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유함수

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목차

1. 개요

유함수는 군 G와 공역 X가 주어졌을 때, 모든 h ∈ G에 대해 f(hgh⁻¹) = f(g)를 만족하는 함수 f : G → X를 의미한다. 체 k에 값을 갖는 유함수들은 k-벡터 공간을 이루며, 곱셈에 대해 가환 대수를 형성한다. 또한, 군 G 위의 함수 f가 중심적 또는 류 함수라는 것은 G의 임의의 원소 s, t에 대해 f(sts⁻¹) = f(t)를 만족하는 것을 의미한다. 유함수는 지표, 내적, 콤팩트 군의 힐베르트 환 등과 관련되어 연구되며, 아벨 군 위의 함수, 군 준동형 사상, 비틀림 군의 위수 할당 사상 등이 유함수의 예시로 제시된다.

2. 정의

공역 X가 주어졌을 때, 군 G 위의 함수 f : G → X 가 다음 성질을 만족시키면 f를 유함수라고 한다. 모든 h ∈ G 에 대하여,

:f(hgh⁻¹) = f(g)

체 k에 값을 갖는 유함수들의 집합은 k-벡터 공간을 이루며, 곱셈에 대하여 가환 대수를 이룬다. 이들은 군환 k[G]의 중심을 이룬다.

군 G 위의 함수 f가 중심적 또는 류 함수라는 것은, G의 임의의 원소 s, t에 대해

: f(sts⁻¹) = f(t)

가 성립할 때를 말한다. 또는 같은 의미로, 자연스러운 전단사 (s, t) ↦ (u = st, v = s⁻¹)을 생각하면, 임의의 u, v에 대해

: f(uv) = f(vu)

를 만족시킨다고 할 수도 있다.

3. 성질

체 K에 값을 갖는 유함수들의 집합은 K-벡터 공간을 이루며, 곱셈에 대하여 가환 대수를 이룬다. 이들은 군환 K[G]의 중심을 이룬다. 유한군 G 위의 K-값 유함수들의 벡터 공간은, G의 켤레류 전체 집합을 C라 할 때, KC와 자연스럽게 동형이다.

4. 예시

아벨 군 위의 임의의 함수는 유함수이다. 아벨 군의 켤레류는 모두 단원 집합이기 때문이다. 좀 더 자명하지 않은 유함수의 예는 아벨 군에 값을 갖는 군 준동형 사상에 의해 주어진다. 비틀림 군 G에서 자연수 반군으로, 군의 각 원소에 그 위수를 할당하는 사상 또한 유함수의 예시이다.

5. 지표 (Characters)

''K'' 유함수 위에 정의된 ''G''의 선형 표현의 문자는 항상 ''K'' 값을 갖는 클래스 함수이다. 클래스 함수는 군환 ''K''[''G'']의 중심을 형성한다. 여기서 클래스 함수 ''f''는 \sum_{g \in G} f(g) g의 원소와 동일시된다.

5. 1. 내적 (Inner products)

유한 집합 ''G''의 체 ''K''를 값으로 갖는 함수들의 집합은 ''K''-벡터 공간을 형성한다. 만약 ''G''가 유한 집합이고 체의 표수가 ''G''의 차수를 나누지 않는다면, 이 공간에는 \langle \phi, \psi \rangle = \frac{1}

\sum_{g \in G} \phi(g) \overline{\psi(g)}로 정의되는 내적이 존재한다. 여기서 |''G''|는 ''G''의 차수를 나타내고, 윗줄은 체 ''K''에서의 켤레 복소수를 의미한다. ''G''의 기약 지표 집합은 직교 기저를 형성하며, 만약 ''K''가 ''G''에 대한 분해체라면, 예를 들어 ''K''가 대수적으로 닫힌 체라면, 기약 지표는 정규 직교 기저를 형성한다.

콤팩트 군의 경우와 ''K'' = '''C''' 즉 복소수 체의 경우, 하르 측도의 개념은 위의 유한 합을 적분으로 대체할 수 있게 해준다: \langle \phi, \psi \rangle = \int_G \phi(t) \overline{\psi(t)}\, dt.

''K''가 실수 또는 복소수인 경우, 내적은 비퇴화 에르미트 쌍선형 형식이다.

5. 2. 콤팩트 군의 경우

콤팩트 군의 경우, 복소수 체 '''C'''에서는 하르 측도의 개념을 이용해 유한 합을 적분으로 대체할 수 있다. 즉, \langle \phi, \psi \rangle = \int_G \phi(t) \overline{\psi(t)}\, dt. 와 같이 표현 가능하다. ''K''가 실수 또는 복소수인 경우, 이 내적은 비퇴화 에르미트 쌍선형 형식이다.

6. 콤팩트 군의 힐베르트 환

를 콤팩트군으로 하고, 그 위의 하르 측도 를 평행 이동 불변인 유일한 확률 측도로 정의한다. (''G'')}}는 위의 제곱 -가적분 함수 전체로 구성된 힐베르트 공간으로, 이 공간 위에 컨볼루션 곱과 대합을 정의할 수 있다.


  • 결합적, 분배적이며 상수 함수 를 단위 원소로 하는 컨볼루션 곱
  • : f*g(s)=\int_Gf(t)g(st^{-1})d\lambda(t)\quad(f,g\in L^2(G)),
  • 대합
  • : f^*(s)=\overline{f(s^{-1})}\quad(f\in L^2(G)).


이들에 의해 (''G'')}}는 대합 바나흐 환이 되고, 나아가 힐베르트 대수(Hilbertalgebra, en:Commutation theorem#Hilbert algebras)를 이룬다.

(''G'')}}의 중심은 위의 제곱 가적분이고 중심적인 가측 함수 전체로 이루어진 닫힌 부분 공간이다.

6. 1. 콤팩트 군의 지표

콤팩트 군 G 위의 유한 차원 연속 표현은, 유한 차원 복소 벡터 공간 V 에 대해, 연속 사상 ρ: G → GL(V)를 말한다. 부속하는 지표는 χρ(s) = tr[ρ(s)] 로 정의되는 유함수이다. 동치인 두 표현은 같은 지표를 갖는다.

연속 기약 표현에 부속하는 지표를 기약 지표라고 부른다. 임의의 기약 지표는 L²(G)에 속하며, 서로 동치가 아닌 기약 지표는 서로 직교한다. 기약 지표 전체는 L²(G)의 힐베르트 기저를 이룬다.

유한군 G 에 대해서는, 기약 표현의 수는 G 의 켤레류의 수와 같다.


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