자리스키 접공간

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1. 개요

자리스키 접공간은 가환 국소환의 극대 아이디얼을 이용하여 정의되는 벡터 공간으로, 대수다양체와 스킴의 접공간을 일반화한 개념이다. 이는 아핀 대수다양체의 접공간을 정의하는 선형 방정식 시스템을 고차원으로 확장한 것이며, 스킴의 점에서의 접공간과 쌍대접공간을 정의하는 데 사용된다. 자리스키 접공간은 특이점 연구에 활용되며, 노에터 링의 차원과 관련이 있다. 오스카 자리스키가 1947년에 이 개념을 도입했다.

자리스키 접공간

개요

분야	대수기하학
정의	대수다양체의 점에서의 접공간
명명 유래	오스카 자리스키

동의어

한국어	자리스키 접공간
영어	Zariski tangent space
일본어	ザリスキー接空間 (자리스키 셋쇼쿠칸)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소환의 공변접공간과 접공간
- 2.2. 국소환 달린 공간에서의 접공간
3. 동기
4. 성질
5. 해석적 함수
6. 역사
7. 참고 문헌

2. 정의

국소환의 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 에 대해, 쌍대접공간은 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 으로 정의된다. 여기서 $\mathfrak{m}^2$ 은 아이디얼의 곱으로 주어진다. 이는 잉여류체 k:= R/ $\mathfrak{m}$ 에 대한 벡터 공간이며, 이것의 쌍대 벡터 공간을 R의 접공간이라고 부른다.

이 정의는 아핀 대수다양체 V와 V의 점 v가 주어졌을 때, 비선형 항을 제거하여 접공간을 정의하는 선형 방정식 시스템을 제공하는 방식으로 고차원으로 일반화한 것이다.

스킴 X의 점 P에서의 접공간 $T_P(X)$ 및 쌍대접공간 $T_P^*(X)$ 는 $\mathcal{O}_{X,P}$ 의 (쌍대)접공간이다. Spec의 함자성으로 인해 자연스러운 몫 사상 $f:R\rightarrow R/I$ 는 X=Spec(R), Y=Spec(R/I)의 점 P에 대해 준동형 사상 $g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}$ 를 유도한다. 이것은 $T_P(Y)$ 를 $T_{f^{-1}P}(X)$ 에 임베딩하는 데 사용된다. 체의 사상은 단사적이므로, g에 의해 유도된 잉여류체들의 전사 사상은 동형 사상이다. 그러면 쌍대접공간의 사상 k는 g에 의해 유도되며, 다음과 같이 주어진다.

: $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 \cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I) \cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I) \cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k).$

이것이 전사 사상이므로, 전치 $k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X)$ 는 단사 사상이다.

2.1. 국소환의 공변접공간과 접공간

가환환 국소환 $R$ 이 주어졌다고 하자. 국소환은 유일한 극대 아이디얼 $m$ 을 가지며, $k=R/m$ 은 체를 이룬다. $m$ 은 아벨 군이고, 그 제곱 $m^2$ 도 아벨 군이므로, 몫군 $m/m^2$ 를 정의할 수 있다. 이는 $k$ 에 대한 벡터 공간임을 보일 수 있다.

국소환 $R$ 의 공변접공간(cotangent space^영어) $T_R^*$ 은 $k$ -벡터 공간 $T_R^* = m/m^2$ 이다. $R$ 의 접공간(tangent space^영어)은 공변접공간의 쌍대 공간 $T_R=\hom(T_R^*,k)$ 이다.

2.2. 국소환 달린 공간에서의 접공간

국소환 달린 공간 $X$ 의 점 $x \in X$ 에서의 접공간 $T_{X,x}$ 는 $x$ 에서의 줄기(stalk)의 접공간으로 정의된다. 대수다양체와 스킴은 모두 국소환 달린 공간의 일종이므로, 이 정의에 따라 접공간을 구할 수 있다.

3. 동기

C가 다항식 방정식 F(X,Y) = 0으로 정의된 평면 곡선이라 가정하고, P를 원점 (0,0)으로 잡으면, 1차보다 높은 차수의 항을 지워서 '선형화된' 방정식 L(X,Y) = 0을 얻을 수 있다. 여기서 a + b > 1인 모든 항 X^aY^b는 버려진다.

L이 0이거나 직선의 방정식일 수 있는데, 첫 번째 경우 (0,0)에서 C의 (자리스키) 접공간은 전체 평면(2차원 아핀 공간)이 된다. 두 번째 경우 접공간은 아핀 공간으로 간주되는 직선이 된다.

실수체 위에서 L은 F의 첫 번째 편미분으로 구할 수 있다. 해당 점들이 P에서 모두 0일 때, 특이점(이중점, 첨점 또는 더 복잡한 것)을 갖는다. C의 특이점은 접공간의 차원이 2인 경우이다.

4. 성질

R이 노에터 국소 링이면, 접공간의 차원은 R의 차원보다 크거나 같다.

: $\dim{\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \geq \dim{R}}$

만약 등식이 성립하면 R을 정칙이라고 부른다. 기하학적으로는, R이 점 v에서의 다양체 V의 국소 링일 때, v를 정칙점이라고도 한다. 그렇지 않으면 특이점이라고 부른다.

접공간은 K[t]/(t²)를 통해 해석될 수 있는데, 이는 K에 대한 이중수이다. scheme의 표현으로, K 위의 scheme X로의 Spec K[t]/(t²)로부터의 사상은 유리점 x ∈ X(k)의 선택과 x에서의 접공간의 원소에 해당한다. 그러므로, 접벡터에 대해서도 이야기한다.

일반적으로 자리스키 접공간의 차원은 매우 클 수 있다.

5. 해석적 함수

V가 n차원 벡터 공간의 부분 다양체이고, 아이디얼 I에 의해 정의된다면, R = F_n / I가 성립한다. 여기서 F_n은 이 벡터 공간 상의 해석적인 함수들의 환이다. 점 x에서의 자리스키 접공간은 m_n / (I+m_n²)이다. 여기서 m_n은 x에서 소멸하는 F_n 내의 함수들로 구성된 극대 아이디얼이다.

위 평면 예제에서 I = (F(X,Y))이고, I+m² = (L(X,Y))+m²이다.

6. 역사

오스카 자리스키가 1947년에 도입하였다.

7. 참고 문헌

로빈 하츠호른의 Algebraic Geometry (book)^영어 (Springer-Verlag, 1977년)

데이비드 아이젠버드와 조 해리스의 Schemes^영어의 기하학 (Springer-Verlag, 1998년)