유사 거리 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
- 3.1. 지름
- 3.2. 거리화
4. 성질
- 4.1. 위상수학적 성질
- 4.2. 함의 관계
5. 예시
참조

1. 개요

유사 거리 공간은 집합 X와 X × X → [0, ∞) 함수 d(x, y)로 구성되며, 이는 d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x) 및 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)를 만족한다. 유사 거리 공간은 거리 공간과 달리, 서로 다른 점 x ≠ y에 대해 d(x, y) = 0이 될 수 있다. 확장 유사 거리 공간은 d의 공역을 음이 아닌 확장된 실수 [0,∞]로 대체하여 얻어진다. 유사 거리 공간은 파라콤팩트 공간, 완전 정규 공간, 제1 가산 공간이며, 거리화, 지름, 코시 수열, 완비성과 같은 개념이 적용된다. 유사 거리는 함수해석학, 세미노름, Lp 공간, 측도 공간, 고바야시 거리 등 다양한 분야에서 활용된다.

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유사 거리 공간
개요
유형	거리 공간의 일반화
정의
정의	집합 X와 함수 d: X × X → ℝ (여기서 ℝ은 실수의 집합)가 다음 공리들을 만족하면 d를 X의 유사 거리라고 한다. 유사 거리 공간은 (X, d) 쌍으로 표현된다.
비고	거리 공간과 달리, 유사 거리 공간에서 d(x, y) = 0이 x = y를 의미하지는 않는다. d(x, y) = 0이면 x와 y는 구별할 수 없다고 한다. 유사 거리는 거리의 일반화된 개념이다.
예시
예시	모든 거리는 유사 거리이다. 상수 함수 d(x, y) = 0은 유사 거리이다. ℝⁿ에서 d(x, y) = \|x₁ - y₁\|로 정의하면 유사 거리이다. T: V → W가 선형 변환일 때, \|\|v\|\| = \|\|T(v)\|\|로 정의하면 유사 노름이다.
관련 개념
몫 공간	유사 거리 공간 (X, d)에서 관계 x ~ y ⇔ d(x, y) = 0으로 정의하면 등가 관계이다. X/~는 몫 공간이고 d̃([x], [y]) = d(x, y)로 정의하면 X/~는 거리 공간이 된다.
균등 공간	유사 거리는 균등 구조를 정의한다. 균등 공간의 개념은 유사 거리 공간의 일반화이다.
켈리화	유사 거리는 켈리화를 사용하여 거리 공간으로 변환될 수 있다.

2. 정의

확장 유사 거리 함수는 집합 $X$ 에 대해 정의되며, 다음 조건을 만족하는 함수 $d\colon X \times X\to[0,\infty]$ 이다.^[10]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d(x,x)=0$ 이다.
(대칭성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = d(y,x)$ 이다.
(삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$ 이다.

이때, 대칭성과 삼각 부등식은 "임의의

x,y,z\in X

에 대하여,

d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)

" 조건으로 대체할 수 있다. 여기서

y=x

로 두면 대칭성 조건이 자연스럽게 유도된다.

d

의 공역을 음이 아닌 확장된 실수

[0,\infty]

대신 음이 아닌 실수

[0,\infty)

로 바꾸면 '''유사 거리 함수'''가 된다.

(확장) 유사 거리 함수

d

가 "임의의

x,y\in X

에 대하여,

d(x,y) = 0 \iff x = y

"라는 조건을 추가로 만족하면 '''(확장) 거리 함수'''가 된다.

(확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합을 '''(확장) 유사 거리 공간'''이라고 한다.^[10] 거리 공간과 달리, 유사 거리 공간에서는 서로 다른 두 점

x \neq y

에 대해

d(x, y) = 0

인 경우가 있을 수 있다. 즉, 점들이 구별될 필요가 없다.

2. 1. 확장 유사 거리 함수

집합

X

위의 '''확장 유사 거리 함수'''(擴張類似距離函數, extended pseudometric function^영어)는 다음 조건을 만족시키는 함수

d\colon X \times X\to[0,\infty]

이다.^[10]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d(x,x)=0$
(대칭성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = d(y,x)$
(삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

이때, 대칭성과 삼각 부등식은 다음과 같은 하나의 조건으로 대체할 수 있다.

$d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)$ (삼각 부등식)

여기서

y=x

로 값을 정하면,

d(y,x)=d(x,y)

가 되어 대칭성을 만족하게 된다.

만약

d

의 공역을 음이 아닌 확장된 실수

[0,\infty]

대신 음이 아닌 실수

[0,\infty)

로 대체할 경우, '''유사 거리 함수'''의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수

d

가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, '''(확장) 거리 함수'''라고 한다.

(구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = 0 \iff x = y$

2. 2. 확장 유사 거리 공간

집합

X

위의 '''확장 유사 거리 함수'''(擴張類似距離函數, extended pseudometric function^영어)는 다음 조건을 만족시키는 함수

:

d\colon X \times X\to[0,\infty]

이다.^[10]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d(x,x)=0$
(대칭성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = d(y,x)$
(삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

'''(확장) 유사 거리 공간'''((extended) pseudometric space^영어)

(X,d)

은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.^[10]

2. 3. 유사 거리 공간

(확장) 유사 거리 공간

(X,d)

은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.^[10] (확장) 유사 거리 함수는 다음 조건을 만족시키는 함수

d\colon X \times X\to[0,\infty]

이다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d(x,x)=0$
(대칭성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = d(y,x)$
(삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

d

의 공역을 음이 아닌 확장된 실수

[0,\infty]

대신 음이 아닌 실수

[0,\infty)

로 대체할 경우, '''유사 거리 함수'''의 개념을 얻는다.

(확장) 유사 거리 함수

d

가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, '''(확장) 거리 함수'''라 한다.

(구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = 0 \iff x = y$

거리 공간과 달리, 유사 거리 공간의 점들은 구별될 필요가 없다. 즉, 서로 다른 값

x \neq y

에 대해

d(x, y) = 0

이 될 수 있다.

2. 4. 거리 공간

집합

X

위의 확장 유사 거리 함수는 다음 조건을 만족시키는 함수

d\colon X \times X\to[0,\infty]

이다.^[10]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d(x,x)=0$
(대칭성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = d(y,x)$
(삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

만약

d

의 공역을 음이 아닌 확장된 실수

[0,\infty]

대신 음이 아닌 실수

[0,\infty)

로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수

d

가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다.

(구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = 0 \iff x = y$

(확장) 유사 거리 공간

(X,d)

은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.^[10] 의사 거리 공간

(X,d)

는 집합

X

와, '의사 거리'라고 불리는 음이 아닌 실수 값 함수

d : X \times X \longrightarrow \R_{\geq 0}

로 구성되며, 모든

x, y, z \in X

에 대해 다음을 만족한다.

$d(x,x) = 0$
''대칭성'': $d(x,y) = d(y,x)$
''부분 가법성''/''삼각 부등식'': $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

거리 공간과 달리, 의사 거리 공간의 점들은 구별될 필요가 없다. 즉, 서로 다른 값

x \neq y

에 대해

d(x, y) = 0

이 될 수 있다. 모든 거리 공간은 유사 거리 공간이다.

3. 연산

확장 유사 거리 공간 $(X,d)$ 의 '''지름'''(diameter^영어)은 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한으로 정의된다. 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다. 지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 '''유계''' 유사 거리 공간이라고 한다.

3. 1. 지름

확장 유사 거리 공간

(X,d)

의 '''지름'''(diameter^영어)

\operatorname{diam}X

는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

:

\operatorname{diam}X=\sup_{x,y\in X}d(x,y)\in[0,\infty]

마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 '''유계''' 유사 거리 공간이라고 한다.

3. 2. 거리화

유사 거리 공간

(X,d)

에서 거리 공간을 유도하는 과정을 거리화(metric identification)라고 한다. 이 과정은 다음과 같이 정의되는 동치 관계를 이용한다.^[6]^[7]^[9]

:

x\sim y\iff d(x,y)=0\qquad\forall x,y\in X

이 동치 관계를 이용해 몫집합

X/\sim

을 만들고, 이 몫집합 위에 다음과 같은 거리 함수

d^*

를 정의한다.

:

d^*([x]_\sim,[y]_\sim)=d(x,y)\qquad\forall x,y\in X

여기서

[x]_\sim

는

x

를 포함하는 동치류이다. 이

d^*

는

X/\sim

위에 거리 함수의 조건을 만족하여,

X/\sim

은 거리 공간이 된다.

거리화 과정은 유도된 위상을 보존한다. 즉,

X

의 부분 집합

A

가 열린 집합(또는 닫힌 집합)인 것과

A

의 몫 공간으로의 사영

\pi(A)

가

X/\sim

에서 열린 집합(또는 닫힌 집합)이고, 동시에

A

가 포화 집합인 것은 동치이다.

4. 성질

유사 거리 공간 $(X,d)$ 의 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여, $(Y,d|_{Y\times Y})$ 는 유사 거리 공간을 이룬다.

4. 1. 위상수학적 성질

모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

파라콤팩트 공간이다.
완전 정규 공간이다.
제1 가산 공간이다.

'''유사 거리 위상'''은 위상에 의해 생성된다. 열린 공 B_r(p) = { x∈X | d(p,x)[3] 위상 공간이 유사 거리로 주어질 수 있고, 유사 거리 위상이 공간에 주어진 위상과 일치하는 경우, 해당 공간을 '''유사 거리화 가능 공간'''이라고 한다.^[4]

유사 거리와 거리 사이의 차이는 완전히 위상적이다. 즉, 유사 거리가 거리이기 위한 필요충분조건은, 그것이 생성하는 위상이 T₀라는 것이다. (즉, 서로 다른 점이 위상적으로 식별 가능해야 한다.)

코시 수열과 거리 완비에 대한 정의는 거리 공간에서 유사 거리 공간으로 변경 없이 전달된다.^[5]

4. 2. 함의 관계

거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

5. 예시

불 대수 $B$ 위의 유한 유한 가법 측도 $\mu\colon B\to[0,\infty)$ 가 주어졌을 때, $\Sigma$ 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.

: $d(A,B)=d(A\bigtriangleup B)=d(A\setminus B)+d(B\setminus A)$

여기서 $\bigtriangleup$ 은 대칭차이다.

모든 거리 공간은 유사 거리 공간이다.

만약 $f : X_1 \to X_2$ 가 함수이고 ''d''₂가 ''X''₂ 위에 정의된 유사 거리라면, $d_1(x, y) := d_2(f(x), f(y))$ 는 ''X''₁ 위에 유사 거리를 정의한다. 만약 ''d''₂가 거리이고 ''f''가 단사 함수라면, ''d''₁은 거리가 된다.

5. 1. 함수 공간

함수해석학에서 실수 값을 갖는 함수

f : X \to \R

의 공간

\mathcal{F}(X)

를 특정 점

x_0 \in X

와 함께 고려할 수 있다. 이 점은 함수 공간에 다음과 같은 유사 거리를 유도한다.

:

d(f,g) = \left|f(x_0) - g(x_0)\right|

여기서

f, g \in \mathcal{F}(X)

이다.

세미노름

p

는 유사 거리

d(x, y) = p(x - y)

를 유도한다. 이는

x

의 아핀 함수의 볼록 함수이며(특히, 평행이동), 따라서

x

에 대해 볼록하다. (

y

에 대해서도 마찬가지이다.)

반대로, 균질하고 평행이동 불변인 유사 거리는 세미노름을 유도한다.

5. 2. 세미노름

세미노름은 유사 거리

d(x, y) = p(x - y)

를 유도한다. 이는

x

의 아핀 함수의 볼록 함수이며(특히, 평행이동), 따라서

x

에 대해 볼록하다. (

y

에 대해서도 마찬가지이다.)

반대로, 균질하고 평행이동 불변인 유사 거리는 세미노름을 유도한다.

5. 3. Lp 공간

함수해석학에서 ''L''^''p'' 거리 공간 ''L''^''p''(''X'')는 어떤 함수 공간

\mathcal L^p(X)

의 거리 공간화로 정의되며,

\mathcal L^p(X)

는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.^[1]

이는 한국의 함수해석학 연구에서 중요한 위치를 차지한다.

5. 4. 측도 공간

측도 공간

(\Omega,\mathcal{A},\mu)

은

d(A,B) := \mu(A \vartriangle B)

와 같이 정의하여 완비 유사 거리 공간으로 볼 수 있다. 여기서

A, B \in \mathcal{A}

이며,

\vartriangle

는 대칭차를 나타낸다.^[1]

5. 5. 고바야시 거리

쌍곡형 복소다양체의 이론에서 고바야시 거리는 유사 거리로 정의된다.^[1]

참조

_[1] 논문 Tableaux ramifiés d'ensembles, espaces pseudodistaciés 1934
_[2] 서적 Functional Analysis and Numerical Mathematics Academic Press
_[3] 웹사이트 Pseudometric topology
_[4] 문서 Willard, p. 23
_[5] 웹사이트 Chapter 7: Complete pseudometric spaces http://people.math.g[...] 2020-10-07
_[6] 서적 Modern Analysis and Topology https://www.springer[...] Springer 2012-09-10
_[7] 서적 A comprehensive course in analysis American Mathematical Society
_[8] 웹사이트 Pseudometric topology
_[9] 서적 Modern Analysis and Topology http://www.springer.[...] Springer 2012-09-10
_[10] 서적 Measure theory

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