대칭차

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 대수적 성질
4. n항 대칭차
5. 측도 공간에서의 대칭차
참조

1. 개요

대칭차는 두 집합 중 어느 한쪽에만 속하는 원소들의 집합으로, 합집합에서 교집합을 뺀 것과 같다. 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하며, 공집합은 항등원, 자기 자신은 역원이다. 대칭차는 멱집합에서 아벨 군을 형성하며, 부울 군의 예시를 제공한다. 또한, n개의 집합에 대한 연산으로 확장될 수 있으며, 측도 공간에서 두 집합 사이의 거리를 측정하는 데 사용될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

집합론의 기본 개념 - 치역
치역은 함수에서 정의역의 모든 원소에 대한 함숫값들의 집합으로, 공역의 부분집합이며, 함수의 상을 의미하거나 공역 전체를 의미하기도 한다.
집합론의 기본 개념 - 항등 함수
항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
이항연산 - 뺄셈
뺄셈은 두 수의 관계를 나타내는 연산으로, 덧셈의 역연산이며, 피감수에서 감수를 빼는 연산으로 차를 구하고, 반교환법칙과 결합 법칙은 성립하지 않으며, 다양한 계산 방법과 함께 여러 분야에서 활용된다.
이항연산 - 나눗셈
나눗셈은 하나의 수를 다른 수로 나누어 몫과 나머지를 구하는 기본적인 산술 연산이다.

대칭차
개요
정의	두 집합 중 어느 한쪽에만 속하는 원소들의 집합
기호	A △ B, A ⊖ B, A ⊕ B
연산
표현식	(A ∖ B) ∪ (B ∖ A)
"A △ B의 벤 다이어그램. 교집합을 제외한 합집합: [[File:Venn0111.svg\|30px]] \ [[File:Venn0001.svg\|30px]] = [[File:Venn0110.svg\|30px]]"
특징
결합 법칙	(A △ B) △ C
항등원	∅ (공집합)
교환 법칙	성립함

2. 정의

두 집합 $A$ 와 $B$ 의 '''대칭차'''는 다음과 같다.^[8]

: $A\bigtriangleup B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$

여기서 $A\cup B$ 는 합집합, $A\cap B$ 는 교집합, $A\setminus B$ 와 $B\setminus A$ 는 차집합을 나타낸다. 다시 말해, 대칭차는 두 집합 가운데 정확히 하나에만 속하는 원소들의 집합이다.

대칭차는 두 상대 여집합의 합집합과 같으며, 이는 다음과 같다.^[1]

: $A\, \Delta\,B = \left(A \setminus B\right) \cup \left(B \setminus A\right),$

대칭차는 또한 두 집합을 설명하는 술어에 대한 XOR 연산 ⊕을 사용하여 표현할 수 있다. 집합-빌더 표기법으로는 다음과 같다.

: $A\mathbin{ \Delta}B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}.$

같은 사실은 대칭차의 지시 함수 (여기서는 $\chi$ 로 표시)가 두 인수의 XOR (또는 덧셈 mod 2)이 된다는 것으로 표현할 수 있다. $\chi_{(A\, \Delta\,B)} = \chi_A \oplus \chi_B$ 또는 아이버슨 괄호 표기법을 사용하면 다음과 같다. $[x \in A\, \Delta\,B] = [x \in A] \oplus [x \in B]$ .

대칭차는 또한 두 집합의 합집합에서 교집합을 뺀 것으로 표현할 수 있다.

: $A\, \Delta\,B = (A \cup B) \setminus (A \cap B),$ ^[1]

특히, $A \mathbin{ \Delta} B\subseteq A\cup B$ 이다. 이 비엄격한 포함에서의 등식은 $A$ 와 $B$ 가 상호 배타적인 집합일 때 만약 그리고 만약에 발생한다. 또한, $D = A \mathbin{ \Delta} B$ 및 $I = A \cap B$ 라고 하면, $D$ 와 $I$ 는 항상 상호 배타적이므로 $D$ 와 $I$ 는 $A \cup B$ 를 분할한다. 결과적으로, 교집합과 대칭차를 기본 연산으로 가정하면 두 집합의 합집합은 다음 등식의 오른쪽에 의해 대칭차의 관점에서 잘 정의될 수 있다.

: $A\,\cup\,B = (A\, \Delta\,B)\, \Delta\,(A \cap B)$ .

3. 성질

대칭차는 교환 법칙과 결합 법칙을 만족시킨다. 공집합은 항등원이며, 모든 집합은 그 자체의 역원이다. 따라서 임의의 집합 ''X''의 멱집합은 대칭차 연산 하에서 아벨 군이 된다.

: $A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A$

: $(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A\bigtriangleup(B\bigtriangleup C)$

: $A\, \Delta\,\varnothing = A$

: $A\, \Delta\,A = \varnothing$

A \mathbin{ \Delta} B = \emptyset

일 필요충분조건은

A = B

이다.

A \mathbin{ \Delta} B = A^c \mathbin{ \Delta} B^c

(여기서

A^c

,

B^c

는 각각 A와 B의 여집합이다.) 교집합은 대칭차에 대해 분배 법칙을 만족한다.

:

A \cap (B\, \Delta\,C) = (A \cap B)\, \Delta\,(A \cap C)

합집합은 대칭차와 교집합으로 표현 가능하다.

:

A\,\cup\,B = (A\, \Delta\,B)\, \Delta\,(A \cap B)

.

''A''와 ''C''의 대칭차는 ''A''와 ''B''의 대칭차와 ''B''와 ''C''의 대칭차의 합집합에 포함된다. (삼각 부등식)^[5]

:

(A\, \Delta\,B)\, \Delta\,(B\, \Delta\,C) = A\, \Delta\,C

집합족에 대한 확장 함수에 대한 성질은 다음과 같다.

$\mathcal{I}$ 가 비어 있지 않은 인덱스 집합일 때, $\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}A_\alpha\right) \Delta\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}B_\alpha\right)\subseteq\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}\left(A_\alpha \mathbin{ \Delta} B_\alpha\right)$ .
함수 $f : S \rightarrow T$ 와 $f$ 의 공역에 속하는 임의의 집합 $A, B \subseteq T$ 에 대해, $f^{-1}\left(A \mathbin{ \Delta} B\right) = f^{-1}\left(A\right) \mathbin{ \Delta} f^{-1}\left(B\right).$ .

3. 1. 대수적 성질

대칭차는 교환 및 결합 법칙을 따른다.^[1]

:

\begin{align}A\, \Delta\,B &= B\, \Delta\,A, \\(A\, \Delta\,B)\, \Delta\,C &= A\, \Delta\,(B\, \Delta\,C).\end{align}

공집합은 대칭차 연산의 중립적 원소이며, 모든 집합은 자기 자신의 역원이다.

:

\begin{align}A\, \Delta\,\varnothing &= A, \\A\, \Delta\,A &= \varnothing.\end{align}

따라서, 임의의 집합 ''X''의 멱집합은 대칭차 연산을 통해 아벨 군이 된다.^[2]^[3] 모든 원소가 자기 자신의 역원인 군을 부울 군이라고 부르는데, 대칭차는 이러한 부울 군의 대표적인 예시이다.^[4] ''X''가 두 개의 원소로만 구성된 경우, 이 군은 클라인 네 원군과 동형이다.

부울 군은 기본 아벨 2-군이기도 하다. 따라서 대칭차 연산으로 유도된 군은 2개의 원소를 갖는 체 '''Z'''₂에 대한 벡터 공간이다. ''X''가 유한 집합이면, 단일 집합들이 이 벡터 공간의 기저를 형성하고, 차원은 ''X''의 원소 개수와 동일하다. 이러한 구성은 그래프 이론에서 그래프의 사이클 공간을 정의하는 데 사용된다.

부울 군의 역원 성질에 따라, 두 번 반복된 대칭차의 대칭차는 두 집합의 결합의 반복된 대칭차와 같으며, 각 집합에 대해 중복 원소를 제거할 수 있다. 특히 다음이 성립한다.

:

(A\, \Delta\,B)\, \Delta\,(B\, \Delta\,C) = A\, \Delta\,C.

이는 삼각 부등식을 의미한다.^[5] 즉, ''A''와 ''C''의 대칭차는 ''A''와 ''B''의 대칭차, ''B''와 ''C''의 대칭차의 합집합에 포함된다.

교집합은 대칭차에 대해 분배 법칙을 갖는다.

:

A \cap (B\, \Delta\,C) = (A \cap B)\, \Delta\,(A \cap C),

이는 ''X''의 멱집합이 대칭차를 덧셈, 교집합을 곱셈으로 하는 환이 됨을 의미하며, 부울 환의 대표적인 예이다.

대칭차의 추가적인 성질은 다음과 같다.

$A \mathbin{ \Delta} B = \emptyset$ <-> $A = B$ .
$A^c$ 와 $B^c$ 가 각각 $A$ 와 $B$ 의 여집합일 때, $A \mathbin{ \Delta} B = A^c \mathbin{ \Delta} B^c$ .
$\mathcal{I}$ 가 비어 있지 않은 인덱스 집합일 때, $\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}A_\alpha\right) \Delta\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}B_\alpha\right)\subseteq\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}\left(A_\alpha \mathbin{ \Delta} B_\alpha\right)$ .
함수 $f : S \rightarrow T$ 와 $f$ 의 공역에 속하는 임의의 집합 $A, B \subseteq T$ 에 대해, $f^{-1}\left(A \mathbin{ \Delta} B\right) = f^{-1}\left(A\right) \mathbin{ \Delta} f^{-1}\left(B\right).$ .

4. n항 대칭차

반복적 대칭 차는 여러 집합(같은 집합이 여러 번 나타날 수 있음)에 대한 연산으로, 홀수 개의 집합에 속하는 원소들의 집합을 제공한다.

집합 모음의 대칭 차는 모음에 있는 집합 중 홀수 개에 속하는 원소만 포함한다.

: $\Delta M = \left\{ a \in \bigcup M: \left|\{A \in M:a \in A\}\right| \text{ is odd}\right\}.$

이는 $\bigcup M$ 의 각 원소가 $M$ 의 유한 개수 원소에 의해서만 나타날 때 잘 정의된다.

$M = \left\{M_1, M_2, \ldots, M_n\right\}$ 가 멀티셋이고 $n \ge 2$ 라고 가정하면, $\Delta M$ 의 원소 개수인 $| \Delta M|$ 에 대한 공식은 $M$ 의 원소들의 교집합만으로 표현할 수 있다.

: $| \Delta M| = \sum_{l=1}^n (-2)^{l-1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_l \leq n} \left|M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap \ldots \cap M_{i_l}\right|.$

대칭차는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족하므로, n개의 집합 의 대칭차 는 순서에 의존하지 않는다.

이러한 성질을 바탕으로, 대칭차는 집합족 $\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 에 대해 다음과 같이 확장될 수 있다. (단, 각 원소에서의 중복도는 유한해야 한다.)

: $\mathop{\triangle}_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \biggl\{ a \in \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \mathrel{\bigg|} \bigl| \{ \lambda\in\Lambda \mid a \in A_\lambda \} \bigr| \text{가 홀수} \biggr\}$

위와 같은 집합족에 대해 $\Lambda$ 및 각 $A_\lambda$ 가 모두 유한 집합일 때, 대칭차의 크기에 대한 공식이 성립한다. (합집합의 경우에도 유사한 공식이 성립한다.)

: $\Bigl| \mathop{\triangle}_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \Bigr| = \sum_{\Mu\subset\Lambda} (-2)^$

5. 측도 공간에서의 대칭차

측도 공간에서 대칭차는 두 집합 사이의 거리를 측정하는 척도로 사용될 수 있다. σ-유한 측도 공간에서 대칭차는 유사 거리를 정의한다. μ가 σ-대수 Σ에서 정의된 σ-유한 측도이면, 함수:

d_\mu(X, Y) = \mu(X\, \Delta\,Y)

는 Σ에 대한 유사 거리이다.

''d_μ''는 Σ가

\mu(X\, \Delta\,Y) = 0

인 경우에만 동치 관계 ''X'' ~ ''Y''에 따라 고려될 때 메트릭이 된다. 이것은 때때로 Fréchet-Nikodym 메트릭이라고도 불린다. 결과적인 메트릭 공간은 L²(μ)가 가분인 경우에만 가분이다.

만약

\mu(X), \mu(Y) < \infty

이면,

|\mu(X) - \mu(Y)| \leq \mu(X\, \Delta\,Y)

가 성립한다.

S = \left(\Omega, \mathcal{A},\mu\right)

가 측도 공간이고

F, G \in \mathcal{A}

가 가측 집합이면, 그들의 대칭차도 가측이다:

F  \Delta G \in \mathcal{A}

.

\mu\left(F  \Delta G\right) = 0

인 경우, 가측 집합

F

와

G

에 대한 동치 관계를 정의할 수 있다.

주어진

\mathcal{D}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}

에 대해, 각

D\in\mathcal{D}

에 대해

D = E\left[\mathcal{A}, \mu\right]

인

E \in \mathcal{E}

가 있으면

\mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]

로 표기한다.

\mathcal{D}

의 ''대칭 폐포''는

D \in \mathcal{D}

와

= \left[\mathcal{A}, \mu\right]

인 모든

\mathcal{A}

-가측 집합의 모임이다.

\mathcal{D}

의 대칭 폐포는

\mathcal{D}

를 포함한다.

\mathcal{D}

가

\mathcal{A}

의 부분

\sigma

-대수이면,

\mathcal{D}

의 대칭 폐포도 그러하다.

하우스도르프 거리와 (넓이의) 대칭차는 모두 측정 가능한 기하학적 도형 집합에 대한 유사 거리이다. 그러나 그들은 매우 다르게 동작한다.

두 집합의 대칭차의 "크기"는 두 집합이 얼마나 다른지를 나타내는 것으로 생각할 수 있다. ''μ''를 집합 ''X'' 위의 측도로 하고, ''Σ''를 측도 유한한 가측 집합 전체로 한다. 이때 ''Σ'' × ''Σ'' 위의 함수 ''d''를

:

d_μ (A,B):=μ(A \bigtriangleup B)

라고 정의하면, 이것은 ''Σ'' 위의 유사 거리가 된다.

이 유사 거리에 관하여 두 집합 간의 거리가 0이 되는 것은 두 집합의 정의 함수가 ''μ''에 관해 거의 모든 곳에서 일치하는 것의 필요충분 조건이다.

''A'', ''B''가 ''Σ''의 원소일 때

\bigl| μ(A) - μ(B) \bigr| \leq μ(A \bigtriangleup B)

가 성립한다.

참조

_[1] 웹사이트 What Is Symmetric Difference in Math? https://www.thoughtc[...] 2019-03-31
_[2] 서적 Introduction to Boolean Algebras Springer Science & Business Media
_[3] 서적 The Connectives https://archive.org/[...] MIT Press
_[4] 서적 Advanced Modern Algebra American Mathematical Soc.
_[5] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill Education 1976-01-01
_[6] 서적 Applications of Graph Theory to Group Structure Prentice-Hall
_[7] 서적 理化学英和辞典 JapanKnowledge
_[8] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com