샌드위치 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 내용
- 3.1. 수열의 극한
- 3.2. 함수의 극한
4. 증명
- 4.1. 함수의 극한에 대한 증명
- 4.2. 수열의 극한에 대한 증명
5. 유사한 명제
6. 예제
참조

1. 개요

샌드위치 정리는 함수의 극한값을 구하는 데 사용되는 수학적 정리이다. 이 정리는 두 함수 사이에 낀 함수의 극한값이 두 함수의 극한값과 같을 때, 낀 함수의 극한값도 같다는 것을 의미한다. 샌드위치 정리는 함수의 극한뿐만 아니라 수열의 극한에도 적용되며, 다변수 미적분학에서도 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

극한 - 수열의 극한
수열의 극한은 수열의 항들이 무한히 진행될 때 특정한 값에 한없이 가까워지는 개념으로, 해석학의 기초가 되며 실수 수열의 극한 외에도 발산이나 일반화된 형태를 포함한다.
극한 - 함수의 극한
함수의 극한은 변수가 특정 값에 가까워질 때 함수 값의 변화를 나타내는 미적분학의 기초 개념이며, 입실론-델타 논법으로 엄밀하게 정의되고 유한 값뿐만 아니라 무한대로의 접근도 포함한다.
미적분학 정리 - 연쇄 법칙
연쇄 법칙은 둘 이상의 미분 가능한 함수 합성의 미분법을 제공하며, z의 y에 대한 순간적인 변화율과 y의 x에 대한 순간적인 변화율을 곱하여 z의 x에 대한 순간적인 변화율을 계산하는 직관적인 아이디어를 바탕으로 실변수 함수, 다변수 함수 등 다양한 경우에 적용된다.
미적분학 정리 - 미적분학의 기본 정리
미적분학의 기본 정리는 미분과 적분 사이의 관계를 설명하는 미적분학의 핵심 정리로서, 제1 기본 정리와 제2 기본 정리로 구성되며, 17세기에 발전되어 르베그 적분 등으로 일반화된다.
실해석학 정리 - 미적분학의 기본 정리
미적분학의 기본 정리는 미분과 적분 사이의 관계를 설명하는 미적분학의 핵심 정리로서, 제1 기본 정리와 제2 기본 정리로 구성되며, 17세기에 발전되어 르베그 적분 등으로 일반화된다.
실해석학 정리 - 볼차노-바이어슈트라스 정리
볼차노-바이어슈트라스 정리는 유클리드 공간에서 유계인 수열이 수렴하는 부분 수열을 가진다는 정리로, 실해석학에서 중요하며 경제학의 균형 개념 증명에도 활용된다.

샌드위치 정리
정의
다른 이름	조임 정리 샌드위치 규칙 경찰 정리 사이 정리 쥐어짜기 보조정리 이탈리아에서는 '카라비니에리 정리'로도 알려져 있음
샌드위치 정리의 예시
설명
내용	미적분학에서 함수의 극한을 구할 때 사용되는 방법 어떤 함수의 극한값을 직접 구하기 어려울 때, 그 함수보다 크거나 같은 함수와 작거나 같은 함수를 이용하여 극한값을 구함
조건	세 함수 f(x), g(x), h(x)에 대해 다음이 성립해야 함: 모든 x에 대해 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) lim x→c g(x) = lim x→c h(x) = L
결론	lim x→c f(x) = L
활용	삼각함수의 극한 (사인 함수, 코사인 함수) 지수 함수와 로그 함수의 극한 수열의 극한
예시
예시 1	f(x) = x^2 * sin(1/x)의 x→0에서의 극한값을 구하는 경우 -x^2 ≤ x^2 * sin(1/x) ≤ x^2 이고, lim x→0 (-x^2) = lim x→0 x^2 = 0 이므로, lim x→0 f(x) = 0
예시 2	lim (x→0) x cos(x) = 0
같이 보기
관련 항목	함수의 극한 미적분학 로피탈 정리

2. 역사

샌드위치 정리의 기원은 아르키메데스와 에우독소스가 원주율을 기하학적으로 구하는 데 사용한 방법까지 거슬러 올라간다. 현대적인 형태의 샌드위치 정리는 가우스에 의해 정식화되었다.

이탈리아나 러시아에서는 "두 명의 경찰관 정리"로 알려져 있으며, 다음과 같은 비유와 함께 소개된다. ''죄수가 두 명의 경찰관에게 샌드위치처럼 끼여 있다면, 두 명의 경찰관이 방에 들어갈 때, 죄수도 필연적으로 그 방에 들어가게 된다.''

3. 내용

압착 정리는 다음과 같이 공식적으로 진술된다.^[1]

: $I$ 를 점 $a$ 를 포함하는 구간이라 하고, $g$ , $f$ , $h$ 를 $I$ 에서 정의된 함수라고 하자(단, $a$ 는 예외). $I$ 의 모든 $x$ ( $a$ 제외)에 대해 다음이 성립한다고 가정한다.

:: $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

::또한, 다음이 성립한다고 가정한다.

:: $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$

:그러면 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이 성립한다.

함수 $g$ 와 $h$ 는 각각 $f$ 의 하한과 상한이다.
$a$ 는 $I$ 의 내부에 있을 필요는 ''없으며'', $a$ 가 $I$ 의 끝점인 경우 위의 극한은 좌극한 또는 우극한이다.
무한 구간에도 유사한 진술이 적용된다. 예를 들어 $I = (0, \infty)$ 인 경우, 극한을 $x \to \infty$ 로 취하면 결론이 성립한다.

이 정리는 수열에도 유효하며, 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하라.

3. 1. 수열의 극한

세 수열

\{a_n\}

,

\{b_n\}

,

\{c_n\}

에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수

n

에 대해

a_n \leq b_n \leq c_n

이고

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L

(L은 상수)이면,

\lim_{n \to \infty} b_n = L

이다.^[1]

이 정리는 수열에도 유효하다.

(a_n)

,

(c_n)

을

ℓ

로 수렴하는 두 수열이라고 하고,

(b_n)

을 수열이라고 하자. 만약

\forall n\geq N, N\in\N

에서

a_n \leq b_n \leq c_n

를 만족하면,

(b_n)

또한

ℓ

로 수렴한다.

세 개의 실수열

\{a_n\}

,

\{b_n\}

,

\{c_n\}

에 대해, 항상

a_n \leq b_n \leq c_n

이고,

:

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=A

(''A''는 상수)라면,

:

\lim_{n\to\infty}b_n=A

가 성립한다.

처음 유한 개의 항은 극한값에 영향을 미치지 않으므로, 가정에서의 대소 관계는 항상 성립할 필요는 없고, 충분히 큰 ''n''에 대해 성립하면 충분하다.

3. 2. 함수의 극한

함수

f, g, h

에 대하여,

a

에 충분히 가까운 모든

x

에 대해

f(x) \leq h(x) \leq g(x)

이고

\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L

(L은 상수)이면,

\lim_{x \to a} h(x) = L

이다.^[1]

함수 $g$ 와 $h$ 는 $f$ 의 하한과 상한이다.
$a$ 는 구간의 내부에 있을 필요는 없으며, $a$ 가 구간의 끝점인 경우, 위의 극한은 좌극한 또는 우극한이다.
무한 구간에도 유사한 진술이 적용된다. 예를 들어, $I = (0, \infty)$ 인 경우, 극한을 $x \to \infty$ 으로 취하면 결론이 성립한다.

이 정리는 수열에도 유효하다.

(a_n), (c_n)

을

\ell

로 수렴하는 두 수열이라고 하고,

(b_n)

을 수열이라고 하자. 만약

\forall n\geq N, N\in\N

일때

a_n \leq b_n \leq c_n

를 갖는다면,

(b_n)

또한

\ell

로 수렴한다.

직접적으로 극한값을 구하기 어려운 경우에도, 극한값을 구하기 쉬운 두 함수 사이에 샌드위치처럼 묶인다면, 샌드위치 정리에 의해 간접적으로 극한값을 구할 수 있다. 이러한 방법은 아르키메데스가 원주율의 근사값을 계산할 때 사용했으며, 현대적인 형태는 가우스에 의해 정식화되었다.

샌드위치 정리와 유사한 주장은 실수열의 극한에 대해서도 성립한다. 일본의 대학 입시 업계에서는 이 주장을 샌드위치 정리라고 부르는 경우가 많다. 일본의 고등학교 교육에서는 직관에 의존하는 극한 개념만을 다루기 때문에 "증명 없이 사용해도 좋은 사실"로 되어 있지만, ε-δ 논법에 의해 극한을 정식화하면, 함수와 수열에 대해 개별적으로 증명이 가능하다. 영어에서는 squeeze theorem, pinching theorem, sandwich theorem 등으로 불린다.

이탈리아나 러시아에서는 "두 명의 경찰관 정리"로 알려져 있으며, 다음과 같은 비유와 함께 소개된다. ''죄수가 두 명의 경찰관에게 샌드위치처럼 끼여 있다면, 두 명의 경찰관이 방에 들어갈 때, 죄수도 필연적으로 그 방에 들어가게 된다.''

세 개의 실숫값 함수

f(x), g(x), h(x)

에 대해, 항상

f(x) \leq g(x) \leq h(x)

이고,

:

\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=A

(

A

는 상수)라면,

:

\lim_{x\to\infty}g(x)=A

가 성립한다.

대소 관계는

x

가 충분히 큰 부분에서만 성립하면 된다. 위는

x \to \infty

에서의 극한에 대한 주장이지만,

x \to -\infty

의 경우나, 어떤 실수

a

에 대한

x \to a

의 경우의 극한에 대해서도 동일한 주장이 성립한다.

x \to -\infty

의 경우에는

x

가 충분히 작은 부분에서,

x \to a

의 경우에는

a

에 가까운 부분(정확히는

a

를 포함하는 어떤 열린 구간)에서 대소 관계가 성립하면 된다.

4. 증명

하극한과 상극한을 취하면 다음과 같다.

: $L=\lim_{x \to a} g(x)\leq\liminf_{x\to a}f(x) \leq \limsup_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x \to a}h(x)=L,$

따라서 모든 부등식은 실제로 등식이며, 이로부터 바로 결론이 도출된다.

직접 증명은 모든 양의 실수 ε|엡실론^영어에 대해, $|x - a| < \delta$ 인 모든 x|엑스^영어에 대해 $|f(x) - L| < \varepsilon$ 를 만족하는 양의 실수 δ|델타^영어가 존재함을 보이는 것이다. 기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, (|x - a | < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L |< \varepsilon).$

이에 대한 자세한 증명은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

4. 1. 함수의 극한에 대한 증명

모든 양의 실수

\epsilon

에 대하여

:

0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon\Rightarrow L-\epsilon

:

0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow|g(x)-L|<\epsilon\Rightarrow g(x)

를 만족하는 양의 실수

\delta_1,~\delta_2

가 존재한다.^[5]

또한 전제조건에 의해

:

0<|x-a|<\delta_0\Rightarrow f(x)\le h(x)\le g(x)

를 만족하는 양의 실수

\delta_0

이 존재한다.

\delta

를

\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2)

로 잡으면,

:

\begin{array}{rcl}0<|x-a|<\delta & \Rightarrow & 0<|x-a|<\delta_i,\ i=0,1,2 \\& \Rightarrow & L-\epsilon

이다.

정리하면 모든 양의 실수

\epsilon

에 대하여

0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| h(x)-L\right| <\epsilon

를 만족하는 양의 실수

\delta

가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여

\lim_{x\to a}h(x)=L

이다.

4. 2. 수열의 극한에 대한 증명

위의 가설에 따르면, 하극한과 상극한을 취하면 다음과 같다.

:

L=\lim_{x \to a} g(x)\leq\liminf_{x\to a}f(x) \leq \limsup_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x \to a}h(x)=L,

따라서 모든 부등식은 실제로 등식이며, 이로부터 바로 결론이 도출된다.

직접 증명은 epsilon-delta definition|엡실론-델타 정의^영어를 사용하여, 모든 실수 ε|엡실론^영어 > 0에 대해

|x - a| < \delta

인 모든 x에 대해

|f(x) - L| < \varepsilon

를 만족하는 실수 δ|델타^영어 > 0가 존재함을 증명하는 것이다. 기호로 나타내면,

:

\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, (|x - a | < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L |< \varepsilon).

다음과 같으므로

:

\lim_{x \to a} g(x) = L

다음이 성립한다.

:

\forall \varepsilon > 0, \exists \ \delta_1 > 0 : \forall x\ (|x - a| < \delta_1 \ \Rightarrow \ |g(x) - L |< \varepsilon).

그리고

:

\lim_{x \to a} h(x) = L

다음이 성립한다.

:

\forall \varepsilon > 0, \exists \ \delta_2 > 0 : \forall x\ (|x - a | < \delta_2\ \Rightarrow \ |h(x) - L |< \varepsilon),

그렇다면 다음이 성립한다.

:

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

:

g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L

\delta:=\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\}

를 선택할 수 있다. 그러면

|x - a| < \delta

인 경우, 위 식들을 결합하면 다음을 얻는다.

:

- \varepsilon < g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\ < \varepsilon,

:

- \varepsilon < f(x) - L < \varepsilon ,

이것으로 증명이 완료된다. Q.E.D

수열에 대한 증명은 수열의 극한에 대한

\varepsilon

-정의를 사용하여 매우 유사하게 할 수 있다.

5. 유사한 명제

가두기 정리는 극한이 유한한 값을 가질 때 성립했지만, 극한이 +∞ 또는 -∞인 경우에도 비슷한 명제가 성립한다. 예를 들어, 수열에 관해서는 다음 명제들이 성립한다.

충분히 큰 ''n''에 대해 ''a''|a^영어 ≤ ''b''|b^영어이고, ''a''이 +∞로 발산하면, ''b''도 +∞로 발산한다.
충분히 큰 ''n''에 대해 ''a}} ≤ ''b}}이고, ''b}}이 -∞로 발산하면, ''a}}도 -∞로 발산한다.

이러한 사실은 수학적으로 특히 중요하지 않지만, 일본의 대학 입시 업계에서는 '''밀어내기 원리'''라는 이름으로 소개되는 경우가 있다^[4]. 일반적인 해석학의 틀 내에서는 가두기 정리와 밀어내기 원리는 별도로 증명해야 하며, 둘 사이에 수학적인 의존 관계는 없다.

6. 예제

샌드위치 정리를 사용하여 극한을 구하는 예시들은 다음과 같다.

$\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x$ 은 샌드위치 정리에 의해 0이다.
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 이다.^[2]
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)=\frac12$ 이다.
$\lim_{p\to\infty}\left(\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{\frac1p}=\max_{1\le i\le n}a_i$ 이다.
다변수 함수의 경우, $\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} = 0$ 이다.^[3]

이 외에도 조임 정리는

:

\begin{align}& \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0.\end{align}

와 같은 극한을 증명하는데 사용될 수 있다.

또한, 조임정리를 통하여

:

\frac{d}{d\theta} \tan\theta = \sec^2\theta

임을 보일 수 있다.

오른쪽 그림에서 원의 두 음영 영역 중 작은 영역의 면적은

:

\frac{\sec^2\theta\,\Delta\theta}{2},

반지름이 이고 단위 원의 호의 길이가 이기 때문이다. 마찬가지로 두 음영 영역 중 큰 영역의 면적은

:

\frac{\sec^2(\theta + \Delta\theta)\,\Delta\theta}{2}.

그 사이에 조여진 것은 밑변이 두 점을 끝점으로 하는 수직선인 삼각형이다. 삼각형 밑변의 길이는 이고 높이는 1이다. 따라서 삼각형의 면적은

:

\frac{\tan(\theta + \Delta\theta) - \tan\theta}{2}.

다음 부등식으로부터

:

\frac{\sec^2\theta\,\Delta\theta}{2} \le \frac{\tan(\theta + \Delta\theta) - \tan\theta}{2} \le \frac{\sec^2(\theta + \Delta\theta)\,\Delta\theta}{2}

다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

:

\sec^2\theta \le \frac{\tan(\theta + \Delta\theta) - \tan\theta}{\Delta\theta} \le \sec^2(\theta + \Delta\theta),

일 경우, 이면 부등호의 방향이 바뀐다. 첫 번째와 세 번째 식이 일 때 에 접근하고 중간 식이

\tfrac{d}{d\theta} \tan\theta,

에 접근하므로 원하는 결과가 도출된다.

6. 1. 예제 1

\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x

은 샌드위치 정리에 의해 0이다. 이는 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

:

-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2

더 나아가, 임의의 무한소(0을 극한으로 하는 함수)와 유계 함수의 곱은 여전히 무한소이다.

$x^2 \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)$ 가 x가 0으로 갈 때의 극한에서 샌드위치 정리로 좁혀지는 모습

\lim_{x \to 0}x^2 \sin\left( \tfrac{1}{x} \right)

은 극한 법칙

\lim_{x \to a}(f(x) \cdot g(x)) =\lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x),

을 통해 결정될 수 없다. 왜냐하면

\lim_{x\to 0}\sin\left( \tfrac{1}{x} \right)

이 존재하지 않기 때문이다.

하지만, 사인 함수의 정의에 의해,

-1 \le \sin\left( \tfrac{1}{x} \right) \le 1.

따라서

-x^2 \le x^2 \sin\left( \tfrac{1}{x} \right) \le x^2

\lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0

이므로, 샌드위치 정리에 의해,

\lim_{x\to 0} x^2 \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)

역시 0이어야 한다.

6. 2. 예제 2

:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

이는 임의의

x\in(-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2})

에 대해 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

:

\cos x<\frac{\sin x}{x}<1

\begin{array}{cccccc}& A(\triangle ADB) & \leq & A(\text{sector } ADB) & \leq & A(\triangle ADF) \\[4pt]\Rightarrow & \frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot 1 & \leq & \frac{x}{2\pi} \cdot \pi & \leq & \frac{1}{2} \cdot \tan x \cdot 1 \\[4pt]\Rightarrow & \sin x & \leq & x & \leq & \frac{\sin x}{\cos x} \\[4pt]\Rightarrow & \frac{\cos x}{\sin x} & \leq & \frac{1}{x} & \leq & \frac{1}{\sin x} \\[4pt]\Rightarrow & \cos x & \leq & \frac{\sin x}{x} & \leq & 1\end{array}

]]

따라서 샌드위치 정리에 의해 다음이 성립한다.^[2]

:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

6. 3. 예제 3

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)=\frac12

이는 다음과 같은 분석을 통해 얻어진다.

\begin{array}{cl}& \frac12 \\= & \frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\frac{3}{n^2+n}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1} \\= & \frac{n^2+n}{2n^2+2}\end{array}

양끝의 수열이 모두

\frac12

로 수렴하므로 사이에 끼인 수열도 같은 값으로 수렴한다.

6. 4. 예제 4

:

\left(\max_{1\le i\le n}a_i\right)^p \le a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p \le n\left(\max_{1\le i\le n}a_i\right)^p

이므로

:

\left(\frac1n\right)^{\frac1p}\max_{1\le i\le n}a_i \le \left(\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{\frac1p} \le \max_{1\le i\le n}a_i

또한 극한

:

\lim_{p\to\infty}\left(\frac1n\right)^{\frac1p}

의 값이 1임에 따라 부등식 양옆의 함수의 극한은 모두

\max_{1\le i\le n}a_i

이다. 따라서 다음의 극한이 있다. (멱평균 참고)

:

\lim_{p\to\infty}\left(\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{\frac1p}=\max_{1\le i\le n}a_i

6. 5. 예제 5 (다변수)

조임 정리는 다변수 미적분학에서도 여전히 사용될 수 있다. 하한 함수(및 상한 함수)는 경로를 따라뿐만 아니라 관심 지점의 전체 주변 지역에서 대상 함수 아래(및 위)에 있어야 하며, 함수가 실제로 그 지점에서 극한을 가질 때만 작동한다. 따라서, 함수가 한 점에서 극한을 갖는다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있지만, 함수가 한 점에서 극한을 갖지 않는다는 것을 증명하는 데는 결코 사용될 수 없다.^[3]

:

\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}

는 그 점을 지나는 어떤 수의 경로를 따라 극한을 취함으로써 찾을 수 없지만,

:

\begin{array}{rccccc}& 0 & \leq & \displaystyle \frac{x^2}{x^2+y^2} & \leq & 1 \\[4pt]

|y| \leq y \leq |y| \implies & -|y| & \leq & \displaystyle \frac{x^2 y}{x^2+y^2} & \leq & |y| \\[4pt]

{{\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0, 0)} -|y| = 0} \atop{\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0, 0)} \ \ \ |y| = 0}} \implies & 0 & \leq & \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} & \leq & 0\end{array}

따라서 조임 정리에 의해,

:

\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} = 0.

참조

_[1] 서적 Basic Real Analysis https://books.google[...] Birkhäuser 2003
_[2] 서적 Vorstufe zur höheren Mathematik Springer 2013
_[3] 서적 Multivariable Calculus 2008
_[4] 서적 大学への数学 III&C 研文書院 2005
_[5] 서적 Calculus(Metric International Version, 6th Edition) Brooks/Cole, Cengage Learning 2009

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com