인수 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 다항식의 인수분해
- 4.1. 다항식 인수분해 과정
- 4.2. 예제
5. 다변수 다항식의 인수 정리
6. 대수적으로 닫힌 체
참조

1. 개요

인수 정리는 환 R과 다항식 f(x)에 대해, f(r) = 0이면 x-r이 f(x)의 인수라는 것을 나타내는 정리이다. 이는 다항식의 인수분해와 다항식 방정식의 근을 찾는 데 응용되며, 특히 유리수 계수 다항식의 경우 유리근 정리를 활용하여 근의 후보를 좁힐 수 있다. 인수 정리는 다변수 다항식에도 적용 가능하며, 대수적으로 닫힌 체에서 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있게 해준다.

2. 정의

환 $R$ 및 다항식 $f\in R[x]$ 및 중심의 원소 $r\in\operatorname Z(R)$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$x-r\mid f(x)$ . 즉, $f(x)=(x-r)g(x)$ 인 다항식 $g\in R[x]$ 가 존재한다.
$f(r)=0$ . 즉, $r$ 는 $f(x)$ 의 근이다.

3. 증명

인수 정리^한국어에 따르면, 환 $R$ 및 다항식 $f\in R[x]$ 및 중심의 원소 $r\in\operatorname Z(R)$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$x-r\mid f(x)$ . 즉, $f(x)=(x-r)g(x)$ 인 다항식 $g\in R[x]$ 가 존재한다.
$f(r)=0$ . 즉, $r$ 는 $f(x)$ 의 근이다.

첫 번째 조건은

f(x)

를

x-r

로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. 다항식 나머지 정리에 따라,

f(x)

를

x-r

로 나눈 나머지는

f(r)\in R

이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다.

만약

x-a

가

f(x)

의 인수라면,

f(a)=0

임은 자명하다. 따라서, 다음에서는 역만 증명한다.

이 증명은

a = 0

에 대해 명제를 확인하는 것으로 시작한다. 즉,

f(0) = 0

인 모든 다항식

f(x)

에 대해

f(x) =x\cdot g(x)

가 되는 다항식

g(x)

가 존재함을 보일 것이다. 이를 위해

f(x)

를

c_0 +c_1 x^1 + \dotsc + c_n x^n

로 명시적으로 작성한다. 이제

0 = f(0) = c_0

이므로

c_0 = 0

임을 알 수 있다. 따라서

f(x) = x(c_1 + c_2 x^1 + \dotsc + c_{n} x^{n-1}) = x \cdot g(x)

이다.

남은 것은

a = 0

경우로 축소하여 일반적인

a

에 대해 정리를 증명하는 것이다. 이를 위해

f(x + a)

는

x = 0

에서 근을 갖는 다항식임을 관찰한다. 위에서 보인 바에 따르면, 어떤 다항식

g(x)

에 대해

f(x + a) = x \cdot g(x)

이다. 마지막으로,

f(x) = f((x - a) + a) = (x - a)\cdot g(x - a)

이다.

x

와

y

가 임의의 가환환(같은 환)에 속할 때마다 항등식

x^n - y^n = (x - y)(y^{n-1} + x^1 y^{n-2} + \dotsc + x^{n-2}y^{1} + x^{n-1})

이 성립한다. 이는 괄호를 전개하여 증명할 수 있다.

f(X) \in R\left[ X \right]

라고 하자. 여기서

R

은 임의의 가환환이다. 계수

(c_i)_i

의 수열에 대해

f(X) = \sum_i c_i X^i

로 나타내자.

f(a) = 0

for some

a \in R

이라고 가정한다. 그러면

f(X) = f(X) - f(a) = \sum_{i} c_i(X^i - a^i)

임을 관찰한다. 위에서 논의한

x^n - y^n

형태의 식의 인수분해에 의해 각 합은

X - a

를 인수로 갖는다는 것을 관찰한다. 따라서

X - a

가

f(X)

의 인수임을 결론 내릴 수 있다.

이 정리는 다항식의 유클리드 나눗셈을 사용하여 증명할 수 있다.

f(x)

를

(x-a)

로 유클리드 나눗셈을 수행하여

f(x) = (x - a) Q(x)+ R(x)

를 얻는다. 여기서

\deg(R) < \deg(x - a)

이다.

R

은 상수이고,

0 = f(a) = R

이므로,

f(x) = (x - a)Q(x)

이다.

위의 유클리드 나눗셈은

(x - a)

가 모닉 다항식이므로 모든 가환환에서 가능하다. 따라서 다항식 나눗셈 알고리즘은 계수의 나눗셈을 포함하지 않는다.

4. 다항식의 인수분해

인수 정리는 다항식 인수분해 및 다항식 방정식의 근을 찾는 데에 응용된다. 특히, 유리수 계수 다항식의 경우 유리근 정리를 이용하여 근의 후보를 좁힐 수 있다. 인수 정리가 흔히 적용되는 두 가지 문제는 다항식 인수분해와 다항식 방정식의 근을 찾는 문제인데, 이 정리의 직접적인 결과로 이 두 문제는 본질적으로 동일하다.^[3] 다항식을 일차식의 곱으로 인수분해하는 것은 "다항식의 근을 구하는 것"과 본질적으로 같은 문제이다.

4. 1. 다항식 인수분해 과정

인수 정리는 일반적으로 다항식을 인수분해하고 다항식의 근을 찾는 두 가지 문제에 적용된다. 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하여, 더 낮은 차수의 다항식을 생성해 근을 쉽게 찾도록 돕는다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.^[9]

# 다항식

f

의 근인

a

를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.)

# 인수 정리를 사용하여

(x-a)

가

f(x)

의 인수라고 결론 내린다.

# 다항식 장제법 또는 조립제법을 사용하여 다항식

g(x) = \frac{f(x)}{(x-a)}

를 구한다.

#

f(x)=0

의 근은

a

와

g(x)=0

의 근이라는 결론을 내린다.

g

의 다항식 차수가

f

의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에

g

를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단하다.

다항식

f

가 완전히 인수분해될 때까지, 즉 모든 인수가

\mathbb{R}[x]

또는

\mathbb{C}[x]

에서 기약적일 때까지 이 과정을 계속한다.

구체적인 절차는 다음과 같다.^[6]

# 다항식 의 근 를 "추측"한다. (일반적으로 이는 매우 어렵다. 단, 계수체가 유리수인 경우, '''유리근 정리'''에 의해 유리근의 후보가 유한 개로 좁혀진다. 계수체가 실수인 경우, 그래프에서 근의 근사값을 구할 수 있다.)

# 인수 정리에 의해 는 의 인수이다.

# polynomial long division|다항식의 나눗셈^영어, synthetic division|조립제법^영어 등을 이용하여 를 로 나누어 다항식 를 구한다.

# 의 이외의 근은 의 근이다. 의 차수는 보다 하나 낮아지므로 의 이외의 근을 구하는 것은 더 쉬워진다.

4. 2. 예제

x^3 + 7x^2 + 8x + 2

를 인수분해하는 예시는 다음과 같다.

1. 유리근 정리를 이용하여 유리수 근의 후보를 찾는다. 가능한 후보는

1, -1, 2, -2

이다.

2.

x = 1

을 대입하면,

(1)^3 + 7(1)^2 + 8(1) + 2 = 18 \ne 0

이므로

(x - 1)

은 인수가 아니다.

3.

x = -1

을 대입하면,

(-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 0

이므로

x + 1

이 인수이고,

-1

은 근이다.

4.

x^3 + 7x^2 + 8x + 2

를

(x + 1)

로 나누면,

x^2 + 6x + 2

를 얻는다. 즉,

(x+1)

과

x^2 + 6x + 2

는

x^3 + 7x^2 + 8x + 2

의 인수이다.

5.

x^2 + 6x + 2

는 이차 방정식의 근의 공식을 이용하여 인수분해할 수 있으며, 근은

-3\pm \sqrt{7}

이다.

6. 따라서 원래 다항식의 세 기약 인수는

x+1

,

x-(-3+\sqrt{7})

,

x-(-3-\sqrt{7})

이다.

x^3 + 4x^2 + 3x - 2

를 유리수 범위에서 인수분해하는 예시는 다음과 같다.

1. 유리근 정리에 따라 가능한 근의 후보는

±2, ±1

이다. 이 중

x = -2

가 근이다.

2. 인수 정리에 따라,

x^3 + 4x^2 + 3x - 2

는

x + 2

를 인수로 가진다.

3. 조립제법 등을 통해

x^3 + 4x^2 + 3x - 2

를

x + 2

로 나누면,

x^2 + 2x - 1

을 얻는다. 즉,

x^3 + 4x^2 + 3x - 2 = (x + 2)(x^2 + 2x - 1)

이다.

5. 다변수 다항식의 인수 정리

를 개의 변수 의 다항식, 를 이외의 개의 변수 의 다항식으로 한다.

; 정리

: 가 를 인수로 갖기 위한 필요충분 조건은 이 되는 것이다.

이는 , 를 의 다항식으로 보면 는 에 관해 상수이므로, 일변수의 경우의 인수 정리에 의해 따른다. 주목하는 변수를 바꾸면, 각 변수에 대해 동일한 주장이 성립한다.

예를 들어 를 반데르몽드 행렬식

: $f(X_1,X_2,\ldots,X_n) := \begin{vmatrix}1 &X_1 &{X_1}^2 &\cdots &{X_1}^{n-1} \\1 &X_2 &{X_2}^2 &\cdots &{X_2}^{n-1} \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1 &X_n &{X_n}^2 &\cdots &{X_n}^{n-1}\end{vmatrix}$

라고 할 때 이 명백히 성립하므로, 로 하여 인수 정리를 적용하면, 는 로 나누어 떨어진다는 것을 알 수 있다. 유사한 논의에 의해, 는 차적 로 나누어 떨어진다는 것을 알 수 있다.

6. 대수적으로 닫힌 체

대수적으로 닫힌 체는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 체이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치이다. 이는 또한 나머지 정리의 따름정리이지만, 반대로 이를 증명하는 데 사용할 수 있다.

다항식이 다변수이고 계수가 대수적으로 닫힌 체를 형성할 때, 영점 정리는 중요하고 심오한 일반화이다.

참조

_[1] 서적 Algebra and Trigonometry Prentice Hall
_[2] 서적 Longman ICSE Mathematics Class 10 Dorling Kindersley (India)
_[3] 서적 Comprehensive Mathematics IX Laxmi Publications
_[4] 서적 Algebra and Trigonometry Prentice Hall
_[5] 서적 Longman ICSE Mathematics Class 10 Dorling Kindersley (India)
_[6] 서적 Comprehensive Mathematics IX Laxmi Publications
_[7] 서적 Algebra and Trigonometry Prentice Hall
_[8] 서적 Longman ICSE Mathematics Class 10 Dorling Kindersley (India)
_[9] 서적 Comprehensive Mathematics IX Laxmi Publications

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