인수 정리

1. 개요

인수 정리는 환 R과 다항식 f(x)에 대해, f(r) = 0이면 x-r이 f(x)의 인수라는 것을 나타내는 정리이다. 이는 다항식의 인수분해와 다항식 방정식의 근을 찾는 데 응용되며, 특히 유리수 계수 다항식의 경우 유리근 정리를 활용하여 근의 후보를 좁힐 수 있다. 인수 정리는 다변수 다항식에도 적용 가능하며, 대수적으로 닫힌 체에서 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있게 해준다.

2. 정의

환 $R$ 및 다항식 $f\backslash in\; R[x]$ 및 중심의 원소 $r\backslash in\backslash operatorname\; Z(R)$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $x-r\backslash mid\; f(x)$. 즉, $f(x)=(x-r)g(x)$인 다항식 $g\backslash in\; R[x]$가 존재한다.
* $f(r)=0$. 즉, $r$는 $f(x)$의 근이다.

3. 증명

인수 정리^한국어에 따르면, 환 $R$ 및 다항식 $f\backslash in\; R[x]$ 및 중심의 원소 $r\backslash in\backslash operatorname\; Z(R)$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $x-r\backslash mid\; f(x)$. 즉, $f(x)=(x-r)g(x)$인 다항식 $g\backslash in\; R[x]$가 존재한다.
* $f(r)=0$. 즉, $r$는 $f(x)$의 근이다.

첫 번째 조건은 $f(x)$를 $x-r$로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. 다항식 나머지 정리에 따라, $f(x)$를 $x-r$로 나눈 나머지는 $f(r)\backslash in\; R$이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다.

만약 $x-a$가 $f(x)$의 인수라면, $f(a)=0$임은 자명하다. 따라서, 다음에서는 역만 증명한다.

이 증명은 $a\; =\; 0$에 대해 명제를 확인하는 것으로 시작한다. 즉, $f(0)\; =\; 0$인 모든 다항식 $f(x)$에 대해 $f(x)\; =x\backslash cdot\; g(x)$가 되는 다항식 $g(x)$가 존재함을 보일 것이다. 이를 위해 $f(x)$를 $c\_0\; +c\_1\; x^1\; +\; \backslash dotsc\; +\; c\_n\; x^n$로 명시적으로 작성한다. 이제 $0\; =\; f(0)\; =\; c\_0$이므로 $c\_0\; =\; 0$임을 알 수 있다. 따라서 $f(x)\; =\; x(c\_1\; +\; c\_2\; x^1\; +\; \backslash dotsc\; +\; c\_\{n\}\; x^\{n-1\})\; =\; x\; \backslash cdot\; g(x)$이다.

남은 것은 $a\; =\; 0$ 경우로 축소하여 일반적인 $a$에 대해 정리를 증명하는 것이다. 이를 위해 $f(x\; +\; a)$는 $x\; =\; 0$에서 근을 갖는 다항식임을 관찰한다. 위에서 보인 바에 따르면, 어떤 다항식 $g(x)$에 대해 $f(x\; +\; a)\; =\; x\; \backslash cdot\; g(x)$이다. 마지막으로, $f(x)\; =\; f((x\; -\; a)\; +\; a)\; =\; (x\; -\; a)\backslash cdot\; g(x\; -\; a)$이다.

$x$와 $y$가 임의의 가환환(같은 환)에 속할 때마다 항등식 $x^n\; -\; y^n\; =\; (x\; -\; y)(y^\{n-1\}\; +\; x^1\; y^\{n-2\}\; +\; \backslash dotsc\; +\; x^\{n-2\}y^\{1\}\; +\; x^\{n-1\})$이 성립한다. 이는 괄호를 전개하여 증명할 수 있다.

$f(X)\; \backslash in\; R\backslash left[\; X\; \backslash right]$라고 하자. 여기서 $R$은 임의의 가환환이다. 계수 $(c\_i)\_i$의 수열에 대해 $f(X)\; =\; \backslash sum\_i\; c\_i\; X^i$로 나타내자. $f(a)\; =\; 0$ for some $a\; \backslash in\; R$이라고 가정한다. 그러면 $f(X)\; =\; f(X)\; -\; f(a)\; =\; \backslash sum\_\{i\}\; c\_i(X^i\; -\; a^i)$임을 관찰한다. 위에서 논의한 $x^n\; -\; y^n$ 형태의 식의 인수분해에 의해 각 합은 $X\; -\; a$를 인수로 갖는다는 것을 관찰한다. 따라서 $X\; -\; a$가 $f(X)$의 인수임을 결론 내릴 수 있다.

이 정리는 다항식의 유클리드 나눗셈을 사용하여 증명할 수 있다. $f(x)$를 $(x-a)$로 유클리드 나눗셈을 수행하여 $f(x)\; =\; (x\; -\; a)\; Q(x)+\; R(x)$를 얻는다. 여기서 이다. $R$은 상수이고, $0\; =\; f(a)\; =\; R$이므로, $f(x)\; =\; (x\; -\; a)Q(x)$이다.

위의 유클리드 나눗셈은 $(x\; -\; a)$가 모닉 다항식이므로 모든 가환환에서 가능하다. 따라서 다항식 나눗셈 알고리즘은 계수의 나눗셈을 포함하지 않는다.

4. 다항식의 인수분해

인수 정리는 다항식 인수분해 및 다항식 방정식의 근을 찾는 데에 응용된다. 특히, 유리수 계수 다항식의 경우 유리근 정리를 이용하여 근의 후보를 좁힐 수 있다. 인수 정리가 흔히 적용되는 두 가지 문제는 다항식 인수분해와 다항식 방정식의 근을 찾는 문제인데, 이 정리의 직접적인 결과로 이 두 문제는 본질적으로 동일하다. 다항식을 일차식의 곱으로 인수분해하는 것은 "다항식의 근을 구하는 것"과 본질적으로 같은 문제이다.

4.1. 다항식 인수분해 과정

인수 정리는 일반적으로 다항식을 인수분해하고 다항식의 근을 찾는 두 가지 문제에 적용된다. 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하여, 더 낮은 차수의 다항식을 생성해 근을 쉽게 찾도록 돕는다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.

# 다항식 $f$의 근인 $a$를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.)
# 인수 정리를 사용하여 $(x-a)$가 $f(x)$의 인수라고 결론 내린다.
# 다항식 장제법 또는 조립제법을 사용하여 다항식 $g(x)\; =\; \backslash frac\{f(x)\}\{(x-a)\}$를 구한다.
# $f(x)=0$의 근은 $a$와 $g(x)=0$의 근이라는 결론을 내린다. $g$의 다항식 차수가 $f$의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에 $g$를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단하다.

다항식 $f$가 완전히 인수분해될 때까지, 즉 모든 인수가 $\backslash mathbb\{R\}[x]$ 또는 $\backslash mathbb\{C\}[x]$에서 기약적일 때까지 이 과정을 계속한다.

구체적인 절차는 다음과 같다.

# 다항식 의 근 를 "추측"한다. (일반적으로 이는 매우 어렵다. 단, 계수체가 유리수인 경우, 유리근 정리에 의해 유리근의 후보가 유한 개로 좁혀진다. 계수체가 실수인 경우, 그래프에서 근의 근사값을 구할 수 있다.)
# 인수 정리에 의해 는 의 인수이다.
# polynomial long division^영어, synthetic division^영어 등을 이용하여 를 로 나누어 다항식 를 구한다.
# 의 이외의 근은 의 근이다. 의 차수는 보다 하나 낮아지므로 의 이외의 근을 구하는 것은 더 쉬워진다.

4.2. 예제

$x^3\; +\; 7x^2\; +\; 8x\; +\; 2$를 인수분해하는 예시는 다음과 같다.

1. 유리근 정리를 이용하여 유리수 근의 후보를 찾는다. 가능한 후보는 $1,\; -1,\; 2,\; -2$ 이다.
2. $x\; =\; 1$을 대입하면, $(1)^3\; +\; 7(1)^2\; +\; 8(1)\; +\; 2\; =\; 18\; \backslash ne\; 0$ 이므로 $(x\; -\; 1)$은 인수가 아니다.
3. $x\; =\; -1$을 대입하면, $(-1)^3\; +\; 7(-1)^2\; +\; 8(-1)\; +\; 2\; =\; 0$ 이므로 $x\; +\; 1$이 인수이고, $-1$은 근이다.
4. $x^3\; +\; 7x^2\; +\; 8x\; +\; 2$를 $(x\; +\; 1)$로 나누면, $x^2\; +\; 6x\; +\; 2$를 얻는다. 즉, $(x+1)$과 $x^2\; +\; 6x\; +\; 2$는 $x^3\; +\; 7x^2\; +\; 8x\; +\; 2$의 인수이다.
5. $x^2\; +\; 6x\; +\; 2$는 이차 방정식의 근의 공식을 이용하여 인수분해할 수 있으며, 근은 $-3\backslash pm\; \backslash sqrt\{7\}$이다.
6. 따라서 원래 다항식의 세 기약 인수는 $x+1$, $x-(-3+\backslash sqrt\{7\})$, $x-(-3-\backslash sqrt\{7\})$이다.

$x^3\; +\; 4x^2\; +\; 3x\; -\; 2$ 를 유리수 범위에서 인수분해하는 예시는 다음과 같다.

1. 유리근 정리에 따라 가능한 근의 후보는 $\pm 2,\; \pm 1$ 이다. 이 중 $x\; =\; -2$ 가 근이다.
2. 인수 정리에 따라, $x^3\; +\; 4x^2\; +\; 3x\; -\; 2$ 는 $x\; +\; 2$ 를 인수로 가진다.
3. 조립제법 등을 통해 $x^3\; +\; 4x^2\; +\; 3x\; -\; 2$ 를 $x\; +\; 2$ 로 나누면, $x^2\; +\; 2x\; -\; 1$ 을 얻는다. 즉, $x^3\; +\; 4x^2\; +\; 3x\; -\; 2\; =\; (x\; +\; 2)(x^2\; +\; 2x\; -\; 1)$이다.

5. 다변수 다항식의 인수 정리

를 개의 변수 의 다항식, 를 이외의 개의 변수 의 다항식으로 한다.

; 정리
: 가 를 인수로 갖기 위한 필요충분 조건은 이 되는 것이다.
이는 , 를 의 다항식으로 보면 는 에 관해 상수이므로, 일변수의 경우의 인수 정리에 의해 따른다. 주목하는 변수를 바꾸면, 각 변수에 대해 동일한 주장이 성립한다.

예를 들어 를 반데르몽드 행렬식
:$f(X\_1,X\_2,\backslash ldots,X\_n)\; :=\; \backslash begin\{vmatrix\}$
1 &X_1 &{X_1}^2 &\cdots &{X_1}^{n-1} \\
1 &X_2 &{X_2}^2 &\cdots &{X_2}^{n-1} \\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
1 &X_n &{X_n}^2 &\cdots &{X_n}^{n-1}
\end{vmatrix}
라고 할 때 이 명백히 성립하므로, 로 하여 인수 정리를 적용하면, 는 로 나누어 떨어진다는 것을 알 수 있다. 유사한 논의에 의해, 는 차적 로 나누어 떨어진다는 것을 알 수 있다.

6. 대수적으로 닫힌 체

대수적으로 닫힌 체는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 체이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치이다. 이는 또한 나머지 정리의 따름정리이지만, 반대로 이를 증명하는 데 사용할 수 있다.

다항식이 다변수이고 계수가 대수적으로 닫힌 체를 형성할 때, 영점 정리는 중요하고 심오한 일반화이다.