{4\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; I(0)=\backslash pi\; \backslash prod\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{2k-1\}\{2k\}$

$I(2n+1)$에 대하여 점화식을 활용하면

:$I(2n+1)=\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash sin^\{2n+1\}x\backslash ,dx=\backslash frac\{2n\}\{2n+1\}I(2n-1)=\backslash frac\{2n\}\{2n+1\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2n-2\}\{2n-1\}I(2n-3)$
:$=\backslash frac\{2n\}\{2n+1\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2n-2\}\{2n-1\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2n-4\}\{2n-3\}\; \backslash cdot\; \backslash cdots\; \backslash cdot\; \backslash frac\{6\}\{7\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; I(1)=2\; \backslash prod\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{2k\}\{2k+1\}$

을 얻는다.

$\backslash sin\{x\}\; \backslash leq\; 1$ 이므로,

:$\backslash sin^\{2n+1\}x\; \backslash le\; \backslash sin^\{2n\}x\; \backslash le\; \backslash sin^\{2n-1\}x,\; 0\; \backslash le\; x\; \backslash le\; \backslash pi$
:$\backslash Rightarrow\; I(2n+1)\; \backslash le\; I(2n)\; \backslash le\; I(2n-1)$

이고, 이것을 $I(2n+1)$으로 나누면

:$\backslash Rightarrow\; 1\; \backslash le\; \backslash frac\{I(2n)\}\{I(2n+1)\}\; \backslash le\; \backslash frac\{I(2n-1)\}\{I(2n+1)\}=\backslash frac\{2n+1\}\{2n\}$

을 얻는다. 샌드위치 정리를 활용하면

:$\backslash Rightarrow\; \backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\; \backslash frac\{I(2n)\}\{I(2n+1)\}=1$

:$\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\; \backslash frac\{I(2n)\}\{I(2n+1)\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\; \backslash prod\_\{k=1\}^n\; \backslash left(\backslash frac\{2k-1\}\{2k\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2k+1\}\{2k\}\backslash right)=1$

:$\backslash Rightarrow\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}=\backslash prod\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash left(\backslash frac\{2k\}\{2k-1\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2k\}\{2k+1\}\backslash right)=\backslash frac\{2\}\{1\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{6\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{6\}\{7\}\; \backslash cdot\; \backslash cdots$

을 얻는다.

월리스는 보간법을 사용하여 이 무한 곱을 유도했지만, 그의 방법은 엄밀한 것으로 여겨지지 않는다. 현대적인 유도는 $I(n)\; =\; \backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash sin^n\; x\backslash ,dx$를 짝수 및 홀수 값의 $n$에 대해 조사하고, 큰 $n$에 대해 $n$을 1씩 증가시키면 $n$이 증가함에 따라 점점 작아지는 변화가 발생한다는 점에 유의하여 찾을 수 있다.
이것은 월리스 적분의 한 형태이다.

복소 함수로서의 삼각함수의 무한 곱 전개
:$\backslash frac\{\backslash pi\; z\}\{\backslash sin\; \backslash pi\; z\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{n^2\}\{n^2\; -z^2\}$
로부터 자연스럽게 유도된다. 이 식에 z = 1/2을 대입하면
:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{4n^2\}\{4n^2-1\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(2n)^2\}\{(2n-1)(2n+1)\}$
를 얻는다.

2.2. 오일러의 무한곱을 이용한 증명

월리스 공식은 사인 함수의 오일러 무한곱의 따름정리이다.

:$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{n^2\backslash pi^2\}\backslash right)$

$x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$로 두면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\Rightarrow\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right) \\[6pt]
\Rightarrow\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\[6pt]
&= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots
\end{align}


이 공식은 복소 함수로서의 삼각함수의 무한 곱 전개로부터 유도될 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash pi\; z\}\{\backslash sin\; \backslash pi\; z\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{n^2\}\{n^2\; -z^2\}$

이 식에 z = 1/2을 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{4n^2\}\{4n^2-1\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(2n)^2\}\{(2n-1)(2n+1)\}$

2.3. 라플라스 방법을 이용한 증명

가우스 적분 문서를 참조하라.
제곱근을 취하는 것보다 월리스 적분에서 얻을 수 있는 극한식으로 귀착되지만, 다른 관점으로 복소 함수로서의 삼각함수의 무한 곱 전개
:$\backslash frac\{\backslash pi\; z\}\{\backslash sin\; \backslash pi\; z\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{n^2\}\{n^2\; -z^2\}$
로부터 자연스럽게 유도된다. 이 식에 z = 1/2을 대입하면
:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{4n^2\}\{4n^2-1\}\; =\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(2n)^2\}\{(2n-1)(2n+1)\}$
를 얻는다.

3. 스털링 근사와의 관계

스털링 근사에 따르면 팩토리얼 함수 $n!$은 다음과 같이 근사할 수 있다.
:$n!\; =\; \backslash sqrt\; \{2\backslash pi\; n\}\; \{\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)\}^n\; \backslash left[1\; +\; O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)\; \backslash right].$

월리스 곱의 유한 근사 $p\_k$를 다음과 같이 정의한다.
:$p\_k\; =\; \backslash prod\_\{n=1\}^\{k\}\; \backslash frac\{2n\}\{2n\; -\; 1\}\backslash frac\{2n\}\{2n\; +\; 1\}.$

이 식은 다음과 같이 변형할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
p_k &= {1 \over {2k + 1}} \prod_{n=1}^{k} \frac{(2n)^4}{[(2n)(2n - 1)]^2} \\[6pt]
&= {1 \over {2k + 1}} \cdot .
\end{align}

위 식에 스털링 근사를 대입하여($k!$와 $(2k)!$ 모두) 극한값 $k\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$을 계산하면 $p\_k$가 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$로 수렴함을 알 수 있다.

4. 리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수와 디리클레 에타 함수는 다음과 같이 정의된다.

:\$\backslash begin\{align\}$
\zeta(s) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}, \Re(s)>1 \\[6pt]
\eta(s) &= (1-2^{1-s})\zeta(s) \\[6pt]
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, \Re(s)>0
\end{align}

후자 수열에 오일러 변환을 적용하면 다음을 얻는다.

:\$\backslash begin\{align\}$

\eta(s) &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left[\frac{1}{n^s}-\frac{1}{(n+1)^s}\right], \Re(s)>-1 \\[6pt]
\Rightarrow \eta'(s) &= (1-2^{1-s})\zeta'(s)+2^{1-s} (\ln 2) \zeta(s) \\[6pt]
&= -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left[\frac{\ln n}{n^s}-\frac{\ln (n+1)}{(n+1)^s}\right], \Re(s)>-1
\end{align}

:\$\backslash begin\{align\}$
\Rightarrow \eta'(0) &= -\zeta'(0) - \ln 2 = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln (n+1)\right] \\[6pt]
&= -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\ln \frac{n}{n+1} \\[6pt]
&= -\frac{1}{2} \left(\ln \frac{1}{2} - \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} - \ln \frac{4}{5} + \ln \frac{5}{6} - \cdots\right) \\[6pt]
&= \frac{1}{2} \left(\ln \frac{2}{1} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{4}{3} + \ln \frac{4}{5} + \ln \frac{6}{5} + \cdots\right) \\[6pt]
&= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\cdots\right) = \frac{1}{2} \ln\frac{\pi}{2} \\
\Rightarrow \zeta'(0) &= -\frac{1}{2} \ln\left(2 \pi\right)
\end{align}

5. 원주율 계산

원주율에 수렴하는 무한곱으로, 근호를 포함하지 않아 계산하기 쉽지만, 수렴 속도가 매우 느려 실용적이지 않다.