정칙함수의 해석성

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 증명
3. 비고
참조

1. 개요

정칙함수의 해석성은 정칙함수가 멱급수로 표현될 수 있다는 중요한 성질을 의미한다. 이 정리는 코시 적분 공식과 멱급수 전개를 통해 증명되며, 이를 통해 정칙함수가 테일러 급수로 표현될 수 있음을 알 수 있다. 또한, 이 정리는 함수의 수렴 반경과 특이점의 관계, 그리고 항등 정리와 같은 중요한 결과들을 도출하는 데 기여한다.

더 읽어볼만한 페이지

해석 함수 - 지수 함수
지수 함수는 양의 상수 *a*를 밑으로 하는 *y = a^x* 형태의 함수이며, 특히 자연로그의 역함수인 *e^x*는 다양한 정의와 응용을 가지며 복소수로 확장될 수 있다.
해석 함수 - 쌍곡선 함수
쌍곡선 함수는 삼각함수에서 파생된 함수로, 지수 함수를 사용하여 정의되며 삼각함수와 유사한 성질을 가지며 미분, 적분, 복소수까지 확장되어 사용된다.
복소해석학 정리 - 리만 사상 정리
리만 사상 정리는 복소해석학에서 단일 연결 열린 진부분집합 사이의 각도를 보존하는 정칙함수, 즉 등각 사상의 존재를 보장하는 중요한 정리이다.
복소해석학 정리 - 리만-로흐 정리
리만-로흐 정리는 콤팩트 리만 곡면에서 인자의 차수, 유리형 함수 공간의 차원, 곡면의 종수 사이의 관계를 나타내는 정리로서, 유리형 함수를 구성하는 문제에 대한 해답을 제시하며 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

정칙함수의 해석성
개요
종류	정리
분야	복소해석학
증명 방법	코시 적분 공식 사용
내용
설명	정칙함수는 해석적이다. 즉, 정칙함수는 테일러 급수로 표현할 수 있다.
관련 개념	코시-리만 방정식, 해석함수

2. 증명

코시가 처음 제시한 논증은 코시 적분 공식과 $\frac{1}{w-z}$ 의 멱급수 전개에 기반한다.

증명의 핵심 아이디어는 다음과 같다. $a$ 를 중심으로 하는 열린 원판 $D$ 에서 정칙인 함수 $f(z)$ 가 주어졌을 때, $D$ 안의 임의의 점 $z$ 에 대해 코시 적분 공식을 적용한다.

$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(w)}{w-z} dw$

여기서 $C$ 는 $D$ 내부에 있으며 $z$ 를 둘러싸는 양의 방향의 단순 닫힌 경로이다.

이 공식의 분모 항 $\frac{1}{w-z}$ 을 점 $a$ 를 중심으로 다음과 같이 변형한다.

$\frac{1}{w-z} = \frac{1}{(w-a) - (z-a)} = \frac{1}{w-a} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-a}{w-a}}$

경로 $C$ 를 $a$ 를 중심으로 하고 $z$ 를 내부에 포함하는 원으로 잡으면, $C$ 위의 모든 $w$ 에 대해 $|z-a| < |w-a|$ 이므로 $\left|\frac{z-a}{w-a}\right| < 1$ 이다. 따라서 $\frac{1}{1 - \frac{z-a}{w-a}}$ 항은 기하급수로 전개할 수 있다.

$\frac{1}{1 - \frac{z-a}{w-a}} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-a}{w-a}\right)^n$

이를 코시 적분 공식에 대입하고, 적분과 무한 합의 순서를 교환하면 (이는 바이어슈트라스 M-판정법 등을 통해 정당화될 수 있다), 다음과 같은 $f(z)$ 의 멱급수 표현을 얻는다.

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n$

여기서 계수 $c_n$ 은 다음과 같이 주어진다.

$c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} dw$

이는 함수 $f(z)$ 가 점 $a$ 근방에서 멱급수로 표현될 수 있음을 보여주며, 따라서 $f(z)$ 는 해석적임을 증명한다. 각 단계의 상세한 유도 및 정당화 과정은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 코시 적분 공식

코시가 처음 제시한 논증은 코시 적분 공식과

\frac 1 {w-z}

의 멱급수 전개에 기반한다.

D

를

a

를 중심으로 하는 열린 원판이라고 하고, 함수

f

가

D

의 폐포를 포함하는 어떤 열린 근방의 모든 점에서 미분 가능하다고 가정하자.

C

를

D

의 경계인 양의 방향(반시계 방향)으로 도는 원이라고 하고,

z

를

D

안의 한 점이라고 하자. 코시 적분 공식에서 시작하면 다음과 같다.

\begin{align}f(z) &{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over w-z}\,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)-(z-a)} \,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm{d}w\end{align}

여기서

\frac{1}{1 - \frac{z-a}{w-a}}

항은 기하급수로 전개할 수 있다.

w

는 경로

C

위에 있고

z

는

C

내부에 있으므로

|z-a| < |w-a|

이고, 따라서

\left|\frac{z-a}{w-a}\right| < 1

이다. 이를 이용하여 위 식을 다음과 같이 전개할 수 있다.

\begin{align}f(z) &{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{\sum_{n=0}^\infty\left({z-a \over w-a}\right)^n} f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2\pi i}\int_C {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)\,\mathrm{d}w.\end{align}

적분과 무한 합의 순서를 바꾸는 것은 다음과 같은 이유로 정당화된다. 함수

f(w)/(w-a)

는 경로

C

상에서 유계이므로, 어떤 양수

M

이 존재하여

|f(w)/(w-a)| \le M

이다. 또한,

C

상의 모든

w

에 대해

\left|\frac{z-a}{w-a}\right|\leq r < 1

을 만족하는 양수

r

이 존재한다. 따라서

C

상에서 다음 부등식이 성립한다.

\left| {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1} }f(w) \right| = \left| \frac{f(w)}{w-a} \left(\frac{z-a}{w-a}\right)^n \right| \le Mr^n

바이어슈트라스 M-판정법에 의해 급수

\sum_{n=0}^\infty {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)

는

C

상에서 균등 수렴한다. 따라서 합과 적분의 순서를 교환할 수 있다.

인자

(z-a)^n

는 적분 변수

w

에 의존하지 않으므로 적분 밖으로 나올 수 있다.

f(z)=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n \left( {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w \right)

이는

z

에 대한 멱급수의 원하는 형태이다.

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n

여기서 계수

c_n

은 다음과 같이 주어진다.

c_n={1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w

2. 2. 적분과 무한합의 교환

코시가 제시한 정칙함수의 해석성 증명 과정에서, 코시 적분 공식을 변형하여 함수

f(z)

를 멱급수 형태로 나타내는 부분에는 적분 기호와 무한 급수 기호(

\sum

)의 순서를 바꾸는 단계가 포함된다.

\begin{align}f(z) &{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{\sum_{n=0}^\infty\left({z-a \over w-a}\right)^n} f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2\pi i}\int_C {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)\,\mathrm{d}w.\end{align}

이러한 적분과 무한합의 순서 교환은 아무 때나 가능한 것이 아니며, 특정 조건 하에서만 정당화될 수 있다. 코시의 논증에서는 이 교환이 타당함을 보이기 위해 다음과 같은 과정을 거친다.

우선, 함수

f(w)

가 경로

C

를 포함하는 영역에서 미분 가능하므로,

f(w)/(w-a)

는 경로

C

상에서 유계이다. 즉,

C

상의 모든

w

에 대해

|f(w)/(w-a)| \le M

을 만족하는 양수

M

이 존재한다.

또한,

z

는 원판

D

내부의 점이고

w

는 그 경계

C

위의 점이므로,

|z-a| < |w-a|

가 성립한다. 따라서

C

상의 모든

w

에 대해 다음을 만족하는 0보다 크고 1보다 작은 상수

r

이 존재한다.

\left|\frac{z-a}{w-a}\right|\leq r < 1

이 두 가지 사실을 이용하면, 경로

C

상에서 급수의 각 항의 절댓값을 다음과 같이 제한할 수 있다.

\left| {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1} }f(w) \right| = \left| \frac{f(w)}{w-a} \right| \left| \frac{z-a}{w-a} \right|^n \le M r^n

여기서

\sum_{n=0}^\infty M r^n

은 공비

r

이 1보다 작은 등비급수이므로 수렴한다. 따라서 바이어슈트라스 M-판정법에 의해, 급수

\sum_{n=0}^\infty {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)

는 경로

C

상에서 균등 수렴한다. 함수항급수가 적분 경로 상에서 균등 수렴할 경우, 적분과 무한합의 순서를 교환할 수 있다는 것이 알려져 있다. 그러므로 위의 논증에서 적분과 무한합의 순서를 바꾸는 것은 수학적으로 정당하다.

2. 3. 멱급수 표현

코시가 처음 제시한 논증은 코시 적분 공식과 다음 식의 멱급수 전개에 기반한다.

\frac 1 {w-z}

D

를

a

를 중심으로 하는 열린 원판이라고 하고,

f

가

D

의 폐포를 포함하는 어떤 열린 근방의 모든 곳에서 미분 가능하다고 가정하자.

C

를

D

의 경계인 양의 방향(즉, 반시계 방향)의 원이라고 하고,

z

를

D

내의 점이라고 하자. 코시 적분 공식으로부터 다음이 성립한다.

\begin{align}f(z) &{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over w-z}\,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)-(z-a)} \,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{\sum_{n=0}^\infty\left({z-a \over w-a}\right)^n} f(w)\,\mathrm{d}w \quad (*)\\[10pt]&{}=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2\pi i}\int_C {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)\,\mathrm{d}w.\end{align}

(*) 식에서

\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}

항은 기하급수 공식을 이용하여 전개한 것이다. 적분과 무한합의 순서를 바꾸는 것은 다음과 같은 이유로 정당화된다. 함수

f(w)/(w-a)

는

C

상에서 어떤 양수

M

에 의해 유계이고,

C

내의 임의의

w

에 대해서 어떤 양수

r

에 대해 다음 부등식이 성립한다.

\left|\frac{z-a}{w-a}\right|\leq r < 1

따라서

C

상에서 다음 부등식이 성립한다.

\left| {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1} }f(w) \right| \le Mr^n

바이어슈트라스 M-검정법에 의해 위 급수는

C

상에서 균등 수렴하므로, 합과 적분의 순서를 교환할 수 있다.

인자

(z-a)^n

은 적분 변수

w

에 의존하지 않으므로, 적분 밖으로 묶어낼 수 있다.

f(z)=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n \left( {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w \right).

이것은

z

에 대한 멱급수의 원하는 형태이다.

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n

여기서 계수

c_n

은 다음과 같이 주어진다.

c_n={1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w.

이는 코시 적분 공식을 통해 정칙함수의 멱급수 계수를 구체적으로 표현할 수 있음을 보여준다.

3. 비고

정칙 함수의 테일러 급수 전개 가능성은 멱급수가 항별로 미분 가능하다는 성질과 코시 적분 공식을 통해 설명될 수 있다. 이 테일러 급수가 수렴하는 범위, 즉 수렴 반경은 함수가 정의된 영역 내 특이점의 위치와 직접적인 관련이 있다. 구체적으로, 수렴 반경은 급수의 중심점에서 가장 가까운 특이점까지의 거리와 같다. 이러한 정칙 함수의 강력한 해석적 성질은 두 함수가 작은 영역에서 일치하면 더 넓은 영역에서도 반드시 일치한다는 일치 정리(항등 정리)로 이어진다.

3. 1. 항별 미분

멱급수는 항별로 미분 가능하다. 이 성질을 이용하여

\frac{1}{(w-z)^{n+1}}

의 멱급수 표현을 고려하면, 함수의 n계 도함수에 대한 다음 공식을 유도할 수 있다.

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}}\, dw

이것은 도함수에 대한 코시 적분 공식이다. 따라서 위에서 얻어진 멱급수는 함수 ''f''의 테일러 급수이다.

이 논의는 점 ''z''가 함수 ''f''의 임의의 특이점보다 중심 ''a''에 더 가까운 모든 경우에 성립한다. 결과적으로, 테일러 급수의 수렴 반경은 중심 ''a''에서 가장 가까운 특이점까지의 거리보다 작을 수 없다. 또한, 멱급수는 수렴 원 내부에서 특이점을 가지지 않으므로, 수렴 반경이 그 거리보다 클 수도 없다.

일치 정리의 특별한 경우는 이러한 논의로부터 자연스럽게 도출된다. 만약 두 정칙 함수가 중심 ''a''를 포함하는 어떤 열린 근방 ''U'' (아무리 작더라도)에서 동일한 값을 가진다면, 이 두 함수는 중심 ''a''에서 가장 가까운 특이점까지의 거리를 반지름으로 하는 열린 원판 ''B_d''(''a'') 전체에서도 일치한다.

3. 2. 수렴 반경

멱급수는 항별로 미분 가능하므로, 이 성질과 코시 적분 공식을 이용하여 함수의 도함수를 적분 형태로 표현할 수 있다. 구체적으로, 정칙 함수

f

의 점

a

에서의

n

계 도함수는 다음과 같이 주어진다.

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}}\, dw

이것은 도함수에 대한 코시 적분 공식이다. 이 공식을 통해 얻어지는 계수를 이용한 멱급수는 함수

f

의 테일러 급수와 일치한다.

함수

f

를 점

a

를 중심으로 테일러 급수로 전개할 때, 이 급수가 수렴하는 범위는 함수

f

의 특이점과 관련이 있다. 테일러 급수 전개에 대한 논의는 점

z

가 중심

a

로부터

f

의 가장 가까운 특이점보다 더 가까이 있을 때만 유효하다.

따라서, 함수

f

의 테일러 급수의 수렴 반경은 중심

a

에서 가장 가까운 특이점까지의 거리와 정확히 같다. 수렴 반경은 이 거리보다 작을 수 없으며, 멱급수는 수렴 원 내부에서 특이점을 가지지 않으므로 이 거리보다 클 수도 없다.

이러한 결과는 일치 정리의 특별한 경우로 이어진다. 만약 두 정칙 함수가 중심

a

를 포함하는 어떤 작은 열린 영역에서 서로 일치한다면, 이 두 함수는 중심

a

에서 가장 가까운 특이점까지의 거리를 반경으로 하는 열린 원판 전체에서도 일치하게 된다.

3. 3. 항등 정리

일치 정리의 특별한 경우는 앞서 설명한 테일러 급수의 성질로부터 도출할 수 있다. 만약 두 정칙 함수가 어떤 점 ''a''를 포함하는 (아주 작을 수도 있는) 열린 근방 ''U''에서 서로 일치한다면, 이 두 함수는 중심이 ''a''이고 반지름이 ''d''인 열린 원판 ''B_d''(''a'') 전체에서도 일치한다. 여기서 ''d''는 점 ''a''로부터 가장 가까운 함수의 특이점까지의 거리이다. 이는 정칙 함수가 그 수렴 반경 내에서 테일러 급수로 유일하게 표현되기 때문이다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com