바이어슈트라스 M-판정법

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수항 급수
  - 2.1.1. 증명
- 2.2. 바나흐 공간 값을 갖는 함수항 급수
  - 2.2.1. 증명
3. 일반화
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

바이어슈트라스 M-판정법은 함수열의 균등 수렴성을 판별하는 방법이다. 이 판정법은 주어진 함수열의 각 항의 절댓값을 상계하는 수열의 합이 수렴하면, 원래 함수열의 급수가 절대 수렴하고 균등 수렴한다는 것을 보장한다. 이 정리는 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수뿐만 아니라 바나흐 공간 값을 갖는 함수에도 적용될 수 있으며, 균등 극한 정리와 함께 사용된다.

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바이어슈트라스 M-판정법
정의
유형	급수의 균등 수렴 판정법
분야	실해석학
설명
내용	만약 모든 x에 대해 \|fₙ(x)\| ≤ Mₙ이고, ΣMₙ이 수렴하면, Σfₙ(x)는 균등하게 수렴한다.
활용	함수열의 균등 수렴을 증명하는 데 사용된다.

2. 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체일 때, '''바이어슈트라스 M-판정법'''은 다음과 같이 정의된다.

함수열 $(f_n)$ 이 집합 $A$ 에서 정의된 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수이고, 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 실수의 수열 $(M_n)$ 이 존재한다고 가정한다.

모든 $n \geq 1$ 및 모든 $x \in A$ 에 대해 $|f_n(x)|\leq M_n$
$\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ 이 수렴

그러면 급수

\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)

는

A

에서 절대 수렴하고 균등 수렴한다.

2. 1. 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수항 급수

집합

S

및 함수열

f_n\colon S\to\mathbb K

(

n\in\mathbb N

)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열

(M_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)

이 존재한다고 하자.

임의의 $n\in\mathbb N$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $|f_n(s)|\le M_n$
$\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty$

'''바이어슈트라스 M-판정법'''에 따르면, 함수항 급수

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n

는 균등 수렴한다.

(''f''_''n'')이 집합 ''A''에서 정의된 실수 또는 복소수 값을 갖는 수열이고, 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 수의 수열 (''M''_''n'')이 존재한다고 가정하자.

모든 $n \geq 1$ 및 모든 $x \in A$ 에 대해 $|f_n(x)|\leq M_n$
$\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ 이 수렴

그러면 급수

\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)

는 ''A''에서 절대 수렴하고 균등 수렴한다.

추가로, 집합 ''A''가 위상 공간이고 함수 ''f_n''이 ''A''에서 연속 함수이면, 급수는 연속 함수로 수렴한다.

2. 1. 1. 증명

임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여,

\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n

의 부분합은 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수

N_\epsilon\in\mathbb N

가 존재한다.

:임의의

m,n>N_\epsilon

에 대하여,

\textstyle\left|\sum_{k=m+1}^n M_k\right|<\epsilon

삼각 부등식에 따라, 임의의

m,n>N_\epsilon

및

s\in S

에 대하여,

:

\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|\le\sum_{k=m+1}^n|f_k(s)|\le\sum_{k=m+1}^nM_n<\epsilon

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라,

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n

은 균등 수렴한다.

함수열을 고려해 보자.

:

S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x).

급수

\sum_{n=1}^{\infty}M_{n}

이 수렴하고 모든

n

에 대해

M_{n} \ge 0

이므로, 코시 수렴 판정법에 의해,

:

\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall m>n>N : \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon.

선택된

N

에 대해,

:

\forall x \in A : \forall m> n> N

:

\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .

(부등식 (1)은 삼각 부등식에서 유도된다.)

따라서 함수열

S_{n}(x)

은 '''R''' 또는 '''C'''에서 코시 수열이며, 완비성에 의해, ''x''에 의존하는 어떤 수

S(x)

로 수렴한다. ''n'' > ''N''에 대해 다음을 쓸 수 있다.

:

\left|S(x) - S_{n}(x)\right|=\left|\lim_{m\to\infty} S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|=\lim_{m\to\infty} \left|S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|\leq\varepsilon .

''N''이 ''x''에 의존하지 않으므로, 이는 부분합의 수열

S_{n}

이 함수 ''S''로 균등 수렴한다는 것을 의미한다. 따라서 정의에 따라, 급수

\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)

는 균등 수렴한다.

유사하게,

\sum_{k=1}^{\infty}|f_{k}(x)|

가 균등 수렴한다는 것을 증명할 수 있다.

2. 2. 바나흐 공간 값을 갖는 함수항 급수

집합

S

와

\mathbb K

- 바나흐 공간

(X,\Vert\cdot\Vert)

및 함수열

f_n\colon S\to X

(

n\in\mathbb N

)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열

(M_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)

이 존재한다고 가정한다.

임의의 $n\in\mathbb N$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\Vert f_n(s)\Vert\le M_n$
$\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty$

이 경우, 바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n

는 균등 수렴한다.

2. 2. 1. 증명

보다 일반적으로, 집합

S

및

\mathbb K

-바나흐 공간

(X,\Vert\cdot\Vert)

및 함수열

f_n\colon S\to X

(

n\in\mathbb N

)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열

(M_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)

이 존재한다고 하자.

임의의 $n\in\mathbb N$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\Vert f_n(s)\Vert\le M_n$
$\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n

는 균등 수렴한다.

유계 함수

S\to X

의 벡터 공간

\mathcal B(S,X)

위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

:

\Vert f\Vert_\infty=\sup_{s\in S}\Vert f(s)\Vert\qquad(f\in\mathcal B(S,X))

이 경우

\mathcal B(S,X)

는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다. (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수)

각

n\in\mathbb N

에 대하여

\Vert f_n\Vert_\infty\le M_n

이며,

\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty

이므로,

\textstyle\sum_{n=0}^\infty\Vert f_n\Vert_\infty<\infty

이다. 즉,

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n

은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서

\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n

은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

함수열을 고려해 보자.

:

S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x).

급수

\sum_{n=1}^{\infty}M_{n}

이 수렴하고 모든

n

에 대해

M_n \ge 0

이므로, 코시 수렴 판정법에 의해,

:

\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall m>n>N : \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon.

선택된

N

에 대해,

:

\forall x \in A : \forall m> n> N

:

\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .

(부등식 (1)은 삼각 부등식에서 유도된다.)

따라서 함수열

S_{n}(x)

은 '''R''' 또는 '''C'''에서 코시 수열이며, 완비성에 의해, ''x''에 의존하는 어떤 수

S(x)

로 수렴한다. ''n'' > ''N''에 대해 다음을 쓸 수 있다.

:

\left|S(x) - S_{n}(x)\right|=\left|\lim_{m\to\infty} S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|=\lim_{m\to\infty} \left|S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|\leq\varepsilon .

''N''이 ''x''에 의존하지 않으므로, 이는 부분합의 수열

S_{n}

이 함수 ''S''로 균등 수렴한다는 것을 의미한다. 따라서 정의에 따라, 급수

\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)

는 균등 수렴한다.

유사하게,

\sum_{k=1}^{\infty}|f_{k}(x)|

가 균등 수렴한다는 것을 증명할 수 있다.

3. 일반화

4. 예

다음과 같은 함수열 $f_n\colon[0,\infty)\to\mathbb R$ ( $n\in\mathbb Z^+$ )을 생각하자.

: $f_n\colon x\mapsto x^2\exp(-nx)$

그렇다면

: $f_n'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)$

이므로 각 $f_n$ 은 $\textstyle x=\frac 2n$ 에서 최댓값 $\textstyle\left(\frac 2n\right)^2\exp(-2)$ 을 가진다. $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}<\infty$ 이므로, $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 은 균등 수렴한다.

5. 역사

카를 바이어슈트라스의 이름을 따서 붙여졌다.

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