웨이블릿 변환

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1. 개요
2. 웨이블릿 변환의 정의 및 기본 원리
3. 웨이블릿 변환의 역사
4. 웨이블릿 변환의 종류
5. 웨이블릿 변환의 응용
6. 한국에서의 웨이블릿 변환 연구 및 활용
7. 결론 및 향후 전망
참조

1. 개요

웨이블릿 변환은 '작은 파동'인 웨이블릿 함수를 사용하여 신호를 분석하는 방법이다. 1807년 푸리에 해석을 기반으로 하며, 1982년 Morlet에 의해 실용화되었다. 시간-주파수 분석에 효과적이며, 연속 웨이블릿 변환(CWT)과 이산 웨이블릿 변환(DWT) 등의 종류가 있다. 신호 처리, 이미지 처리, 데이터 압축 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 JPEG 2000 이미지 압축, 결함 감지, 초광대역 무선 통신 등에 활용된다.

2. 웨이블릿 변환의 정의 및 기본 원리

웨이블릿 변환은 '작은 파동'을 의미하는 웨이블릿 함수를 이용하여 신호를 분석하는 방법이다. 국부적으로 존재하는 하나의 작은 파(wavelet)를 패턴으로 하여 이것을 이동시키거나 확대, 축소하여 임의의 파형으로 표현한다.

웨이블릿 변환 이론은 1807년 조제프 푸리에가 제안한 푸리에 해석에서 시작되었다. 푸리에 해석은 하나의 신호를 사인파와 코사인파로 분해하여 표현하는 방법이다. 1909년 알프레드 하르는 처음으로 웨이블릿을 수학적으로 언급하였는데, 하르 웨이블릿은 유한한 구간 밖에서는 완전히 사라지는 특성을 가졌지만, 연속 미분이 불가능하여 응용에 제한이 있었다. 이후 수학자들은 주파수 해석에서 스케일 해석으로 관심을 옮겨갔다. 스케일 해석은 서로 다른 스케일에서 신호의 평균 변화를 측정하므로 노이즈에 덜 민감하다.

웨이블릿의 응용 범위는 매우 넓다. 신호의 특정 부분의 주파수를 조사하거나, 노이즈를 제거하고, 신호와 노이즈의 경계를 찾을 수 있다. 또한 시계열 해석, 신호 압축, 제어 시스템의 고장 해석 등에도 활용된다.

1982년 프랑스의 석유 탐사 기사 장 모를레는 웨이블릿 변환을 실제로 응용하여 그 실용성을 입증하였다. 그는 이론물리학자인 알렉스 그로스만(Alex Grossmann)과 협력하여 양자역학의 관점에서 웨이블릿 변환을 정의하였다. 웨이블릿 변환은 가변적인 웨이블릿 모함수를 사용하는데, 낮은 주파수 정보 분석에는 긴 시간 간격을, 높은 주파수 정보 분석에는 짧은 시간 간격을 사용한다. 이러한 특징 덕분에 웨이블릿 변환은 시간-주파수 해석이 가능하다.

푸리에 변환은 시간 정보를 가지고 있지 않아 시간-주파수 해석에 이용할 수 없다. 이를 보완하기 위해 단시간 푸리에 변환(STFT)이 개발되었지만, STFT는 기저의 상사성이 없어 특이점에 대한 감도가 떨어진다. 웨이블릿 변환은 기저의 상사성을 유지하면서 시간-주파수 분석을 수행하는 방법이다.

웨이블릿 변환은 고주파수 영역에서는 시간 분해능이 높고, 저주파수 영역에서는 주파수 분해능이 높다. 이는 급격한 변화는 시간 정보가 중요하고, 완만한 변화는 주파수 정보가 중요하다는 점을 고려한 것이다.

기본적으로 작은 파동(웨이블릿)을 확대, 축소, 평행 이동하여 더함으로써 주어진 입력 파형을 표현한다.

변환	표현	입력
푸리에 변환	$\hat X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2 \pi f t}\, dt$	$f$ : 주파수
시간-주파수 분석	$X(t, f)$	$t$ 시간; $f$ 주파수
웨이블릿 변환	$X(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\Psi\left(\frac{t - b}{a}\right)} x(t)\, dt$	$a$ 스케일링; $b$ 시간 이동 인자

웨이블릿은 특정 주파수를 검사할 때 계산량을 줄이는 면에서 푸리에 변환보다 약간의 이점이 있다. 그러나 감도가 더 높은 경우는 드물며, 실제로 일반적인 모를레 웨이블릿은 가우시안 창 함수를 사용하는 단시간 푸리에 변환과 수학적으로 동일하다.^[14] 알려진 비정현파 모양(예: 심장 박동)의 신호를 검색하는 경우를 제외하고는 일치하는 웨이블릿을 사용하면 표준 STFT/모를레 분석보다 성능이 뛰어날 수 있다.^[15]

2. 1. 웨이블릿 함수의 정의

함수

\psi \,\in\, L^2(\mathbb{R})

가 힐베르트 기저, 즉

L^2\left(\mathbb{R}\right)

제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간에 대한 완전 정규 직교 시스템을 정의하는 데 사용될 수 있다면, 이를 '''정규 직교 웨이블릿'''이라고 한다.

힐베르트 기저는

\psi\,

의 이진 이동 및 팽창을 통해 함수족

\{\psi_{jk}:\, j,\, k \,\in\, \Z\}

로 구성된다.

:

\psi_{jk}(x) = 2^\frac{j}{2} \psi\left(2^jx - k\right)\,

여기서

j,\, k \,\in\, \mathbb{Z}

는 정수이다.

L^2\left(\mathbb{R}\right)

의 표준 내적 아래에서,

:

\langle f, g\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}dx

이 함수족이 정규 직교이면, 정규 직교 시스템이다.

:

\begin{align}\langle\psi_{jk},\psi_{lm}\rangle &= \int_{-\infty}^\infty \psi_{jk}(x)\overline{\psi_{lm}(x)}dx \\&=\delta_{jl}\delta_{km}\end{align}

여기서

\delta_{jl}\,

은 크로네커 델타이다.

모든 함수

f \,\in\, L^2\left(\mathbb{R}\right)

가 기저에서 다음과 같이 전개될 수 있다면 완전성이 만족된다.

:

f(x) = \sum_{j, k=-\infty}^\infty c_{jk} \psi_{jk}(x)

이때 급수의 수렴은 노름에서의 수렴으로 이해된다. 이러한 ''f''의 표현을 '''웨이블릿 급수'''라고 한다. 이는 정규 직교 웨이블릿이 자기 쌍대임을 의미한다.

웨이블릿은 다음 허용 조건을 만족한다. 즉,

\hat{\psi}

를

\psi

의 푸리에 변환으로 정의하면,

:

C_{\psi}=2\pi\int d\xi\left| \xi\right|^{-1}\left| \hat{\psi}(\xi)\right|^{2}<\infty

만약

\psi\in L^{1}(\mathbf{R})

이라면, 그 푸리에 변환

\hat{\psi}

는 연속이며, 위의 허용 조건은

\hat{\psi}(0)=0

즉

\int dx\,\psi (x)=0

일 때에만 만족된다.^[1]

이 허용 조건을 만족하는 웨이블릿에 대해 웨이블릿 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

(T^\text{wav} f)(a, b) :=\int dx \left| a\right|^{-1/2}f(x) \overline{\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)}

여기서,

a

는 스케일(scale),

b

는 이동(translation)을 나타낸다.

\psi(x)

를 마더 웨이블릿(mother wavelet)이라고 한다.^[2]

원래 함수는 다음 식으로 얻을 수 있다.

:

f(x)=C_{\psi}^{-1}\int_{-\infty}^{\infty} da \int_{-\infty}^{\infty} db ~ a^{-2}(T^\text{wav}f)(a,b)\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)

예를 들어 웨이블릿에는 Mexican hat wavelet^영어

\psi(t)=(1-t^{2})\exp(-t^2/2)

나,^[3] 변형 가우시안

\psi(x)=\pi^{-1/4}(e^{-ix\pi(2/\ln2)^{1/2}}-e^{-ix\pi^{2}(2/\ln2)})e^{-x^{2}/2}

등이 있다.^[4]

2. 2. 연속 웨이블릿 변환 (Continuous Wavelet Transform, CWT)

연속 웨이블릿 변환(Continuous Wavelet Transform, CWT)은 웨이블릿 함수를 연속적으로 이동 및 확대/축소하여 신호와 내적(inner product)을 계산하는 방식으로, 시간-주파수 평면 상에서 신호의 특성을 나타낸다. 연속 웨이블릿 변환은 이산 웨이블릿 변환보다 정밀한 해석이 가능하다는 특징이 있지만, 역변환을 가지지 않는다.

허용 조건을 만족하는 웨이블릿에 대한 웨이블릿 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

(T^\text{wav} f)(a, b) :=\int dx \left| a\right|^{-1/2}f(x) \overline{\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)}

여기서

a

는 스케일(scale),

b

는 이동(translation)을 나타내며,

\psi(x)

는 마더 웨이블릿이라고 한다.

원래 함수는 다음 식으로 얻을 수 있다.

:

f(x)=C_{\psi}^{-1}\int_{-\infty}^{\infty} da \int_{-\infty}^{\infty} db ~ a^{-2}(T^\text{wav}f)(a,b)\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)

연속 웨이블릿 변환은 고속 푸리에 변환(FFT)을 사용하여 계산할 수 있다. 수치 계산으로 연속 웨이블릿 변환을 구하는 경우, 스케일 파라미터

a

를 변화시키면서, 마더 웨이블릿

\psi(x)

와 신호

f(x)

의 푸리에 변환을 계산하고, 컨볼루션을 계산한 후, 역 푸리에 변환을 통해 시간 영역으로 되돌려 구할 수 있다.

2. 3. 이산 웨이블릿 변환 (Discrete Wavelet Transform, DWT)

이산 웨이블릿 변환(Discrete Wavelet Transform, DWT)은 연속 웨이블릿 변환을 이산적인 신호에 적용할 수 있도록 변형한 것이다. 연속 웨이블릿 변환에서는 웨이블릿 함수를 연속적으로 이동시키고 크기를 조절하여 신호와 내적을 계산하지만, 이산 웨이블릿 변환에서는 웨이블릿 함수를 이산적인 간격으로 이동 및 확대/축소하여 신호와 내적을 계산한다.

이산 웨이블릿 변환은 원 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하고, 분해된 저주파 성분을 다시 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하는 과정을 반복한다. 이러한 방식은 다중 해상도 해석(multiresolution analysis)이라고도 불린다.

이산 웨이블릿 변환은 가역 변환이므로, 변환 자체에는 압축 효과가 없다. 하지만 변환된 신호의 특성을 활용하여 효율적으로 데이터를 압축할 수 있다. 예를 들어, 이미지 압축 표준인 JPEG 2000에서는 이산 웨이블릿 변환을 사용하여 이미지를 압축한다.

연속 웨이블릿 변환에서 사용된 웨이블릿 함수

\psi(x)

를 이산화하면 다음과 같은 형태가 된다.

:

\psi_{m,n}(x)=a_{0}^{-m/2}\psi(a_{0}^{-m}x-nb_{0})

여기서

a_{0}>1, b_{0}>0, m\in\mathbf{Z}, n\in\mathbf{Z}

이며,

a_{0}

와

b_{0}

의 값은 웨이블릿 함수에 따라 적절하게 선택한다.

이산 웨이블릿 변환은 푸리에 변환에 비해 계산량이 적다는 장점이 있다. 예를 들어, 하르 웨이블릿을 사용하는 이산 웨이블릿 변환의 알고리즘은 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다. (아래 코드는 알고리즘 설명을 위한 의사 코드이며, 실제 구현에서는 인덱스 범위 검사 등이 필요하다.)

```

for freq in 적절한 범위:

for pos in 데이터의 범위:

sum = 0

for t in range(pos-freq, pos+freq):

if t < pos:

sum += data[t]

else:

sum -= data[t]

result[pos][freq] = sum / sqrt(freq)

```

이 알고리즘에서 `phi` 함수 (하르 웨이블릿)가 0이 되는 범위를 생략할 수 있기 때문에, 푸리에 해석보다 계산량이 적게 드는 큰 원인이 된다.

2. 4. 불확정성 원리와 웨이블릿 변환

신호 처리의 불확정성 원리에 따르면, 시간 해상도와 주파수 해상도는 동시에 높아질 수 없다. 즉, 다음 부등식이 성립한다.

:

\Delta t \Delta \omega \geq \frac{1}{2}

여기서

t

는 시간을 나타내고

\omega

는 각 주파수(

\omega=2 \pi f

, 여기서

f

는 일반 주파수)를 나타낸다.

시간 해상도가 높을수록 주파수 해상도는 낮아져야 한다. 분석 창의 확장이 클수록

\Delta t

의 값도 커진다.

$\Delta t$ 가 클 때:
시간 해상도는 나쁨
주파수 해상도는 좋음
낮은 주파수, 큰 스케일링 계수
$\Delta t$ 가 작을 때:
시간 해상도는 좋음
주파수 해상도는 나쁨
높은 주파수, 작은 스케일링 계수

웨이블릿 변환은 이러한 한계를 고려하여, 고주파 성분에서는 시간 해상도를 높이고, 저주파 성분에서는 주파수 해상도를 높이는 방식으로 분석을 수행한다. 이는 STFT보다 시간-주파수 해석에서 효과적인 방법이다. 급격하게 변화하는 신호는 그 변화 시점(위치)가 중요하며, 완만하게 변화하는 신호는 그 변화의 주기 또는 주파수가 중요하기 때문이다.

웨이블릿 변환은 높은 주파수의 시간 해상도에 좋고, 천천히 변하는 함수의 경우 주파수 해상도가 뛰어나다.

예를 들어, 세 개의 중첩된 정현파 신호

y(t) \;=\; \sin(2 \pi f_0 t) \;+\; \sin(4 \pi f_0 t) \;+\; \sin(8 \pi f_0 t)

를 STFT 및 웨이블릿 변환으로 분석하면 다음과 같다.

푸리에 변환에서는 사인파, 코사인파를 확대, 축소하여 더함으로써 입력을 표현하지만, 파동이 국소화되어 있지 않기 때문에 시계열 정보가 손실된다. 푸리에 변환의 식

(\mathfrak{F} f)(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dt\, e^{-i\omega t}f(t)

에 윈도우를 곱하고,

(T^\text{win} f)(\omega, t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\tau\, g(\tau-t)e^{-i\omega \tau}f(\tau)

로 하는 것이 푸리에 변환에서의 국소화의 일반적인 방법이다. 이 경우, 주파수에 따라 윈도우의 폭이 변하지 않는다. 따라서, 예를 들어

\sin(\alpha t)+\delta (t-t_{1})

과 같은 파동을 해석하려고 할 경우, 넓은 윈도우를 취하면 사인파의 주파수는 명확해지지만, 펄스 파형의 정보는 흐려진다. 반대로 윈도우를 좁히면 펄스 파형은 명확해지지만, 사인파의 주파수가 보기 어려워지는 현상이 발생한다.

웨이블릿 변환에서는, 주파수에 맞춰 웨이블릿의 폭이 변화하므로, 주파수 해상도가 현격히 좋아진다.

3. 웨이블릿 변환의 역사

웨이블릿 변환의 초기 수학적 이론은 1807년 조제프 푸리에가 푸리에 해석을 창안하면서 시작되었다. 1909년 알프레드 하르는 Haar 웨이블릿을 제시하였다.^[1] Haar 웨이블릿은 유한 구간 밖에서 소멸되는 특성이 있었으나, 연속 미분 가능 함수가 아니어서 응용에 제한이 있었다.^[1]

이후 수학자들은 주파수 해석에서 스케일 해석으로 관심을 옮겼다. 스케일 해석은 노이즈에 덜 민감하다는 장점이 있다. 웨이블릿은 신호의 특정 부분 주파수 조사, 노이즈 제거, 신호와 노이즈 경계 구분 등 다양한 분야에 응용된다.

1982년 프랑스의 장 모를레는 웨이블릿 변환을 실제로 응용하여 실용성을 입증했고,^[1] 알렉스 그로스만과의 연구를 통해 양자역학 관점에서 웨이블릿 변환을 정의하였다.^[1] 웨이블릿 변환은 가변 웨이블릿 모함수를 사용하며, 저주파 분석에는 긴 시간 간격을, 고주파 분석에는 짧은 시간 간격을 이용한다.

푸리에 변환은 시간 정보가 없어 시간-주파수 해석에 부적합하지만, 단시간 푸리에 변환(STFT)은 시간 윈도우 개념을 도입하여 시간 정보를 제공한다. 그러나 STFT는 기저의 상사성이 없어 특이점 감도가 낮다. 웨이블릿 변환은 기저의 상사성을 유지하며 시간-주파수 분석을 수행한다.

웨이블릿 변환은 고주파 영역에서 시간 분해능이 높고, 저주파 영역에서 주파수 분해능이 높아 STFT보다 효과적이다.

3. 1. 푸리에 해석과의 관계

19세기 초, 조제프 푸리에는 임의의 함수를 사인 함수와 코사인 함수의 합으로 나타내는 푸리에 해석을 제안하였다. 이는 웨이블릿의 초기 아이디어에 영향을 주었다. 푸리에 해석에서는 사인파, 코사인파를 확대, 축소하여 더함으로써 입력을 표현하려고 했지만, 파동이 국소화되어 있지 않기 때문에 시계열 정보가 손실되었다.

푸리에 변환의 식

(\mathfrak{F} f)(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dt\, e^{-i\omega t}f(t)

에 윈도우를 곱하고,

(T^\text{win} f)(\omega, t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\tau\, g(\tau-t)e^{-i\omega \tau}f(\tau)

로 하는 것이 푸리에 변환에서의 국소화의 일반적인 방법이다. 이 경우, 주파수에 따라 윈도우의 폭이 변하지 않는다. 따라서, 예를 들어

\sin(\alpha t)+\delta (t-t_{1})

과 같은 파동을 해석하려고 할 경우, 넓은 윈도우를 취하면 사인파의 주파수는 명확해지지만, 펄스 파형의 정보는 흐려진다. 반대로 윈도우를 좁히면 펄스 파형은 명확해지지만, 사인파의 주파수가 보기 어려워지는 현상이 발생한다.

웨이블릿 변환에서는 주파수에 맞춰 웨이블릿의 폭이 변화하므로, 주파수 해상도가 현격히 좋아진다.

3. 2. Haar 웨이블릿

1909년, 알프레드 하르(Alfred Haar)는 최초의 웨이블릿 함수인 Haar 웨이블릿을 제안하였다.^[1] Haar 웨이블릿은 유한한 구간 밖에서는 완전히 소멸되는 특성을 가지고 있었다.^[1] 그러나 Haar 웨이블릿은 연속 미분 가능한 함수가 아니었으므로 응용에 제한이 있었다.^[1]

3. 3. Morlet 웨이블릿과 Grossman의 연구

1982년 프랑스의 석유 탐사 기사였던 장 모를레(Morlet)는 웨이블릿 변환을 실제로 응용하면서 그 실용성을 인정받았다.^[1] 이후 이론물리학자인 알렉스 그로스만(Alex Grossmann)과 협동 연구를 통해 당시 양자역학의 관점에서 웨이블릿 변환을 폭넓게 정의하였다.^[1] 웨이블릿 변환은 가변의 웨이블릿 모함수를 사용하는데, 저주파수 정보 분석을 위해서는 장시간의 간격을 이용하며, 고주파수 정보를 위해서는 짧은 간격이 이용된다.^[1]

4. 웨이블릿 변환의 종류

웨이블릿 변환은 그 목적에 따라 다양한 종류가 사용된다.

1982년 프랑스의 석유 탐사 기사 장 모를레는 웨이블릿 변환을 실제로 응용하여 실용성을 입증했다. 그는 이론물리학자인 알렉스 그로스만과의 협동 연구를 통해 양자역학의 관점에서 웨이블릿 변환을 폭넓게 정의하였다. 웨이블릿 변환은 가변의 웨이블릿 모함수를 사용하는데, 저주파수 정보 분석에는 장시간 간격을, 고주파수 정보 분석에는 짧은 간격을 이용한다. 이는 푸리에 변환이 시간 정보를 갖지 않아 시간-주파수 해석에 부적합한 점을 보완한다. 단시간 푸리에 변환(STFT)은 푸리에 변환에 시간 윈도우 개념을 도입하여 시간 정보를 파악하지만, 기저의 상사성이 없어 특이점 검출에 어려움이 있다. 웨이블릿 변환은 이러한 기저의 상사성을 유지하며 시간-주파수 분석을 가능하게 한다.

웨이블릿 변환은 고주파수 영역에서는 시간 분해능이 높고, 저주파수 영역에서는 주파수 분해능이 높은 특징을 가진다. 이는 STFT보다 시간-주파수 해석에 효과적인 이유이며, 급격한 변화에는 변화 시점이, 완만한 변화에는 변화의 주기가 중요하기 때문이다.

4. 1. 연속/이산 웨이블릿

연속 웨이블릿 변환은 기본적으로 연속적인 값을 다루지만, 계산기에서는 연속적인 값을 다루기 어렵다. 따라서 신호를 억지로 연속 웨이블릿 변환식에 따라 계산하면 상당한 정보가 손실되어 역변환이 불가능해진다. 이러한 문제를 해결하기 위해 역변환을 고려한 형태의 웨이블릿 변환을 이산 웨이블릿 변환이라고 한다.

연속 웨이블릿 변환은 역변환을 가지지 않지만, 이산 웨이블릿 변환보다 정밀한 해석이 가능하다는 특징이 있다. 반면, 이산 웨이블릿 변환은 한 번 변환한 정보를 가공하여 역변환함으로써 노이즈 제거 등에 응용할 수 있다.

연속 웨이블릿 변환에서 사용된 웨이블릿에 대해,

:

\psi_{m,n}(x)=a_{0}^{-m/2}\psi(a_{0}^{-m}x-nb_{0})

로 이산화를 수행한다. 여기서

a_{0}>1, b_{0}>0, m\in\mathbf{Z}, n\in\mathbf{Z}

이다.

a_{0}, b_{0}

의 값은 웨이블릿에 대해 적절하게 선택한다. 이 경우 연속 웨이블릿 변환과 달리, 단위 분해 공식을 사용할 수 없으므로, 다른 방법으로 원래 함수를 복원해야 한다.

이산 웨이블릿 변환은 원 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하고, 분해된 저주파 성분을 다시 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하는 과정을 반복한다. 이는 다중 해상도 해석과 동일하다. 이산 웨이블릿 변환은 가역 변환이므로 변환 자체에 압축 효과는 없지만, 변환된 이미지의 효율적인 부호화 방식이 개발되어 JPEG 2000과 같은 이미지 압축 방식에 사용된다.

하르 웨이블릿을 마더 웨이블릿으로 사용하는 이산 웨이블릿 변환의 예시 알고리즘은 다음과 같다. (단, 아래 코드는 알고리즘 설명을 위한 의사 코드이며, 첨자 범위 체크 등이 생략되어 있다.)

```

for freq in 적절한 범위:

for pos in 데이터의 범위:

sum = 0

for t in range(pos-freq, pos+freq):

if t < pos:

sum += data[t]

else:

sum -= data[t]

result[pos][freq] = sum / sqrt(freq)

```

위 알고리즘에서 `phi`가 명백히 0이 되는 범위를 `t`에 대한 반복 처리에서 생략할 수 있으므로, 실제 계산량은 푸리에 해석보다 적다.

4. 2. 정규 직교 웨이블릿

함수

\psi \,\in\, L^2(\mathbb{R})

가 힐베르트 기저, 즉

L^2\left(\mathbb{R}\right)

제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간에 대한 완전 정규 직교 시스템을 정의하는 데 사용될 수 있다면, 이를 '''정규 직교 웨이블릿'''이라고 한다.

힐베르트 기저는

\psi\,

의 이진 이동 및 팽창을 통해 함수족

\{\psi_{jk}:\, j,\, k \,\in\, \Z\}

로 구성된다.

:

\psi_{jk}(x) = 2^\frac{j}{2} \psi\left(2^jx - k\right)\,

여기서

j,\, k \,\in\, \mathbb{Z}

는 정수이다.

L^2\left(\mathbb{R}\right)

의 표준 내적 아래에서,

:

\langle f, g\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}dx

이 함수족이 정규 직교이면, 정규 직교 시스템이다.

:

\begin{align}\langle\psi_{jk},\psi_{lm}\rangle &= \int_{-\infty}^\infty \psi_{jk}(x)\overline{\psi_{lm}(x)}dx \\&=\delta_{jl}\delta_{km}\end{align}

여기서

\delta_{jl}\,

은 크로네커 델타이다.

모든 함수

f \,\in\, L^2\left(\mathbb{R}\right)

가 기저에서 다음과 같이 전개될 수 있다면 완전성이 만족된다.

:

f(x) = \sum_{j, k=-\infty}^\infty c_{jk} \psi_{jk}(x)

이때 급수의 수렴은 노름에서의 수렴으로 이해된다. 이러한 ''f''의 표현을 '''웨이블릿 급수'''라고 한다. 이는 정규 직교 웨이블릿이 자기 쌍대임을 의미한다.

4. 3. 복소 웨이블릿 (Complex Wavelet)

복소 웨이블릿은 실수 웨이블릿보다 위상 정보를 더 잘 보존하여 이미지 처리 등에서 유용하게 사용된다. 주어진 문서에는 복소 웨이블릿에 대한 직접적인 언급은 없지만, 웨이블릿 변환이 신호 처리에서 유용하게 사용된다는 점을 통해 간접적으로 추론할 수 있다.

4. 4. 다중 해상도 분석 (Multiresolution Analysis, MRA)

다중 해상도 분석은 2배마다 해상도를 높여 웨이블릿을 사용하여 분석하는 기법이다. 이산 웨이블릿 변환은 원 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하고, 분해된 저주파 성분을 다시 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하는 처리를 반복하는 것과 등가이므로, 다중 해상도 해석이라고도 불린다. 이산 웨이블릿 변환은 가역 변환이므로 변환 자체에 압축 효과는 없지만, 변환된 이미지의 효율적인 부호화 방식이 개발되었기 때문에 이미지 압축 방식인 JPEG 2000에 이용되고 있다.

5. 웨이블릿 변환의 응용

웨이블릿 변환은 신호, 시스템, 프로세스의 모델을 웨이블릿이라고 불리는 특수한 신호 집합으로 구성할 수 있다. 웨이블릿은 국부적으로 존재하는 작은 파(wavelet)를 패턴으로 하여, 이것을 이동시키거나 확대 및 축소하여 임의의 파형으로 표현한 것이다. 웨이블릿은 신호의 특정 부분의 주파수를 조사하고, 노이즈를 포함한 신호를 평활화하거나, 신호와 노이즈의 경계를 구하는 데 사용될 수 있다. 또한, 시계열 해석, 신호 압축, 제어 시스템의 고장 해석 등에도 응용된다.^[19]

웨이블릿 변환은 1982년 프랑스의 석유 탐사 기사 모를레(Morlet)가 실제로 응용하면서부터 그 실용성이 인정되었다. 그는 이론물리학자인 알렉스 그로스만(Alex Grossmann)과 협동 연구를 통해 양자역학의 관점에서 웨이블릿 변환을 폭넓게 정의하였다. 웨이블릿 변환은 가변의 웨이블릿 모함수를 사용하여, 저주파수 정보 분석에는 장시간의 간격을, 고주파수 정보에는 짧은 간격을 이용한다. 이는 시간-주파수 해석을 가능하게 하여, 푸리에 변환의 특징과 시간적 또는 공간적 추이를 동시에 다룰 수 있게 한다.

푸리에 변환은 시간 정보를 가지고 있지 않아 시간-주파수 해석에 이용할 수 없지만, 단시간 푸리에 변환(STFT)은 시간 윈도우 개념을 도입하여 시간 정보를 알 수 있게 한다. 그러나 STFT는 기저의 상사성이 없어 특이점에 대한 감도가 떨어진다. 반면 웨이블릿 변환은 기저의 상사성을 유지하면서 시간-주파수 분석을 수행하여, STFT보다 효과적인 시간-주파수 해석을 제공한다.

웨이블릿 변환은 고주파수 영역에서는 시간 분해능이 높고, 저주파 영역에서는 주파수 분해능이 높다. 이는 급격하게 변화하는 신호의 변화 시점과 완만하게 변화하는 신호의 주기를 효과적으로 분석하는 데 유용하다.

웨이블릿 변환은 다양한 분야에 응용되고 있다.

보행 분석을 위한 가속도 신호 처리^[16]
결함 감지^[17]
산사태의 계절적 변위 분석^[18]
저전력 심박 조율기 설계
초광대역(UWB) 무선 통신^[19]^[20]^[21]
전력 시스템의 결함 감지^[22]
도메인 전체에서 평활도가 크게 변하는 함수의 국부적으로 적응적인 통계적 추정^[23]

5. 1. 신호 처리

웨이블릿 변환은 신호에서 특정 주파수 성분을 추출하거나, 잡음(노이즈)을 제거하고, 신호의 변화를 감지하는 데 사용된다.^[14]^[15]

웨이블릿 변환은 단시간 푸리에 변환(STFT)보다 시간-주파수 해석에서 더 효과적이다. 빠르게 변하는 신호는 변화 시점이 중요하고, 천천히 변하는 신호는 주파수가 중요하기 때문이다. 웨이블릿 변환은 높은 주파수에서는 시간 분해능이 높고, 낮은 주파수에서는 주파수 분해능이 높다.

변환	표현	입력
푸리에 변환	$\hat X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2 \pi f t}\, dt$	$f$ : 주파수
시간-주파수 분석	$X(t, f)$	$t$ : 시간; $f$ : 주파수
웨이블릿 변환	$X(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\Psi\left(\frac{t - b}{a}\right)} x(t)\, dt$	$a$ : 스케일링; $b$ : 시간 이동 인자

5. 2. 이미지 처리

웨이블릿 변환은 이미지 압축, 이미지 복원, 특징 추출 등 다양한 이미지 처리 분야에서 활용된다.

'''웨이블릿 압축'''은 데이터 압축의 한 형태로서, 특히 이미지 압축에 적합하며, 때로는 비디오 압축 및 오디오 압축에도 사용된다.^[6] 정지 영상에는 JPEG 2000, DjVu, ECW 등이, 비디오에는 JPEG XS, CineForm, BBC의 Dirac 등이 사용된다. 웨이블릿 압축은 무손실 데이터 압축 또는 손실 데이터 압축 방식을 모두 사용할 수 있다.^[6]

웨이블릿 압축은 이미지 데이터를 가능한 적은 공간의 파일에 저장하는 것을 목표로 한다. 웨이블릿 변환을 사용하면, 야경 속 별 이미지와 같이 2차원 이미지의 고주파 성분과 같은 과도 현상을 표현하는 데 적합하다. 이는 데이터 신호의 과도 현상 요소가 이산 코사인 변환과 같은 다른 변환을 사용한 경우보다 더 적은 양의 정보로 표현될 수 있음을 의미한다.

5. 2. 1. 이미지 압축 (JPEG 2000)

JPEG 2000은 웨이블릿 변환을 기반으로 하는 이미지 압축 표준으로, 기존의 JPEG보다 압축 효율이 높고 화질 손실이 적다.^[6]

이산 웨이블릿 변환은 원본 신호를 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하고, 분해된 저주파 성분을 다시 고주파 성분과 저주파 성분으로 분해하는 과정을 반복한다. 이는 다중 해상도 해석이라고도 불린다. 이산 웨이블릿 변환은 가역 변환이므로 변환 자체에는 압축 효과가 없지만, 변환된 이미지의 효율적인 부호화 방식이 개발되어 JPEG 2000에 사용된다.^[6]

웨이블릿 변환을 적용하면 이미지의 픽셀 수만큼 많은 계수가 생성된다. 이 계수들은 정보가 통계적으로 몇 개의 계수에만 집중되어 있어 더 쉽게 압축할 수 있다. 이 원리를 변환 부호화라고 한다. 그 후, 계수는 양자화되고 양자화된 값은 엔트로피 부호화 및/또는 런 길이 부호화된다.^[6]

대부분의 자연 이미지는 저주파수의 스펙트럼 밀도가 더 높다.^[11] 따라서 저주파 신호(참조 신호)의 정보는 보존하고, 세부 신호의 정보는 버린다.

5. 3. 데이터 압축

'''웨이블릿 압축'''은 데이터 압축의 한 형태로서, 특히 이미지 압축에 적합하며, 때로는 비디오 압축 및 오디오 압축에도 사용된다.^[6] JPEG 2000, DjVu, ECW는 정지 영상에, JPEG XS, CineForm, BBC의 Dirac은 비디오에 사용되는 주목할 만한 구현 방식이다. 웨이블릿 압축의 목표는 이미지 데이터를 가능한 적은 공간의 파일에 저장하는 것이다. 웨이블릿 압축은 무손실 데이터 압축 또는 손실 데이터 압축 방식을 모두 사용할 수 있다.^[6]

웨이블릿 변환을 사용함으로써, 웨이블릿 압축 방법은 오디오의 타악기 소리나 야경 속 별 이미지와 같이 2차원 이미지의 고주파 성분과 같은 과도 현상을 표현하는 데 적합하다. 이는 데이터 신호의 과도 현상 요소가 널리 사용되는 이산 코사인 변환과 같은 다른 변환을 사용한 경우보다 더 적은 양의 정보로 표현될 수 있음을 의미한다.

이산 웨이블릿 변환은 심전도(ECG) 신호의 압축에 성공적으로 적용되었다.^[7]

웨이블릿 압축은 모든 종류의 데이터에 효과적인 것은 아니다. 웨이블릿 압축은 과도 신호를 잘 처리한다. 그러나 부드럽고 주기적인 신호는 다른 방법, 특히 주파수 영역에서 전통적인 조화 분석을 사용하는 푸리에 관련 변환을 통해 더 잘 압축된다. 과도 특성과 주기적 특성을 모두 가진 데이터를 압축하는 것은 전통적인 조화 분석과 함께 웨이블릿을 사용하는 하이브리드 기술로 수행할 수 있다. 예를 들어, Vorbis 오디오 코덱은 주로 수정된 이산 코사인 변환을 사용하여 오디오를 압축하지만(일반적으로 부드럽고 주기적임), 과도 현상의 향상된 재생을 위해 하이브리드 웨이블릿 필터 뱅크의 추가를 허용한다.^[8]

먼저 웨이블릿 변환을 적용하면 이미지의 픽셀 수만큼 많은 계수가 생성된다(즉, 변환만 수행되므로 아직 압축은 이루어지지 않는다). 그런 다음 이 계수들은 정보가 통계적으로 몇 개의 계수에만 집중되어 있기 때문에 더 쉽게 압축할 수 있다. 이 원리를 변환 부호화라고 한다. 그 후, 계수는 양자화되고 양자화된 값은 엔트로피 부호화 및/또는 런 길이 부호화된다.

5. 4. 결함 감지

웨이블릿 변환은 신호, 시스템, 프로세스의 모델을 특수한 신호 집합으로 구성하는데, 이 특수한 신호를 웨이블릿이라고 부른다. 웨이블릿은 국부적으로 존재하는 어떤 하나의 작은 파(wavelet)를 패턴으로 하여 이것을 천이시키거나 확대, 축소하여 임의의 파형으로 표현한 것이다. 웨이블릿 변환은 이러한 특징을 이용하여 구조물의 결함이나 이상 신호를 감지하는 데 사용될 수 있다.

웨이블릿 변환은 푸리에 변환과 달리 시간-주파수 해석이 가능하다는 장점이 있다. 푸리에 변환은 시간 정보를 가지고 있지 않기 때문에, 시간-주파수 해석에 이용할 수 없다. 반면 웨이블릿 변환은 시간적 또는 공간적 추이도 동시에 가변적으로 다룰 수 있는 시간-주파수 해석이 가능하다.

이러한 웨이블릿 변환의 시간-주파수 해석 특징은 고주파수 영역에서는 시간 분해능이 높고, 저주파 영역에서는 주파수 분해능이 높다는 것이다. 이러한 특성 덕분에 웨이블릿 변환은 단시간 푸리에 변환(STFT)보다 시간-주파수 해석에서 효과적이다. 급격하게 변화하는 신호는 그 변화 시점(위치)가 중요하며, 완만하게 변화하는 신호는 그 변화의 주기 또는 주파수가 중요하기 때문이다. 이러한 점을 활용하여 웨이블릿 변환은 구조물의 안전 진단 및 유지 보수에 활용된다.

5. 5. 기타 응용 분야

웨이블릿 변환은 시계열 해석, 신호 압축, 제어 시스템의 고장 해석 등에도 응용할 수 있다. 특히, 신호의 특정 부분의 주파수를 조사하거나, 노이즈를 포함한 신호를 평활화하고, 신호와 노이즈의 경계를 구하는 데에도 활용된다.^[19]

5. 5. 1. 초광대역(UWB) 무선 통신

웨이블릿 변환은 초광대역(UWB) 무선 통신에 활용된다.^[19]^[20]^[21] 웨이블릿 변환은 신호의 주파수와 해당 주파수와 관련된 시간을 제공하여 UWB 통신 시스템에서 신호의 다중 경로 페이딩 현상을 완화하고, 통신 성능을 향상시킬 수 있다.

5. 5. 2. 전력 시스템 결함 감지

웨이블릿 변환은 전력 시스템에서 발생하는 고장 신호를 감지하고, 고장 유형을 분류하는 데 활용된다.^[22]

6. 한국에서의 웨이블릿 변환 연구 및 활용

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7. 결론 및 향후 전망

웨이블릿 변환은 신호, 시스템, 프로세스 모델을 특수한 신호 집합으로 구성하는 방법이다. 이 특수한 신호를 웨이블릿이라고 하며, 국부적으로 존재하는 작은 파(wavelet) 패턴을 이동시키거나 확대, 축소하여 임의의 파형으로 표현한다. 웨이블릿은 신호의 특정 부분 주파수를 조사하고, 노이즈를 포함한 신호를 평활하거나, 신호와 노이즈의 경계를 구하는 데 사용될 수 있다. 또한, 시계열 해석, 신호 압축, 제어 시스템의 고장 해석 등에도 응용될 수 있다.^[1]

푸리에 변환은 시간 정보를 잃는다는 단점이 있었다. 이를 보완하기 위해 시간 윈도우 개념을 도입한 STFT(Short-Time Fourier Transform)가 개발되었지만, STFT는 기저의 상사성이 없어 특이점 검출에 어려움이 있었다. 웨이블릿 변환은 기저의 상사성을 유지하면서 시간-주파수 분석을 가능하게 하여 STFT보다 효과적인 시간-주파수 해석을 제공한다. 고주파수 영역에서는 시간 분해능이 높고, 저주파 영역에서는 주파수 분해능이 높은 특징을 가지기 때문이다.^[1]

웨이블릿 변환은 앞으로도 지속적인 연구 개발을 통해 더욱 발전할 것으로 기대된다. 특히, 인공지능, 빅데이터 등 첨단 기술과의 융합을 통해 새로운 응용 분야를 개척하고, 사회 문제 해결에 기여할 수 있을 것으로 전망된다.

참조

_[1] 서적 Wavelets and Operators Cambridge University Press 1992
_[2] 서적 An Introduction to Wavelets Academic Press 1992
_[3] 서적 Ten Lectures on Wavelets SIAM 1992
_[4] 서적 Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets Academic Press 1992
_[5] 간행물 A Survey on Change Detection and Time Series Analysis with Applications 2021
_[6] 문서
_[7] 간행물 ECG coding by wavelet-based linear prediction http://eprints.iisc.[...]
_[8] 웹사이트 Vorbis I specification https://xiph.org/vor[...] 2020-07-04
_[9] 문서 A New and Novel Image Compression Algorithm Using Wavelet Footprints http://www.acadjourn[...]
_[10] 서적 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004
_[11] 간행물 Relations between the statistics of natural images and the response properties of cortical cells http://www.rctn.org/[...]
_[12] 간행물 Wavelet Filter Evaluation for Image Compression 1995-08
_[13] 간행물 Shiftable multiscale transforms
_[14] 간행물 Fourier-, Hilbert- and wavelet-based signal analysis: are they really different approaches? 2004
_[15] 서적 A Panorama of Harmonic Analysis Mathematical Association of America 1999
_[16] 서적 2011 IEEE Topical Conference on Biomedical Wireless Technologies, Networks, and Sensing Systems
_[17] 간행물 Shannon wavelet spectrum analysis on truncated vibration signals for machine incipient fault detection
_[18] 간행물 Using wavelet tools to analyse seasonal variations from InSAR time-series data: a case study of the Huangtupo landslide https://doi.org/10.1[...] 2016-06-01
_[19] 간행물 Emerging applications of wavelets: A review http://web.njit.edu/[...]
_[20] 서적 2009 Second International Conference on Computer and Electrical Engineering 2009-12
_[21] 서적 2012 International Conference on Systems and Informatics (ICSAI2012) 2012-05
_[22] 간행물 Fault detection and classification in transmission lines based on wavelet transform and ANN 2006-10
_[23] 서적 All of Nonparametric Statistics
_[24] 간행물 Causal analytical wavelet transform
_[25] 간행물 A time-causal and time-recursive scale-covariant scale-space representation of temporal signals and past time 2023-01-23
_[26] arXiv Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a Tool for Empirical Mode Decomposition 2009-12-12
_[27] 간행물 Synchro-squeezed adaptive wavelet transform with optimum parameters for arbitrary time series 2019-01-01

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