중심 (대수학)

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1. 개요

중심(center)은 이항 연산을 갖는 대수 구조에서 모든 원소와 교환 가능한 원소들의 집합이다. 군, 환, 결합 대수, 리 대수 등 다양한 대수 구조에서 정의되며, 각 구조의 중심은 고유한 성질을 갖는다. 군의 중심은 아벨 부분군이며, 환의 중심은 가환 부분환이다. 리 대수의 중심은 아이디얼이며, 대수 구조가 중심과 같다는 것은 가환이라는 것과 동치이다.

중심 (대수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 군의 중심의 성질
- 3.2. 환의 중심의 성질
4. 주요 대수 구조의 중심

2. 정의

이항 연산 $\cdot$ 을 가진 대수 구조 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 중심 $Z(X)$ 은 모든 $x\in X$ 에 대해 $x\cdot z=z\cdot x$ 를 만족하는 $z\in X$ 들의 집합이다.

: $\{z\in X\colon x\cdot z=z\cdot x\forall x\in X\}$

이는 일부 대수 구조에서 $X$ 의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 $Z$ 인데, 이는 중심을 뜻하는 Zentrum^독일어의 머릿글자다.

결합 대수 A의 중심은 다음과 같은 가환인 부분 대수이다.

: $\mathrm Z(A)=\{z\in A\mid za=az\ \text{for all}\ a\in A\}$

대수가 그 중심과 같다는 것과 가환이라는 것은 동치이다.

2.1. 군의 중심

군 $G$ 의 중심 $Z(G)$ 는 $G$ 의 모든 원소 $g$ 에 대해 $gz = zg$ 를 만족하는 원소 $z$ 들의 집합이다. 군 $G$ 의 중심 $Z(G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우 $Z(G)=G$ 이다.

2.2. 환의 중심

환 R의 중심은 환의 모든 원소와 교환 가능한 원소들의 집합으로 다음과 같이 정의된다.

: $\mathrm Z(R)=\{z\in R\mid za=az\ \text{for all}\ a\in R\}.$

$Z(R)$ 은 R의 가환 부분환이다. 환이 중심과 같다는 것은 가환이라는 것과 동치이다.

유사환 $(R,+,\cdot)$ 의 중심은 곱셈 $\cdot$ 에 대한 중심이며 (덧셈에 대한 중심은 자명하다), 항상 부분 유사환을 이룬다. $R$ 는 $Z(R)$ 위의 결합 대수를 이룬다.

환 $(R,+,\cdot)$ 의 중심은 유사환으로서의 중심과 같으며, 항상 부분환을 이룬다. $R$ 는 $Z(R)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 $D$ 의 중심 $Z(D)$ 은 체를 이루며, $D$ 는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

2.3. 리 대수의 중심

리 대수 $\mathfrak g$ 의 중심은 $\mathfrak z(\mathfrak g)=\{z\in \mathfrak g\mid[x,z]=0\ \text{for all}\ x\in\mathfrak g\}$ 인 아이디얼이다. 여기서 $[\cdot,\cdot]$ 는 리 괄호 $\mathfrak g$ 의 곱을 나타낸다. 리 대수가 그 중심과 같다는 것과 가환이라는 것은 동치이다.

3. 성질

이항 연산에 대한 항등원이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다. 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고 항등원을 가지며, 어떤 중심 원소에 대한 역원이 존재한다면, 그 역원 역시 중심에 속한다.

결합 대수 A의 중심은 가환인 부분 대수이다. 대수가 그 중심과 같다는 것은 가환이라는 것과 동치이다.

3.1. 군의 중심의 성질

군의 중심 $Z(G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우 $Z(G)=G$ 이다.

$G$ 의 중심은 부분군이다. $x$ 와 $y$ 를 $Z(G)$ 의 원소라고 하면, 임의의 $g\in G$ 에 대해,
: $(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)$
이므로, $xy$ 도 중심에 들어간다. 마찬가지로, $x^{-1}$ 도 중심에 들어간다.
: $x^{-1}g = (g^{-1}x)^{-1} = (xg^{-1})^{-1} = gx^{-1}$ .
군의 단위 원소 $e$ 는 항상 중심에 들어간다. $eg = g = ge$ .

중심은 아벨 군이며 $G$ 의 정규 부분군이다. $G$ 의 특성 부분군이기도 하며, 모든 자기 동형 사상에서 불변이다. 중심은 강특성(strictly characteristic)이기도 하며, 모든 전사 자기 준동형 사상에서 불변이다. $G$ 가 아벨 군인 것과 $Z(G) = G$ 는 동치이다.

중심은 $z$ 에 의한 켤레가 항등 사상인, $G$ 의 원소 $z$ 로 구성된다. 중심을 중심화 부분군의 특수한 경우로 정의할 수도 있다. $C_G(G)=Z(G)$ 이다.

3.2. 환의 중심의 성질

환의 중심 $Z(R)$ 은 R의 가환 부분환이다. 환이 중심과 같다는 것은 가환이라는 것과 동치이다.

4. 주요 대수 구조의 중심

군의 중심은 군의 모든 원소와 교환 가능한 원소들의 집합이다. 군 $G$ 의 중심 $Z(G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우 $Z(G)=G$ 이다. 일반 선형군 $\mathrm{GL} (n,K)$ 의 중심은 단위 행렬 $E_n$ 의 스칼라 배로 이루어진다.

: $Z\left( \mathrm{GL} (n,K) \right) = \{ \lambda E_n\colon \lambda \in K^{*} \}$ .

환의 중심은 환의 모든 원소와 곱셈에 대해 교환 가능한 원소들의 집합이다. 환 $(R,+,\cdot)$ 의 중심은 곱셈에 대한 중심이며, 이는 항상 부분환을 이룬다. $R$ 는 $Z(R)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다. 나눗셈환 $D$ 의 중심 $Z(D)$ 은 체를 이루며, $D$ 는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 중심은 다음과 같은 스칼라 행렬이다.
: $Z(\operatorname{Mat}(n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K$
행렬환은 이에 따라 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

4.1. 군의 중심

군 $G$ 의 중심 $Z(G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우 $Z(G)=G$ 이다.

일반 선형군 $\mathrm{GL} (n,K)$ 의 중심은 단위 행렬 $E_n$ 의 스칼라 배로 이루어진다.

: $Z\left( \mathrm{GL} (n,K) \right) = \{ \lambda E_n\colon \lambda \in K^{*} \}$ .

교환자를 브래킷 곱으로 하는 결합 대수에 대해 두 중심의 개념은 일치한다.

4.1.1. 예시

사원수군 $Q_8$ 의 중심은 $\{+1,-1\}$ 이다. 대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ ( $n\ge3$ )의 중심은 자명군이다. 교대군 $\operatorname{Alt}(n)$ ( $n\ge4$ )의 중심은 자명군이다.

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좌우로 밀어서 보기

\| 중심
사원수군 $Q_8$	$\{+1,-1\}$
대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ ( $n\ge3$ )	자명군
교대군 $\operatorname{Alt}(n)$ ( $n\ge4$ )	자명군
일반선형군 $\operatorname{GL}(n;K)$	$\{aI_{n\times n}\colon a\in K\setminus\{0\}\}$
직교군 $\operatorname{O}(n;K)$	$\{\pm I_{n\times n}\}$

* {{lang

S_3 = \left\{\mathrm{id}, (1\;2), (1\;3), (2\;3), (1\;2\;3), (1\;3\;2)\right\}

의 중심은 단위원

\mathrm{id}

만으로 이루어진다. 왜냐하면 다음과 같다.
::

(1\;2)(1\;3) = (1\;3\;2) \neq (1\;3)(1\;2) = (1\;2\;3)

(1\;2)(2\;3) = (1\;2\;3) \neq (2\;3)(1\;2) = (1\;3\;2)

(1\;2\;3)(1\;2) = (1\;3) \neq (1\;2)(1\;2\;3) = (2\;3)

(1\;3\;2)(1\;2) = (2\;3) \neq (1\;2)(1\;3\;2) = (1\;3)

* 이각형 군

D_4

는 정방형이 전혀 움직이지 않는 평면의 움직임으로 이루어진다. 그것은 정방형의 중심을 중심으로 하는 각도 0°, 90°, 180°, 270°의 회전과, 두 대각선 및 정방형의 평행하는 변의 중점을 통과하는 2개의 직선에 의한 4개의 경면 변환으로 이루어진다. 이 군의 중심은 0°와 180°의 두 회전으로 이루어진다.
* 실수를 성분으로 갖는 가역적인 n×n-행렬의 곱셈군의 중심은 단위 행렬의 (0이 아닌) 실수배로 이루어진다.

4.2. 환의 중심

환 $(R,+,\cdot)$ 의 중심은 곱셈에 대한 중심이며, 이는 항상 부분환을 이룬다. $R$ 는 $Z(R)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 $D$ 의 중심 $Z(D)$ 은 체를 이루며, $D$ 는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 중심은 다음과 같은 스칼라 행렬이다.
: $Z(\operatorname{Mat}(n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K$
행렬환은 이에 따라 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

환 R의 중심은 환의 원소 중에서 모든 원소와 교환 가능한 원소로 구성된다.
: $\mathrm Z(R)=\{z\in R\mid za=az\ \text{for all}\ a\in R\}.$
중심 $Z(R)$ 은 R의 가환 부분환이다. 환이 중심과 같다는 것은 가환이라는 것과 동치이다.

4.2.1. 예시

사원수의 나눗셈환 $\mathbb{H}$ 의 중심은 실수체 $\mathbb{R}$ 이다.

4.3. 리 대수의 중심

일반 선형군 $\mathrm{GL} (n,K)$ 의 중심은 단위 행렬 $E_n$ 의 스칼라 배로 이루어진다.
: $Z\left( \mathrm{GL} (n,K) \right) = \{ \lambda E_n\colon \lambda \in K^{*} \}$ .