직육면체

1. 개요

직육면체는 6개의 직사각형 면을 가진 볼록 다면체로, 모든 이면각이 직각이다. 마주보는 면은 서로 합동이며, 직각 각기둥의 일종으로 "상자"라고도 불린다. 직육면체는 꼭짓점 8개, 모서리 12개, 면 6개로 이루어져 있다. 가로, 세로, 높이가 각각 a, b, c인 직육면체의 부피는 V=abc, 겉넓이는 A=2(ab+bc+ca), 공간 대각선은 d=√(a²+b²+c²)으로 계산된다. 상자, 건물, 용기 등 다양한 형태로 활용되며, 3차원 공간을 메울 수 있는 입체 도형 중 하나이다. 정수 길이의 모서리를 갖는 직육면체는 오일러 벽돌이라고 불리며, 공간 대각선까지 정수인 경우는 완벽한 직육면체라고 한다.

2. 성질

직육면체는 6개의 직사각형 면을 가진 볼록 다면체이며, 모든 이면각은 직각이다. 마주보는 면은 서로 합동이다. 직육면체는 정의에 따라 직각 각기둥이 되며, 구어체로 "상자"(물체)라고 불리기도 한다.

직육면체의 꼭짓점의 수는 8개, 모서리의 수는 12개, 면의 수는 6개이다. 한 꼭짓점에서 나가는 모서리의 수는 3개, 한 꼭짓점을 공유하는 면의 수는 3개, 한 모서리를 공유하는 면의 수는 2개이다.

2.1. 특수한 경우

3. 공식

가로가 $a$, 세로가 $b$, 높이가 $c$인 직육면체의 부피, 겉넓이, 공간 대각선의 길이는 다음과 같다. 무게중심 위치의 높이는 b/2이다.

* 부피는 $V=abc$
* 겉넓이는 $A=2(ab+bc+ca)$
* 공간 대각선은 $d=\backslash sqrt\{a^2+b^2+c^2\}$

4. 활용

직육면체는 상자, 캐비닛, 방, 건물, 용기, 서랍장, 책, 튼튼한 컴퓨터 케이스, 인쇄 장치, 전자식 터치스크린 장치, 세탁기와 건조기 등 다양한 형태로 활용된다. 직육면체는 3차원 공간을 메울 수 있는 입체 도형 중 하나이다. 여러 개의 더 작은 직육면체를 효율적으로 담을 수 있어 포장 및 수납에 용이하다. 예를 들어 상자 안의 설탕 정육면체, 캐비닛 안의 상자, 방 안의 캐비닛, 건물 안의 방 등이 있다.

5. 관련 다면체

정수 길이의 모서리를 갖는 직육면체는 정수 면대각선을 갖는 경우 오일러 벽돌이라고 한다. 예를 들어, 변의 길이가 44, 117, 240인 경우가 있다. 완벽한 직육면체는 공간 대각선도 정수인 오일러 벽돌이다. 완벽한 직육면체가 실제로 존재하는지는 현재 알려져 있지 않다. 전개도의 수는 단순한 정육면체의 경우 11개이지만, 세 변의 길이가 서로 다른 직육면체의 경우 최소 54개로 늘어난다.