정칙 이차 미분

1. 개요

정칙 이차 미분은 리만 곡면의 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면으로, 표준 좌표계를 정의하고 수직엽과 수평엽을 갖는다. 정칙 이차 미분의 공간은 층 코호몰로지로 표현되며, 복소 평면에서 f(z) dz²의 형태로 나타난다. 슈트레벨 미분은 특정 조건을 만족하는 유일한 정칙 이차 미분이며, 아벨 미분과 관련이 있다. 또한, 정칙 이차 미분은 특이 유클리드 구조를 정의하며, 상수 정칙 이차 미분과 2차 극 근처의 정칙 이차 미분 등의 예시가 있다. 이 개념은 쿠르트 슈트레벨에 의해 도입되었다.

2. 정의

리만 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.
:$\backslash operatorname\; H^0(\backslash Sigma,K\_\backslash Sigma^\{\backslash otimes\; 2\})$
여기서 $K\_\backslash Sigma$는 $\backslash Sigma$의 표준 선다발이다. 즉, $\backslash Sigma$의 국소 좌표를 $z$라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로
:$f(z)\backslash ,\backslash mathrm\; dz^2$
의 꼴이다.
복소 평면의 영역 $U$에 있는 각 이차 미분은 $f(z)\; \backslash ,dz\; \backslash otimes\; dz$로 쓸 수 있으며, 여기서 $z$는 복소 변수이고, $f$는 $U$에 대한 복소수 값을 갖는 함수이다.

이러한 "국소" 이차 미분은 $f$가 정칙 함수일 때에만 정칙이다. 일반적인 리만 곡면 $R$에 대한 차트 $\backslash mu$와 $R$ 위의 이차 미분 $q$가 주어지면, 당김 $(\backslash mu^\{-1\})^*(q)$는 복소 평면의 영역에서 이차 미분을 정의한다.

2.1. 정칙 이차 미분

리만 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.
:$\backslash operatorname\; H^0(\backslash Sigma,K\_\backslash Sigma^\{\backslash otimes\; 2\})$
여기서 $K\_\backslash Sigma$는 $\backslash Sigma$의 표준 선다발이다. 즉, $\backslash Sigma$의 국소 좌표를 $z$라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로
:$f(z)\backslash ,\backslash mathrm\; dz^2$
의 꼴이다.
복소 평면의 영역 $U$에 있는 각 이차 미분은 $f(z)\; \backslash ,dz\; \backslash otimes\; dz$로 쓸 수 있으며, 여기서 $z$는 복소 변수이고, $f$는 $U$에 대한 복소수 값을 갖는 함수이다.

이러한 "국소" 이차 미분은 $f$가 정칙 함수일 때에만 정칙이다. 일반적인 리만 곡면 $R$에 대한 차트 $\backslash mu$와 $R$ 위의 이차 미분 $q$가 주어지면, 당김 $(\backslash mu^\{-1\})^*(q)$는 복소 평면의 영역에서 이차 미분을 정의한다.

2.2. 표준 좌표계

리만 곡면 Σ 위의 정칙 이차 미분 q(z) = f(z) dz²가 주어졌고, 임의의 점 z₀ ∈ Σ에 대하여 q|_z₀ ≠ 0이라면, z₀의 충분히 작은 근방 U ∋ z₀에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.

:w: U → C
:w: z₁ ↦ ∫_z₀^z₁√q = ∫_z₀^z₁√(f(z)) dz

이를 q로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, canonical coordinate^영어)라고 한다.

{z ∈ Σ: q|_z ≠ 0}에서, 리만 계량

:|f(z)| dz d̅z = |f(z)| (dx² + dy²)

를 정의할 수 있다 (z = x + iy). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.

복소 평면의 영역 U에 있는 각 이차 미분은 f(z) dz ⊗ dz로 쓸 수 있으며, 여기서 z는 복소 변수이고, f는 U에 대한 복소수 값을 갖는 함수이다. 이러한 "국소" 이차 미분은 f가 정칙 함수일 때에만 정칙이다. 일반적인 리만 곡면 R에 대한 차트 μ와 R 위의 이차 미분 q가 주어지면, 당김 (μ⁻¹)* (q)는 복소 평면의 영역에서 이차 미분을 정의한다.

2.3. 수직엽과 수평엽

주어진 리만 곡면 Σ와 그 위의 점 z₀, 그리고 Σ\{z₀} 위의 정칙 이차 미분 q에 대해, 수직엽과 수평엽을 정의할 수 있다.

연속 미분 가능 곡선 γ\((a,b)\)→ Σ에 대하여 다음 두 조건을 고려한다.

* ㉠ 모든 t∈(a,b)에 대해, q|_γ(t)(γ̇(t), γ̇(t)) ∈ ℝ⁺ ⊂ ℂ
* ㉡ 모든 t∈(a,b)에 대해, q|_γ(t)(γ̇(t), γ̇(t)) ∈ ℝ⁻ ⊂ ℂ

이 조건들은 매개 변수 재정의에 대해 불변이며, Σ의 부분 집합으로 취급할 수 있다.

조건 ㉠을 만족하는 극대 원소인 부분 집합을 q의 수평엽(水平葉, horizontal leaf^영어)이라고 한다. 조건 ㉡을 만족하는 극대 원소인 부분 집합을 q의 수직엽(垂直葉, vertical leaf^영어)이라고 한다.

3. 성질

리만 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다.

리만 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 정칙 이차 미분 $q$의 수직엽들의 족은 리만 곡면 $\backslash \{z\backslash in\backslash Sigma\backslash colon\; q|\_z\backslash ne0\backslash \}$의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, $q$의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

3.1. 슈트레벨 미분

종수 g의 연결 콤팩트 리만 곡면 Σ와 그 속의 유한 집합 {z₁, ..., zₙ} ⊆ Σ, 그리고 각 zᵢ에 대한 양의 실수 tᵢ ∈ ℝ⁺가 주어졌을 때, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분이 존재하며, 이를 슈트레벨 미분이라고 한다.

* q는 각 zᵢ 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.
*:q(z) = O(1) / (z - zᵢ)² (dz)²
* q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
* q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 γ ⊆ M은 항상 어떤 zᵢ ∈ {z₁, ..., zₙ}을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)
*:tᵢ = ∮_γ √q

4. 아벨 미분과의 관계

리만 곡면 위의 아벨 미분 ω에 대해, ω ⊗ ω는 이차 미분이다.

5. 특이 유클리드 구조

복소 평면의 영역에서 정칙 이차 미분 $q\; =\; f(z)\; \backslash ,dz\; \backslash otimes\; dz$는 연관된 리만 계량 $|f(z)|(dx^2\; +\; dy^2)$를 가지며, 이 계량의 곡률은 0이다. 따라서 정칙 이차 미분은 $f(z)\; =\; 0$인 $z$의 집합의 여집합 위에 평탄한 계량을 정의한다. 정칙 이차 미분 q는 영점의 여집합 위에 리만 계량 |q|를 결정한다.

6. 예

6.1. 상수 정칙 이차 미분

비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 $\backslash mathbb\; C$ 위의 상수 정칙 이차 적분
:$q=\backslash mathrm\; dz^2$
을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은
:$\backslash dot\backslash gamma^2\backslash in\backslash mathbb\; R^+\backslash subsetneq\backslash mathbb\; C$
인 것이다. 즉, $\backslash dot\backslash gamma\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 수평선들이다.
:$\backslash mathbb\; R+\backslash mathrm\; it\backslash qquad(t\backslash in\backslash mathbb\; R)$
마찬가지로, 수직엽의 조건은
:$\backslash dot\backslash gamma^2\backslash in\backslash mathbb\; R^-\backslash subsetneq\backslash mathbb\; C$
인 것이다. 즉, $\backslash dot\backslash gamma\backslash in\backslash mathrm\; i\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 수직선들이다.
:$\backslash mathrm\; i\backslash mathbb\; R+t\backslash qquad(t\backslash in\backslash mathbb\; R)$
이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면 $\backslash Sigma$ 및 임의의 $z\backslash in\backslash Sigma$ 및 임의의 정칙 이차 적분 $q$에 대하여, 만약 $q|\_z\backslash ne0$이라면, $z$의 충분히 작은 근방 $U\backslash ni\; z$에서 $q\backslash restriction\; U$는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.

6.2. 2차 극 근처의 정칙 이차 미분

복소평면 위의 정칙 이차 미분
:$q=\backslash frac\{\backslash mathrm\; dz^2\}\{z^2\}$
를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은
:$\backslash dot\backslash gamma(z)\backslash in\; z\backslash mathbb\; R$
이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선
:$t\backslash mapsto\; t\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta)\backslash qquad(\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R)$
이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은
:$\backslash dot\backslash gamma(z)\backslash in\backslash mathrm\; iz\backslash mathbb\; R$
이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원
:$t\backslash mapsto\; r\backslash exp(\backslash mathrm\; it)\backslash qquad(r\backslash in\backslash mathbb\; R^+)$
의 꼴이다.

7. 역사

정칙 이차 미분, 특히 슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨/Kurt Strebel^독일어(1921~2013)이 도입하였다.