근호

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1. 개요

근호는 제곱근을 나타내는 기호로, 무리수를 표현하는 데 사용되며, 역사는 고대 피타고라스 시대까지 거슬러 올라간다. 아랍 수학자, 인도 수학자 등을 거쳐 1525년 크리스토프 루돌프에 의해 현대적인 근호 √의 원형이 사용되었고, 1637년 데카르트가 괄선을 추가하여 현재의 기호 $\sqrt{\quad}$ 가 완성되었다. 근호는 제곱근, 세제곱근, 네제곱근 등 다양한 형태로 존재하며, 컴퓨터에서는 유니코드 및 HTML 코드로 표현된다. 또한, 수학 수식에서 곱셈 기호 생략, 거듭제곱 표현, 중첩 사용 등 다양한 방식으로 활용된다.

근호

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1. 개요
2. 역사
3. 루트 기호와 관련된 기호들
- 3.1. 기본 기호
- 3.2. 주 제곱근
4. 컴퓨터에서의 표현
5. 활용 예시

2. 역사

제곱근 기호(√)의 역사는 여러 문명권에서 다양한 방식으로 발전해 왔다. 현대적인 근호 √의 기원에 대해서는 여러 가지 설이 있다. 아랍 문자 ﺟ^아랍어에서 비롯되었다는 설과 소문자 r에서 비롯되었다는 설 등이 있다. 레온하르트 오일러는 이 기호가 라틴어 단어 "radix" ("근"을 의미)의 첫 글자인 "r"에서 유래했다고 믿었다.

현대적인 근호 √가 가장 먼저 쓰인 책은 크리스토프 루돌프의 독일어 대수학 교과서인 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)인데, 그 당시에는 괄선(vinculum)이 없이 쓰였다.

2.1. 고대 및 중세 시대

제곱근의 개념은 기원전 피타고라스 시대부터 존재했지만, 그 당시에는 단순한 무리수였으며 기호는 사용되지 않았다.

황금 시대 아랍 수학자들은 제곱근을 뜻하는 ‘자드르(جذر^아랍어)’의 첫 글자 짐(ﺟ^아랍어)을 제곱근 기호로 썼는데, 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는 ابن الياسمين^아랍어(?~1204)의 저작이 있다. 한편, 인도 수학자 브라마굽타는 무리수를 나타내는 "carani"의 머리글자 c를 사용했다.

2.2. 유럽의 발전

유럽에서는 레기오몬타누스(1436~1476)가 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다. 13세기에는 라틴어 radix^라틴어(영어의 root^영어에 해당)를 사용하거나, 이탈리아에서는 radix를 줄인 기호로 대문자 R과 소문자 x를 조합한 기호를 사용했다. 영국에서는 latus(정사각형의 한 변, 영어의 side에 해당)의 머리글자 l을 사용했다. 1525년 독일 수학자 크리스토프 루돌프는 자신의 저서 "Coss"에서 현대적인 근호 √의 원형을 처음 사용했다. 이 기호는 radix의 머리글자 r을 변형한 것으로 알려져 있지만, 여러 설이 존재한다. 1637년 르네 데카르트는 괄선을 추가하여 현재 사용되는 근호 기호 $\sqrt{\quad}$ 를 만들었다.

2.3. n제곱근의 표현

제곱근 이외의 n제곱근에 대해서는 한동안 형식이 정해지지 않아, 아이작 뉴턴은 $\surd^3$ 으로 세제곱근을 나타낸 반면, 데카르트는 cube의 머리글자 c를 사용하여 세제곱근을 $\sqrt{c.a}$ (a는 어떤 수)로 나타냈다.

이러한 표현 방식의 차이는 17세기부터 18세기 경에 현재의 표현 방식으로 통일되어 갔다.

3. 루트 기호와 관련된 기호들

황금 시대 아랍 수학자들은 제곱근을 뜻하는 ‘자드르(جذر^아랍어)’의 첫 글자 짐(ﺟ^아랍어)을 제곱근 기호로 썼는데, 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는 이븐 알야사민(?~1204)의 저작이 있다. 한편 유럽에서는 레기오몬타누스(1436~1476)가 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다.

현대적인 근호 √의 기원에는 아랍 문자 ﺟ^아랍어에서 비롯된 것이라는 설과 소문자 r에서 비롯된 것이라는 설 등 여러 설이 있다. 현대적인 근호 √가 가장 먼저 쓰인 책은 크리스토프 루돌프의 독일어 대수학 교과서 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)인데, 그 당시에는 괄선이 없이 쓰였다. 이후 1637년 르네 데카르트가 괄선이 합쳐진 지금의 기호 $\sqrt{\quad}$ 를 쓰기 시작했다.

3.1. 기본 기호

라틴어 radix의 첫 글자인 소문자 r은 제곱근 기호의 초기 형태 중 하나이다. 레온하르트 오일러는 이 기호가 "radix"에서 유래했다고 믿었다.

$\overline{\quad}$ (괄선)은 근호 안에 있는 수나 식의 범위를 나타내는 가로선이다.

크리스토프 루돌프가 1525년에 처음 사용한 √ (괄선이 없는 근호)는 괄선이 없었다.

1637년 르네 데카르트는 괄선을 추가하여 현재 사용되는 $\sqrt{\quad}$ (괄선이 있는 근호)를 만들었다.

3.2. 주 제곱근

각 양의 실수에는 양수와 음수 두 개의 제곱근이 있다. 제곱근 기호는 양의 제곱근인 주 제곱근을 나타낸다. 음수의 두 제곱근은 모두 허수이며, 제곱근 기호는 양의 허수부를 가진 주 제곱근을 나타낸다. 다른 복소수의 주 제곱근 정의는 복소수의 주 제곱근을 참조하라.

4. 컴퓨터에서의 표현

일반 텍스트로 나타낼 때는 √ 뒤에 숫자 등을 덧붙이거나, 단순히 1/2 제곱으로 나타낸다. 연산의 우선 순위가 명확하지 않으면 괄호를 사용한다.

:√x
:x ^ (1/2)
:√(x + b)

HTML 등에서는 숫자 위에 오버라인을 붙이기도 하는데, 환경에 따라서는 근호와 깔끔하게 연결되지 않을 수 있다.

:√x

4.1. 유니코드 및 HTML

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좌우로 밀어서 보기

읽기	문자	유니코드	XML	URL	HTML
제곱근	√	U+221A	`√` 또는 `√`	`%E2%88%9A`	`√` 또는 `&Sqrt;`
세제곱근	∛	U+221B	`∛` 또는 `∛`	`%E2%88%9B`
네제곱근	∜	U+221C	`∜` 또는 `∜`	`%E2%88%9C`

그러나 이 문자들은 제곱근 함수의 인수를 둘러싸는 근호 기호에 연결된 윗줄을 생략하여 대부분의 수학적 조판과 모양이 다르다. OpenType 수학 테이블을 사용하면 이 윗줄을 근호 기호 다음에 추가할 수 있다.

4.2. 레거시 인코딩

제곱근 문자 U+221A의 레거시 인코딩은 다음과 같다.

* Mac OS Roman 및 Mac OS Cyrillic의 0xC3
* DOS 및 Windows 콘솔에서 Code page 437 및 Code page 866의 0xFB (+) (그러나 Code page 850에서는 아님)
* Symbol 글꼴 인코딩의 0xD6
* 일본 JIS X 0208의 02-69 (7비트 0x2265, SJIS 0x81E3, EUC 0xA2E5)
* 한국 완성형 코드의 01-78 (EUC/UHC 0xA1EE)
* 중국 본토 GB 2312 또는 GBK의 01-44 (EUC 0xA1CC)
* 중국어 번체: Big5의 0xA1D4 또는 CNS 11643의 1-2235 (kuten 01-02-21, EUC 0xA2B5 또는 0x8EA1A2B5)

Symbol 글꼴은 윗줄 없이 문자를 표시한다. 윗줄은 0x60에서 별도의 문자가 될 수 있다. JIS, 완성형 및 CNS 11643 코드 차트에는 근호 기호에 부착된 짧은 윗줄이 포함되어 있으며, GB 2312 및 GB 18030 차트에는 포함되어 있지 않다.

4.3. LaTeX

LaTeX에서 제곱근 기호는 `\sqrt` 매크로로 생성할 수 있으며, 윗줄이 없는 제곱근 기호는 `\surd` 매크로로 생성할 수 있다.

4.4. 일반 텍스트 표현

5. 활용 예시

√^영어 기호는 곱셈과 나눗셈에서 생략될 수 있으며, 나눗셈은 분수로 표현된다. 기호의 가로선 아래에는 제곱근을 구하는 수식을 쓰며, 수식이 길어지면 가로선을 늘린다.

연산의 우선순위는 가로선으로 표시되지만, 수식이 계속될 경우 판별이 어려워 괄호나 곱셈 기호를 사용하기도 한다. 0 또는 양의 실수의 제곱근은 $\frac{1}{2}$ 제곱이며, 근호 대신 거듭제곱으로 나타낼 수 있다.

근호는 여러 번 중첩될 수 있으며, 이러한 중첩된 식은 대부분 다중 근호가 된다.

가환환의 이데알 $\mathfrak{a}$ 의 근기는 특정 조건을 만족하는 원소들의 집합으로 정의된다. 비가환환의 경우, $\mathfrak{a}$ 의 근기는 다른 방식으로 정의된다.

5.1. 제곱근

곱셈과 나눗셈 기호는 생략하며, 나눗셈의 경우 분수로 나타낸다.

: $3\times\sqrt{2} \rightarrow3\sqrt{2} , \quad \sqrt{2} \div3\rightarrow\frac{\sqrt{2}}{3}$

√^영어 기호의 가로선 아래에 제곱근을 구하는 수식을 쓴다. 수식이 긴 경우에는 필요한 만큼 가로선을 늘린다.

: $\sqrt{2\,},\quad \sqrt{x\,},\quad \sqrt{x + y + z + w + \dotsb \;}$

연산의 우선순위는 가로선에 의해 표시되지만, 그 후에도 수식이 계속될 때는 인쇄의 편의상 판별하기 어려운 경우가 있으므로, 전체를 괄호로 묶거나, 곱셈 기호를 쓰기도 한다.

: $\sqrt{x}\,y = \bigl( \sqrt{x} \bigr) y = \sqrt{x} \cdot y \ne \sqrt {xy}$

0 또는 양의 실수의 제곱근(중 근호로 표시되는 쪽)은 $\frac{1}{2}$ 제곱이며, 근호 대신 거듭제곱으로 나타내기도 한다.

: $\sqrt x = x ^{\frac{1}{2}}$

5.2. 다중 근호

근호는 필요한 만큼 중첩할 수 있다. 이와 같이 중첩된 식은 근호 안에 무리식을 포함하는 패턴인 경우가 대부분이므로 기본적으로 다중 근호가 된다.

: $\quad \sqrt{ x + \sqrt{ x + \sqrt{ x + \sqrt{ x + \dotsb\ }\;}\;}\,}$

5.3. 이데알의 근기

가환환의 이데알 $\mathfrak{a}$ 의 근기는 다음과 같이 정의된다.

: $\sqrt{\mathfrak{a}} := \bigl\{x \mathrel{\big|} x^n \in \mathfrak{a}\text{ for some integer }n > 0 \bigr\}.$

비가환환의 경우, $\mathfrak{a}$ 의 근기는 다음과 같이 정의된다.

: $\sqrt{\mathfrak{a}} := \bigl\{ a \mathrel{\big|} \text{if }S\text{ is an }m\text{-system, and }a\in S\text{ then }S\cap \mathfrak{a} \ne \empty\bigr\}.$