포화 집합

1. 개요

포화 집합은 위상 공간의 부분 집합의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 집합을 의미한다. 위상 공간 \(X\)의 부분 집합 \(S\)의 포화화는 \(S\)의 모든 근방들의 교집합으로 정의되며, 포화 집합은 스스로의 포화화와 일치하는 집합이다. 재귀 집합은 \(S\)와 공통 부분이 없는 포화 집합이 공집합인 집합을 의미한다. 포화 집합은 Gδ 집합을 포함하며, 콤팩트 공간, 베르 공간, T1 공간 등과 관련되어 있다. 원순서 집합에서 스콧 위상을 가했을 때 상집합은 포화 집합과 동치 관계를 가지며, 극대 원소들의 집합은 재귀 집합을 이룬다.

2. 정의

위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)의 포화화(saturation^영어) \(\operatorname{sat}(S)\)는 \(S\)의 모든 근방들의 교집합이다.
:$\backslash operatorname\{sat\}(S)=\backslash bigcap\backslash mathcal\; N\_S$
여기서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 근방 필터이다. 이 정의에서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.

위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \(S\)를 포화 집합이라고 한다.
* (열린집합들의 교집합) \(S=\bigcap\mathcal U\)인 열린집합들의 집합 \(\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)\)가 존재한다.
* (스스로의 포화화와 일치) \(\textstyle S=\operatorname{sat}(S)\)

위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)가 다음 조건을 만족시키면, 재귀 집합(recurrent set^영어)이라고 한다.
* (모든 포화 집합과 겹침) \(S\cap T=\varnothing\)인 포화 집합 \(T\subseteq X\)은 공집합밖에 없다.

2.1. 포화화

위상 공간 $(X,\backslash operatorname\{Open\}(X))$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$의 포화화(saturation^영어) $\backslash operatorname\{sat\}(S)$는 $S$의 모든 근방들의 교집합이다.
:$\backslash operatorname\{sat\}(S)=\backslash bigcap\backslash mathcal\; N\_S$
여기서 $\backslash mathcal\; N\_S$는 $S$의 근방 필터이다. 이 정의에서 $\backslash mathcal\; N\_S$는 $S$의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.

위상 공간 $(X,\backslash operatorname\{Open\}(X))$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$가 스스로의 포화화와 일치하면($\backslash textstyle\; S=\backslash operatorname\{sat\}(S)$), $S$를 포화 집합이라고 한다.

2.2. 포화 집합

위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)의 포화화(saturation^영어) \(\operatorname{sat}(S)\)는 \(S\)의 모든 근방들의 교집합이다.
:$\backslash operatorname\{sat\}(S)=\backslash bigcap\backslash mathcal\; N\_S$
여기서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 근방 필터이다. 이 정의에서 \(\mathcal N_S\)는 \(S\)의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.

위상 공간 \((X,\operatorname{Open}(X))\)의 부분 집합 \(S\subseteq X\)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 \(S\)를 포화 집합이라고 한다.
* (열린집합들의 교집합) \(S=\bigcap\mathcal U\)인 열린집합들의 집합 \(\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)\)가 존재한다.
* (스스로의 포화화와 일치) \(\textstyle S=\operatorname{sat}(S)\)

2.3. 재귀 집합

위상 공간 $(X,\backslash operatorname\{Open\}(X))$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$가 $S\backslash cap\; T=\backslash varnothing$인 포화 집합 $T\backslash subseteq\; X$은 공집합밖에 없는 조건을 만족시키면, 재귀 집합(recurrent set^영어)이라고 한다.

3. 성질

3.1. 함의 관계

정의에 따라, 모든 G_δ 집합은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 조밀 집합이다.

3.2. 콤팩트 공간과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여, $S$가 콤팩트 집합인 것과 포화화 $\backslash operatorname\{sat\}(S)$가 콤팩트 집합인 것은 서로 동치이다.

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 모든 점 $x\backslash in\; X$가 콤팩트 국소 기저를 갖는 것과 모든 점이 콤팩트 포화 국소 기저를 갖는 것은 서로 동치이다.

차분한 공간에서, 콤팩트 포화 집합들의 하향 집합의 교집합은 콤팩트 포화 집합이다.

3.3. 베르 공간과의 관계

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 베르 공간이다.
* 모든 재귀 집합은 베르 공간이다.
* 베르 재귀 집합을 갖는다.

4. 예

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
* 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
* T1 공간이다.

원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $X$ 위에 스콧 위상을 가하였을 때, $S$는 포화 집합이다.
* $S$는 상집합이다.

스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 $S$가 상집합이라면,
:$S=\backslash bigcap\_\{x\backslash in\; X\backslash setminus\; S\}X\backslash setminus\backslash mathop\backslash downarrow\; x$
이며, 각 $X\backslash setminus\backslash mathop\backslash downarrow\; x$는 스콧 열린집합이다.

초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 $\backslash max\; X\backslash subseteq\; X$은 재귀 집합을 이룬다.

4.1. T1 공간

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
* 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
* T1 공간이다.

4.2. 원순서 집합

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
* 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
* T1 공간이다.

원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$의 부분 집합 $S\backslash subseteq\; X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $X$ 위에 스콧 위상을 가하였을 때, $S$는 포화 집합이다.
* $S$는 상집합이다.

스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 $S$가 상집합이라면,
:$S=\backslash bigcap\_\{x\backslash in\; X\backslash setminus\; S\}X\backslash setminus\backslash mathop\backslash downarrow\; x$
이며, 각 $X\backslash setminus\backslash mathop\backslash downarrow\; x$는 스콧 열린집합이다.

초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 $\backslash max\; X\backslash subseteq\; X$은 재귀 집합을 이룬다.

4.3. 극대 원소

초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 $\backslash max\; X\backslash subseteq\; X$은 재귀 집합을 이룬다.