유함수

1. 개요

유함수는 군 G와 공역 X가 주어졌을 때, 모든 h ∈ G에 대해 f(hgh⁻¹) = f(g)를 만족하는 함수 f : G → X를 의미한다. 체 k에 값을 갖는 유함수들은 k-벡터 공간을 이루며, 곱셈에 대해 가환 대수를 형성한다. 또한, 군 G 위의 함수 f가 중심적 또는 류 함수라는 것은 G의 임의의 원소 s, t에 대해 f(sts⁻¹) = f(t)를 만족하는 것을 의미한다. 유함수는 지표, 내적, 콤팩트 군의 힐베르트 환 등과 관련되어 연구되며, 아벨 군 위의 함수, 군 준동형 사상, 비틀림 군의 위수 할당 사상 등이 유함수의 예시로 제시된다.

2. 정의

공역 X가 주어졌을 때, 군 G 위의 함수 f : G → X 가 다음 성질을 만족시키면 f를 유함수라고 한다. 모든 h ∈ G 에 대하여,

:f(hgh⁻¹) = f(g)

체 k에 값을 갖는 유함수들의 집합은 k-벡터 공간을 이루며, 곱셈에 대하여 가환 대수를 이룬다. 이들은 군환 k[G]의 중심을 이룬다.

군 G 위의 함수 f가 중심적 또는 류 함수라는 것은, G의 임의의 원소 s, t에 대해

: f(sts⁻¹) = f(t)

가 성립할 때를 말한다. 또는 같은 의미로, 자연스러운 전단사 (s, t) ↦ (u = st, v = s⁻¹)을 생각하면, 임의의 u, v에 대해

: f(uv) = f(vu)

를 만족시킨다고 할 수도 있다.

3. 성질

체 K에 값을 갖는 유함수들의 집합은 K-벡터 공간을 이루며, 곱셈에 대하여 가환 대수를 이룬다. 이들은 군환 K[G]의 중심을 이룬다. 유한군 G 위의 K-값 유함수들의 벡터 공간은, G의 켤레류 전체 집합을 C라 할 때, K^C와 자연스럽게 동형이다.

4. 예시

아벨 군 위의 임의의 함수는 유함수이다. 아벨 군의 켤레류는 모두 단원 집합이기 때문이다. 좀 더 자명하지 않은 유함수의 예는 아벨 군에 값을 갖는 군 준동형 사상에 의해 주어진다. 비틀림 군 G에서 자연수 반군으로, 군의 각 원소에 그 위수를 할당하는 사상 또한 유함수의 예시이다.

5. 지표 (Characters)

K 유함수 위에 정의된 G의 선형 표현의 문자는 항상 K 값을 갖는 클래스 함수이다. 클래스 함수는 군환 K[G]의 중심을 형성한다. 여기서 클래스 함수 f는 $\backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; f(g)\; g$의 원소와 동일시된다.

5.1. 내적 (Inner products)

유한 집합 G의 체 K를 값으로 갖는 함수들의 집합은 K-벡터 공간을 형성한다. 만약 G가 유한 집합이고 체의 표수가 G의 차수를 나누지 않는다면, 이 공간에는 $\backslash langle\; \backslash phi,\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; \backslash frac\{1\}$