포화 집합
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1. 개요
포화 집합은 위상 공간의 부분 집합의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 집합을 의미한다. 위상 공간 \(X\)의 부분 집합 \(S\)의 포화화는 \(S\)의 모든 근방들의 교집합으로 정의되며, 포화 집합은 스스로의 포화화와 일치하는 집합이다. 재귀 집합은 \(S\)와 공통 부분이 없는 포화 집합이 공집합인 집합을 의미한다. 포화 집합은 Gδ 집합을 포함하며, 콤팩트 공간, 베르 공간, T1 공간 등과 관련되어 있다. 원순서 집합에서 스콧 위상을 가했을 때 상집합은 포화 집합과 동치 관계를 가지며, 극대 원소들의 집합은 재귀 집합을 이룬다.
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스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.
| 포화 집합 |
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2. 정의
위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)의 '''포화화'''(saturation영어) \(\operatorname{sat}(S)\)는 \(S\)의 모든 근방들의 교집합이다.
:
여기서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 근방 필터이다. 이 정의에서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.
위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \(S\)를 '''포화 집합'''이라고 한다.
- (열린집합들의 교집합) \(S=\bigcap\mathcal U\)인 열린집합들의 집합 \(\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)\)가 존재한다.
- (스스로의 포화화와 일치) \(\textstyle S=\operatorname{sat}(S)\)
위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)가 다음 조건을 만족시키면, '''재귀 집합'''(recurrent set영어)이라고 한다.
- (모든 포화 집합과 겹침) \(S\cap T=\varnothing\)인 포화 집합 \(T\subseteq X\)은 공집합밖에 없다.
2. 1. 포화화
위상 공간 의 부분 집합 의 '''포화화'''(saturation영어) 는 의 모든 근방들의 교집합이다.:
여기서 는 의 근방 필터이다. 이 정의에서 는 의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.
위상 공간 의 부분 집합 가 스스로의 포화화와 일치하면(), 를 '''포화 집합'''이라고 한다.
2. 2. 포화 집합
위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)의 '''포화화'''(saturation영어) \(\operatorname{sat}(S)\)는 \(S\)의 모든 근방들의 교집합이다.:
여기서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 근방 필터이다. 이 정의에서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.
위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \(S\)를 '''포화 집합'''이라고 한다.
- (열린집합들의 교집합) \(S=\bigcap\mathcal U\)인 열린집합들의 집합 \(\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)\)가 존재한다.
- (스스로의 포화화와 일치) \(\textstyle S=\operatorname{sat}(S)\)
2. 3. 재귀 집합
위상 공간 의 부분 집합 가 인 포화 집합 은 공집합밖에 없는 조건을 만족시키면, '''재귀 집합'''(recurrent set영어)이라고 한다.3. 성질
3. 1. 함의 관계
정의에 따라, 모든 Gδ 집합은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 조밀 집합이다.3. 2. 콤팩트 공간과의 관계
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 가 콤팩트 집합인 것과 포화화 가 콤팩트 집합인 것은 서로 동치이다.임의의 위상 공간 에 대하여, 모든 점 가 콤팩트 국소 기저를 갖는 것과 모든 점이 콤팩트 포화 국소 기저를 갖는 것은 서로 동치이다.
차분한 공간에서, 콤팩트 포화 집합들의 하향 집합의 교집합은 콤팩트 포화 집합이다.[1]
3. 3. 베르 공간과의 관계
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.4. 예
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[1]
- 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
- 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
- T1 공간이다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 가 상집합이라면,
:
이며, 각 는 스콧 열린집합이다.
초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 은 재귀 집합을 이룬다.[1]
4. 1. T1 공간
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.- 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
- 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
- T1 공간이다.
4. 2. 원순서 집합
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.- 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
- 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
- T1 공간이다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 가 상집합이라면,
:
이며, 각 는 스콧 열린집합이다.
초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 은 재귀 집합을 이룬다.[1]
4. 3. 극대 원소
초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 은 재귀 집합을 이룬다.[1]
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