타이히뮐러 공간

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1. 개요

타이히뮐러 공간은 독일 수학자 오스발트 타이히뮐러의 이름을 딴 것으로, 주어진 위상 곡면 위에 정의된 복소 구조들의 집합이다. 리만 곡면의 변형을 연구하는 데 사용되며, 준등각 사상을 통해 연구가 발전했다. 타이히뮐러 공간은 종수와 뾰족점의 개수에 따라 차원이 결정되며, 펜켈-닐센 좌표를 사용하여 표현할 수 있다. 또한, 베유-페테르손 계량, 타이히뮐러 계량, 코바야시 계량 등 다양한 계량을 가지며, 서스턴 콤팩트화, 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화 등 여러 콤팩트화 방법이 존재한다. 타이히뮐러 공간은 대규모 기하학적 성질과 복소 기하학적 구조를 연구하는 데 중요한 대상이다.

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타이히뮐러 공간
기본 정보
유형	모듈라이 공간
분야	복소해석학, 대수기하학
이름의 유래	오스발트 타이히뮐러
정의
정의	주어진 리만 곡면의 쌍곡 기하 구조
다른 정의	주어진 리만 곡면의 준 등각 사상
참고	모듈라이 공간의 덮개 공간

2. 역사 및 어원

오스발트 타이히뮐러(Oswald Teichmüller^de)의 이름을 따서 명명되었다.

리만 곡면과 관련된 푸흐스 군에 대한 모듈 공간은 베른하르트 리만(1826–1866)의 연구 이후부터 연구되기 시작했다. 리만은 종수 $g\ge 2$ 인 곡면의 복소 구조 변화를 설명하기 위해 $6g-6$ 개의 매개변수가 필요하다는 사실을 이미 알고 있었다. 19세기 말에서 20세기 초에 걸쳐 이루어진 타이히뮐러 공간의 초기 연구는 기하학적 접근 방식을 취했으며, 리만 곡면을 쌍곡선 곡면으로 해석하는 것에 기초했다. 이 시기의 주요 기여자로는 펠릭스 클라인, 앙리 푸앵카레, 파울 쾨베, 야콥 닐센, 로베르트 프리케, 베르너 펜켈 등이 있다.

타이히뮐러가 모듈 연구에 기여한 핵심 내용은 준등각 사상을 도입한 것이다. 이를 통해 기존의 기초적인 연구에서는 다루지 못했던 특징들을 부여하며 모듈 공간 연구에 깊이를 더할 수 있었다. 제2차 세계 대전 이후, 타이히뮐러 공간 연구는 이러한 분석적 관점에서 더욱 발전했으며, 특히 라르스 알포르스와 립먼 버스가 큰 기여를 했다. 버스가 도입한 타이히뮐러 공간의 복소 구조에 대한 연구는 현재까지도 활발하게 진행되고 있다.

1970년대 후반에는 윌리엄 서스턴의 연구를 통해 타이히뮐러 공간 연구의 기하학적 관점이 다시 주목받기 시작했다. 서스턴은 곡면의 사상류 군 연구에 활용되는 기하학적 콤팩트화를 도입했다. 사상류 군과 관련된 다른 조합론적 대상들(특히 곡선 복합체) 역시 타이히뮐러 공간과 관련이 있으며, 이는 기하학적 군론 분야에서 활발히 연구되는 주제이다.

3. 정의

2차원 다양체 $\Sigma$ 위의 복소 구조들의 집합을 $\mathcal J$ 라고 하자. 여기에 다음과 같은 동치관계를 정의한다.

: $J\sim\phi^*J\quad\forall\phi\in\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)$

여기서 $\operatorname{Homeo}(\Sigma)$ 는 위상동형사상 $\phi\colon\Sigma\to\Sigma$ 들의 군이며, $\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)$ 는 그 가운데 항등함수를 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 즉, $\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)$ 의 원소는 항등함수와 아이소토픽한 위상동형사상들이다. 이 동치관계에 대한 동치류들의 집합 $\mathcal T_\Sigma = \mathcal J/{\sim}$ 를 $\Sigma$ 의 타이히뮐러 공간이라고 한다. 이 공간은 자연스럽게 유한 차원 다양체 구조와 복소 구조를 가진다.

타이히뮐러 공간은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다. $S$ 를 가향 가능한 매끄러운 곡면(2차원 미분 다양체)이라고 하자. $S$ 위의 두 복소다양체 구조 $X, Y$ 가 다음 두 조건을 만족하는 미분동형사상 $f \in \operatorname{Diff}(S)$ 가 존재할 경우 동치라고 정의한다.

$f$ 는 정칙이다. 즉, $f$ 의 미분은 각 점에서 $X$ 의 구조와 $Y$ 의 구조에 대해 복소 선형이다.
$f$ 는 $S$ 의 항등사상에 아이소토픽하다. 즉, 연속 함수 $\gamma : [0,1] \to \operatorname{Diff}(S)$ 가 존재하여 $\gamma(0)=f, \gamma(1) = \mathrm{Id}$ 를 만족한다.

타이히뮐러 공간

T(S)

는 이 동치 관계에 대한

S

위의 복소 구조들의 동치류 집합이다.

또 다른 동치 정의는 marked Riemann surface|표지된 리만 곡면^영어을 이용한다. 타이히뮐러 공간

T(S)

는 쌍

(X, g)

들의 공간으로 정의할 수 있다. 여기서

X

는 리만 곡면이고

g: S \to X

는 미분동형사상(marking|표지^영어)이다. 두 쌍

(X, g)

와

(Y,h)

는 합성 사상

h \circ g^{-1} : X \to Y

가 정칙 미분동형사상에 아이소토픽할 경우 동치로 간주된다.

단일화 정리에 따르면, 특정한 위상적 조건(

2g-2+k > 0

, 여기서

g

는 종수,

k

는 제거된 점 또는 뾰족점의 개수)을 만족하는 곡면

S

는 곡률이 상수

-1

인 완비 리만 계량(쌍곡 계량)을 갖는다. 이 경우, 곡면 위의 복소 구조와 쌍곡 구조 사이에는 일대일 대응 관계가 성립한다. 따라서 타이히뮐러 공간

T(S)

는

S

위의 표시된 쌍곡 곡면들의 집합으로도 이해할 수 있다. 즉, 쌍

(M, f)

들의 집합으로, 여기서

M

은 쌍곡 곡면이고

f : S \to M

은 미분동형사상이다. 두 쌍

(M, f)

와

(N, g)

는

f \circ g^{-1}

가 등거리 변환(isometry^영어)과 아이소토픽할 때 동치이다.

타이히뮐러 공간은 리만 곡면의 모듈라이 공간과 밀접하게 관련된다. 모듈라이 공간은

\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)

대신 전체 위상동형사상 군

\operatorname{Homeo}(\Sigma)

를 사용하여 정의된다. 군의 짧은 완전열

:

0\to\operatorname{Homeo}_0(\Sigma)\hookrightarrow\operatorname{Homeo}(\Sigma)\twoheadrightarrow\operatorname{MCG}(\Sigma)\to0

로부터, 모듈라이 공간은 타이히뮐러 공간을 사상류군(

\operatorname{MCG}(\Sigma)

, mapping class group^영어)으로 나눈 몫공간 오비폴드임을 알 수 있다. 종수가

g

이고

n

개의 점을 제거한 리만 곡면

\Sigma_{g,n}

의 타이히뮐러 공간을

\mathcal T_{g,n}

, 복소 모듈라이 공간을

\mathcal M_{g,n}

으로 표기하며, 다음 관계가 성립한다.

:

\mathcal M_{g,n}=\mathcal T_{g,n}/\operatorname{MCG}(\Sigma_{g,n})

타이히뮐러 공간과 모듈라이 공간의 차이에 대해 윌리엄 서스턴은 다음과 같이 비유적으로 설명했다.^[12]

대략, 타이히뮐러 공간에서는 곡면이 어떤 계량을 입고 있는지뿐만 아니라, 곡면이 '''어떻게''' 계량을 입고 있는지도 중요하다. 모듈라이 공간에서는 같은 계량을 입고 있는 모든 곡면들이 동등하다. 아기 옷을 입힐 때 다리를 뒤틀리게 잘못 입힌 적이 있다면, 이 차이를 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

타이히뮐러 공간에서 모듈라이 공간으로 가는 자연스러운 사상

(X, f) \mapsto X

가 존재하며, 이는 covering map|피복 사상^영어이다. 타이히뮐러 공간은 단일 연결 공간이므로, 이 사상은 모듈라이 공간의 orbifold universal cover|오비폴드 보편 피복 공간^영어을 제공한다.

=== 예시 ===

단일화 정리를 이용해 몇 가지 간단한 타이히뮐러 공간을 계산할 수 있다.

구면 $\mathbb S^2$ (리만 구)은 유일한 복소 구조를 가지며, 방향 보존 미분동형사상 군은 축약 가능 공간이다. 따라서 $\mathbb S^2$ 의 타이히뮐러 공간은 점 하나로 이루어진다.
평면 $\R^2$ 는 두 개의 동치이지 않은 복소 구조(복소 평면 $\Complex$ 와 단위 원판 $\mathbb{D}$ )를 가지며, 각 경우 미분동형사상 군은 축약 가능하다. 따라서 $\R^2$ 의 타이히뮐러 공간은 두 개의 점으로 이루어진다.
열린 환상 $A = \{z \in \Complex : r < |z| < R\}$ 의 타이히뮐러 공간은 구간 $[0, 1)$ 과 동형이다. 각 $\lambda \in [0, 1)$ 에 대응하는 복소 구조는 리만 곡면 $\{z \in \Complex : \lambda < |z| < \lambda^{-1} \}$ (단, $\lambda=0$ 은 뚫린 원판에 해당)으로 표현될 수 있다.
토러스 $\mathbb T^2 = \R^2/\Z^2$ 의 경우, 모든 복소 구조는 $\Complex/(\Z + \tau\Z)$ 형태의 리만 곡면(타원 곡선)으로 실현될 수 있다. 여기서 $\tau$ 는 상반 평면 $\mathbb{H} = \{z \in \Complex : \operatorname{Im}(z) > 0\}$ 에 속하는 복소수이다. 다음과 같은 일대일 대응이 존재한다.

::

\mathbb{H} \longrightarrow T(\mathbb T^2)

::

\tau \longmapsto (\Complex/(\Z + \tau\Z), (x, y) \mapsto x + \tau y)

따라서 토러스

\mathbb T^2

의 타이히뮐러 공간은 상반 평면

\mathbb{H}

이다. 이는 또한

\mathbb T^2

위의 표시된 평탄 구조들의 공간으로도 볼 수 있다.

4. 성질

리만 곡면과 관련된 푸흐스 군에 대한 모듈 공간 연구는 베른하르트 리만(1826–1866)까지 거슬러 올라간다. 리만은 종수 $g\ge 2$ 인 곡면의 복소 구조 변화를 설명하기 위해 $6g-6$ 개의 매개변수가 필요하다는 것을 인지하고 있었다. 19세기 말에서 20세기 초에 걸쳐 이루어진 타이히뮐러 공간의 초기 연구는 기하학적 접근 방식을 취했으며, 리만 곡면을 쌍곡선 곡면으로 해석하는 데 기반을 두었다. 이 시기의 주요 기여자로는 펠릭스 클라인, 앙리 푸앵카레, 파울 쾨베, 야콥 닐센, 로베르트 프리케, 베르너 펜켈 등이 있다.

타이히뮐러 공간 연구에 중요한 기여를 한 것은 오스발트 타이히뮐러로, 그는 준등각 사상이라는 개념을 도입했다. 이는 기존의 연구에 없던 새로운 특징을 부여하며 모듈 공간 연구에 깊이를 더했다. 제2차 세계 대전 이후, 타이히뮐러 공간 연구는 이러한 분석적 관점에서 더욱 발전했으며, 특히 라르스 알포르스와 립먼 버스가 중요한 역할을 했다. 버스가 도입한 타이히뮐러 공간의 복소 구조에 대한 연구를 포함하여 이 이론은 현재까지도 활발히 연구되고 있다.

1970년대 후반에는 윌리엄 서스턴의 연구를 통해 타이히뮐러 공간 연구의 기하학적 관점이 다시 주목받기 시작했다. 서스턴은 곡면의 사상류군 연구에 활용되는 기하학적 콤팩트화를 도입했다. 이 그룹과 관련된 다른 조합론적 대상들, 특히 곡선 복합체 역시 타이히뮐러 공간과 관련이 있으며, 이는 기하학적 군론 분야에서 활발하게 연구되는 주제이다.

4. 1. 차원

종수

g

이고

n

개의 점("puncture" 또는 "cusp")이 제거된 리만 곡면

\Sigma_{g,n}

의 타이히뮐러 공간

\mathcal T_{g,n}

은 복소다양체이며, 그 복소 차원은 다음과 같이 주어진다.

\dim_{\mathbb C}\mathcal T_{g,n} = 3g-3+n

이 공식은

2g-2+n > 0

일 때 유효하다. 이 조건은 해당 곡면이 쌍곡 계량을 가질 수 있는 조건과 같다. 즉, 타이히뮐러 공간이 자명하지 않은 점들의 공간을 이루는 경우이다.

특히 점이 제거되지 않은 닫힌 곡면(

n=0

)의 경우, 차원은 다음과 같다.

종수 0 ( $g=0$ ): 리만 구. $\dim_{\mathbb C} \mathcal T_{0,0} = 0$ . 타이히뮐러 공간은 단 하나의 점으로 구성된다. 이는 리만 구 위의 복소 구조가 뫼비우스 변환을 제외하고 유일하기 때문이다.
종수 1 ( $g=1$ ): 원환면. $\dim_{\mathbb C} \mathcal T_{1,0} = 1$ . 원환면의 복소 구조는 복소 평면에서의 격자에 의해 결정되며, 이 격자의 모양(모듈러스)을 나타내는 복소수 파라미터가 하나 존재한다.
종수 2 이상 ( $g \ge 2$ ): $\dim_{\mathbb C} \mathcal T_{g,0} = 3g-3$ .

이 차원 공식은 리만-로흐 정리를 사용하여 유도할 수 있다. 타이히뮐러 공간의 한 점

\Sigma

에서의 공변접공간은

\Sigma

위의 정칙 이차 미분(holomorphic quadratic differential)들의 벡터 공간

\operatorname H^0(\Sigma; K^{\otimes 2})

과 동형 관계에 있다. 여기서

K

는

\Sigma

의 표준 선다발이다. 리만-로흐 정리를 이용하면 이 공간의 차원이

g \ge 2

일 때

3g-3

임을 보일 수 있다. 점

n

개가 제거된 경우, 각 제거된 점 근처에서의 복소 구조 변형에 대한 자유도가 추가되어 차원이

n

만큼 증가하게 된다.

4. 2. 베유-페테르손 계량

타이히뮐러 공간 위에는 '''베유-페테르손 계량'''(Weil–Petersson metric^영어)이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다.^[13]

이 경우, 임의의 접벡터

\psi,\chi\in T\mathcal M_g\cong H^0(\Sigma;K)

에 대하여, '''베유-페테르손 계량'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\langle\psi,\chi\rangle=[\Sigma]\frown(\psi\smile\chi)=\int_\sigma\psi\wedge\chi

여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소 선택에 의존하지 않는다.

리만 곡면

X

위의 2차 미분은 타이히뮐러 공간에서

(X, f)

에서의 여접 공간과 동일시된다.^[5] 베유-페테르손 계량은 이러한 2차 미분에 대한

L^2

내적으로 정의되는 리만 계량이다.

4. 3. 콤팩트화

타이히뮐러 공간에는 여러 가지 방법으로 콤팩트화를 정의할 수 있다. 그중 윌리엄 서스턴이 도입한^[14] '''서스턴 콤팩트화'''(Thurston compactification^영어)가 가장 널리 사용된다.^[15] 서스턴 콤팩트화는 타이히뮐러 공간 위의 점마다 간단한 닫힌 곡선의 쌍곡선 길이를 고려하여, (무한 차원) 사영 공간에서 폐포를 취하는 방식으로 구성된다. 이 콤팩트화된 공간에서 무한대에 해당하는 점들은 사영 측정 라미네이션(projective measured lamination^영어)에 대응하며, 전체 공간은 닫힌 공과 위상 동형이다. 서스턴 콤팩트화의 중요한 특징은 모듈러 군의 작용이 콤팩트화된 전체 공간으로 연속적으로 확장된다는 점이다. 이 성질은 모듈러 군 연구에 유용하게 활용되며, 서스턴은 이를 이용해 모듈러 군 원소를 분류하기도 했다.

모듈러스 공간

\mathcal M_{g,n}

의 경우에는 '''들리뉴-멈퍼드 콤팩트화'''(Deligne–Mumford compactification^영어) 또는 '''크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화'''(Knudsen–Deligne–Mumford compactification^영어), '''안정 콤팩트화'''(stable compactification^영어)라고 불리는 콤팩트화가 존재한다.^[16] 이 콤팩트화된 모듈러스 공간 위에서 베유-페테르손 계량은 완비 계량이 된다.

이 외에도 여러 다른 콤팩트화 방법들이 연구되었다.

'''베르스 콤팩트화'''(Bers compactification^영어): 타이히뮐러 공간의 베르스 매장(Bers embedding^영어)의 상(image)의 폐포를 취하여 얻어진다. 베르스 매장은 타이히뮐러 공간 내의 기준점 선택에 의존하므로, 이 콤팩트화는 모듈러 군의 작용에 대해 불변이 아니며, 모듈러 군은 연속적으로 작용하지 않는다.
'''타이히뮐러 콤팩트화'''(Teichmüller compactification^영어): 고정된 기준점에서 시작하는 타이히뮐러 측지선(Teichmüller geodesic^영어)을 이용하여 정의된다. 이 콤팩트화 역시 기준점 선택에 의존하므로 모듈러 군의 작용을 받지 않으며, 모듈러 군의 작용이 이 콤팩트화로 연속적으로 확장되지 않는다는 사실이 알려져 있다.
'''가디너-마수르 콤팩트화'''(Gardiner–Masur compactification^영어): 서스턴 콤팩트화와 유사하지만, 쌍곡선 길이 대신 극단 길이(extremal length^영어)를 사용한다. 모듈러 군이 이 콤팩트화에는 연속적으로 작용하지만, 서스턴 콤팩트화보다 무한대에 더 많은 점을 가진다는 점이 다르다.

5. 예

타이히뮐러 공간은 리만 곡면의 종수 ( $g$ )와 구멍(puncture)의 개수 ( $n$ )에 따라 다양한 형태를 가진다. 대표적인 예는 다음과 같다.

종수 0: 리만 구면에 해당한다. 구멍의 개수가 3개 이하일 경우 타이히뮐러 공간은 하나의 점으로 구성된다. 구멍이 4개 이상이 되면 더 복잡한 구조를 나타낸다.
종수 1: 타원 곡선 또는 토러스에 해당한다. 구멍이 없거나 1개일 때 타이히뮐러 공간은 복소 상반평면 $\mathbb H$ 와 동형 관계를 가진다.
종수 2 이상: 타이히뮐러 공간과 모듈러스 공간은 더 높은 차원을 가지며, 곡면의 기본군과 관련된 표현 공간으로 해석될 수 있다.

각 경우에 대한 더 자세한 내용은 아래의 해당 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 종수 0

종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면

\hat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\hat\infty\}

이 유일하다. 따라서 종수 0인 리만 곡면의 복소 모듈러스 공간

\mathcal M_0=\{\bullet\}

은 하나의 점만을 포함한다.

구멍(puncture)의 개수가 0, 1, 2, 3개인 경우의 타이히뮐러 공간

\mathcal T_{0,0}

,

\mathcal T_{0,1}

,

\mathcal T_{0,2}

,

\mathcal T_{0,3}

은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여 리만 구면 위의 서로 다른 임의의 세 점을 다른 임의의 세 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 예를 들어, 서로 다른 세 점

z_1,z_2,z_3\in\hat{\mathbb C}

이 주어졌을 때, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 통해 이 점들을 각각

0,1,\hat\infty\in\hat{\mathbb C}

로 옮길 수 있다.

:

z\mapsto\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}

특히, 세 개의 구멍이 있는 구면(

S_{0,3}

)에는 유일한 유한 부피 완전 쌍곡선 계량이 존재하므로, 상수 곡률을 갖는 유한 부피 완전 계량의 타이히뮐러 공간

T(S_{0,3})

(이는

\mathcal T_{0,3}

과 같다)은 점이다.

구멍이 4개인 경우의 타이히뮐러 공간

\mathcal T_{0,4}

는 1차원이며, 복소 상반평면

\mathbb H

와 동형이다. 이는

T(S_{0,4})

가 펜켈-닐센 좌표를 사용하여 자연스럽게 상반평면으로 실현되는 것을 통해 알 수 있다. 이 경우 복소 모듈러스 공간은

\mathcal M_{0,4}\cong\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\hat\infty\}

이다. 여기에 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화를 적용하면, 제거되었던 점들이 추가되어

\hat{\mathcal M}_{0,4}\cong\hat{\mathbb C}

가 된다.

일반적으로,

n

개의 구멍이 있는 종수 0 리만 곡면의 모듈러스 공간

\mathcal M_{0,n}

은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal M_{0,n}=(\hat{\mathbb C}^n\setminus\Delta_n)/\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\Delta_n=\{(z_1,\dots,z_i,\dots,z_n)\in\hat{\mathbb C}^n\colon\exists i\ne j\colon z_i=z_j\}$ 는 $\hat{\mathbb C}^n$ 에서 적어도 두 개의 좌표값이 같은 점들의 집합이다.
$\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)$ 는 리만 구면 $\hat{\mathbb C}$ 에 작용하는 뫼비우스 변환들의 군이며, 이 군은 $\hat{\mathbb C}^n$ 의 각 좌표에 동일하게 작용한다(대각형 작용).

5. 2. 종수 1

타원 곡선의 모듈러스 공간은 상반평면의 모듈러 군 작용에 대한 몫공간이며, 이는 기본 영역(회색으로 칠해진 영역)으로 나타낼 수 있다.

종수가 1인 리만 곡면은 (비특이 복소) 타원 곡선이다. 이는 복소 평면

\mathbb{C}

를 2차원 격자에 대한 몫공간으로 생각하여 얻을 수 있다. 즉, 복소 평면 위의 점

z

에 대해 다음과 같은 변환을 통해 동일시한다.

:

z\mapsto z+n_1\omega_1+n_2\omega_2

(

n_1,n_2\in\mathbb Z

)

여기서

\omega_1, \omega_2

는 격자를 생성하는 두 복소수 주기이다.

이 타원 곡선의 복소 구조는 두 주기의 비

\tau=\omega_2/\omega_1

에만 의존하며,

\tau

는 상반평면

\mathbb H = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) > 0\}

의 원소이다.

종수 1이고 구멍(puncture)이 없거나(

\mathcal T_{1,0}

) 하나 있는(

\mathcal T_{1,1}

) 곡면의 타이히뮐러 공간은 모두 상반평면

\mathbb H

와 동형이다. 예를 들어, 토러스

\mathbb T^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2

의 경우, 모든 복소 구조는

\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z})

형태의 리만 곡면(복소 타원 곡선)으로 나타낼 수 있으며, 여기서

\tau \in \mathbb{H}

이다. 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

:

\mathbb{H} \longrightarrow T(\mathbb T^2)

:

\tau \longmapsto (\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z}), (x, y) \mapsto x + \tau y)

따라서 토러스

\mathbb T^2

의 타이히뮐러 공간은 상반평면

\mathbb{H}

이다.

타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간

\mathcal M_1

은 상반평면

\mathbb H

에 다음과 같은 모듈러 군

\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

의 작용에 대한 몫공간을 취한 오비폴드이다.

:

\tau\sim\frac{a\tau+b}{c\tau+d}

(

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)

)

여기서 사상류군

\operatorname{MCG}(T^2)=\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)/(M\sim-M)=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

을 '''모듈러 군'''이라고 한다.

이 몫공간, 즉 타원 곡선 모듈러스 공간

\mathcal M_1\cong\mathbb H/\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

은 위상수학적으로

\mathbb R^2

와 위상동형이며, 다음과 같은 '''기본 영역'''(fundamental domain^영어)으로 나타낼 수 있다 (오른쪽 그림의 회색 영역).

:

R=\{\tau\in\mathbb H\colon |\tau|>1,|\operatorname{Re}\tau|<1/2\}

여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)를 적용하면

S^2

와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간

\hat{\mathcal M}_1

을 정의할 수 있다. 이때 추가된 점은 기본 영역에서

\tau=i\infty

에 해당하며, 이 위상동형사상은 j-불변량

j\colon\hat{\mathcal M}_1\to\hat{\mathbb C}

으로 주어진다.

5. 3. 종수 2 이상

종수(

g

)가 2 이상인 경우, 차원 공식에 따라 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한 차원을 가진다. 이 경우, 사상류군은 '''타이히뮐러 모듈러 군'''(Teichmüller modular group^영어)이라고 불린다.

타이히뮐러 공간

T(S)

는 곡면

S

의 기본군

\Gamma = \pi_1(S)

에 대한 표현 공간으로도 해석될 수 있다. 만약

S

가 유한형의 쌍곡면이라면, 타이히뮐러 공간은 다음과 같은 집합과 자연스럽게 일대일 대응된다.

$S$ 가 콤팩트할 경우: PSL₂(ℝ)의 원소에 의한 공액(conjugacy)까지 고려했을 때, 이산 이미지를 갖는 단사 표현 $\rho: \Gamma \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ 들의 집합.
일반적인 경우: 위 조건에 더하여, 펑처(puncture)에 해당하는 자유 호모토피 곡선으로 표현되는 $\Gamma$ 의 원소가 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ 의 포물형 원소로 보내진다는 조건을 만족하는 표현들의 집합 (역시 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ 의 원소에 의한 공액까지 고려).

이 대응 관계는 표지된 쌍곡 구조(marked hyperbolic structure)

(M, f)

를

\rho \circ f_*

라는 표현으로 보낸다. 여기서

\rho: \pi_1(M) \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})

는 쌍곡 구조

M

의 모노드로미 표현이고,

f_*: \pi_1(S) \to \pi_1(M)

는 표지 사상(marking map)

f

에 의해 유도된 동형 사상이다.

이 해석을 통해 타이히뮐러 공간

T(S)

는

\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})^{2g+k-1}

(여기서

g

는 종수,

k

는 펑처의 수)의 닫힌 부분 집합으로 실현될 수 있으며, 이를 통해 위상이 부여된다. 이는

T(S)

가

\mathbb{R}^{6g - 6 + 2k}

와 동형임을 직접적으로 보여준다.

타이히뮐러 공간에 대한 이러한 해석은 고차 타이히뮐러 이론으로 일반화될 수 있는데, 이 이론에서는 군

\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})

가 임의의 반단순 리 군으로 대체된다.

타이히뮐러 공간

T(S)

에서

S

와 미분동형인 리만 곡면들의 모듈라이 공간

M(S)

로 가는 자연스러운 사상이 존재하며, 이는

(X, f) \mapsto X

로 정의된다. 이 사상은 피복 사상(covering map)이며, 타이히뮐러 공간

T(S)

가 단일 연결 공간이므로,

T(S)

는 모듈라이 공간의 오비폴드 보편 피복 공간(universal orbifold cover)이 된다.

S

의 매핑 클래스 군

MCG(S)

은

S

의 미분동형사상 군을 항등 사상과 동위(isotopic)인 사상들로 이루어진 정규 부분군으로 나눈 몫군이다. (미분동형사상 대신 위상동형사상을 사용해도 동일한 군을 얻는다.) 미분동형사상 군은 타이히뮐러 공간에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

:

g \cdot (X, f) \mapsto (X, f \circ g^{-1}).

만약

\gamma \in MCG(S)

가 특정 매핑 클래스이고

g, h

가

\gamma

를 대표하는 두 미분동형사상이라면,

g

와

h

는 동위 관계에 있다. 따라서 타이히뮐러 공간에서

(X, f \circ g^{-1})

와

(X, f \circ h^{-1})

의 클래스는 동일하며, 위의 작용은 매핑 클래스 군

MCG(S)

를 통해 잘 정의된다.

매핑 클래스 군

MCG(S)

의 타이히뮐러 공간에 대한 작용은 적절히 불연속적이며, 그 몫 공간(quotient space)이 바로 모듈라이 공간

M(S)

이다.

'''닐슨 실현 문제'''

닐슨 실현 문제(Nielsen realization problem)는 매핑 클래스 군

MCG(S)

의 모든 유한 부분군이 타이히뮐러 공간에서 전역 고정점(모든 군 원소에 의해 고정되는 점)을 갖는지에 대한 질문이다. 고전적인 용어로는,

MCG(S)

의 모든 유한 부분군이

S

위의 어떤 완비 쌍곡 계량(complete hyperbolic metric)에 대한 등거리 변환 군으로, 또는 동등하게 어떤 복소 구조의 자기 동형 군(automorphism group)으로 실현될 수 있는지 묻는 문제이다. 이 문제는 스티븐 커크호프(Stephen Kerckhoff)에 의해 긍정적으로 해결되었다.

6. 펜켈-닐센 좌표

펜켈-닐센 좌표(베르너 펜켈과 야콥 닐센의 이름을 따서 명명됨)는 타이히뮐러 공간 $T(S)$ 상에서 표면 $S$ 의 바지 분해와 연관되어 있다. 이는 $S$ 를 바지 여러 개로 분해하는 것을 의미하며, 분해에 포함된 각 닫힌 측지선 곡선에는 쌍곡 기하학적 거리에서의 길이와, 더 복잡하게 정의되는 비틀림이라는 두 개의 실수 매개변수가 연관된다.

종수 $g$ 의 닫힌 표면 $S_g$ 의 경우, 바지 분해에는 $3g - 3$ 개의 곡선이 존재한다. 따라서 총 $6g-6$ 개의 매개변수(길이 $3g-3$ 개, 비틀림 $3g-3$ 개)를 얻게 되는데, 이는 타이히뮐러 공간 $T(S_g)$ 의 차원과 같다. 펜켈-닐센 좌표는 실제로 $T(S_g)$ 에서 $]0, +\infty[^{3g-3} \times \R^{3g-3}$ 로 가는 동형사상을 정의한다.

표면에 $k$ 개의 구멍(또는 첨점)이 있는 경우( $S = S_{g,k}$ ), 일부 바지는 "퇴화"되어 첨점을 가지게 된다. 이 퇴화된 바지는 두 개의 길이 및 비틀림 매개변수만 제공한다. 이 경우에도 펜켈-닐센 좌표는 $T(S_{g, k})$ 에서 $]0, +\infty[^{3g-3 + k} \times \R^{3g-3 + k}$ 로 가는 동형사상을 정의한다.

만약 $k > 0$ 이면, 곡면 $S = S_{g,k}$ 는 이상적인 삼각 분할을 허용한다. 이 분할의 꼭짓점은 정확히 표면의 구멍(첨점)에 해당한다. 오일러 지표 공식에 따르면, 이러한 삼각 분할은 $4g - 4 + 2k$ 개의 삼각형을 가진다. $S$ 위의 쌍곡 구조 $M$ 은 모든 삼각형을 쌍곡선 이상 삼각형으로 보내는 (동위 관계까지 유일한) 미분 동형 사상 $S \to M$ 을 결정하며, 이는 $T(S)$ 의 한 점을 결정한다. 이러한 구조에 대한 매개변수는 삼각 분할에서 서로 붙는 각 변 쌍에 대한 변환 길이이다. 이러한 좌표를 전단 좌표(shear coordinates)라고 한다. 전단 좌표 매개변수는 $6g - 6 + 3k$ 개 있으며, 각각 실수 $\R$ 의 모든 값을 가질 수 있다. 구조의 완전성은 선형 방정식에 해당하므로, 올바른 차원인 $6g - 6 + 2k$ 를 얻는다.

닫힌 곡면의 경우, 바지 한 쌍은 두 개의 이상적인 삼각형의 합집합으로 분해될 수 있다 (이는 세 구멍 구체 위의 불완전한 쌍곡선 메트릭으로 볼 수 있다). 따라서 닫힌 표면 $S_g$ 의 타이히뮐러 공간 $T(S_g)$ 에서도 $3g - 3$ 개의 전단 좌표를 얻을 수 있다.

7. 지진 변환

타이히뮐러 공간에서의 단순한 ''지진 경로''는 고정된 이상 삼각 분할에 대해 단일 전단 또는 길이 펜켈-닐슨 좌표를 변화시켜 결정되는 경로이다. 이 이름은 이상 삼각형이나 바지를 판구조로 보고 전단을 판의 움직임에 비유한 데서 유래했다.

더 일반적으로는 측지선 라미네이션을 따라 지진 변환을 일으킬 수 있다. 서스턴의 정리에 따르면, 타이히뮐러 공간의 임의의 두 점은 유일한 지진 경로로 연결된다.

8. 해석적 이론

타이히뮐러의 모듈 연구에 대한 주요 기여는 준등각 사상을 도입한 것이다. 이를 통해 이전의 기하학적 연구에서는 다루지 않았던 해석적인 특징을 부여하여 모듈 공간 연구에 깊이를 더할 수 있었다. 제2차 세계 대전 이후 이 주제는 이러한 분석적 관점에서 더욱 발전했으며, 특히 라르스 알포르스와 립먼 버스가 중요한 기여를 했다. 버스가 도입한 타이히뮐러 공간의 복소 구조에 대한 연구는 이후 활발하게 이어졌다.

8. 1. 준등각 사상

두 리만 곡면 사이의 준등각 사상은 곡면 위의 등각 구조를 제한된 방식으로 변형시키는 위상동형사상이다. 보다 정확하게는, 준등각 사상은 거의 모든 점에서 미분 가능하며, 다음과 같은 '팽창'이라는 상수

K \ge 1

가 존재한다.

:

\frac { |f_z| + |f_{\bar z}| } { |f_z| - |f_{\bar z}|} \le K

여기서

f_z

와

f_{\bar z}

는 등각 좌표

z

와 그 켤레 복소수

\bar z

에 대한 도함수이다.

모든 아이소토피 동치류에는 준등각 사상이 존재한다. 이를 통해 타이히뮐러 공간을 다르게 정의할 수도 있다. 종수가

S

이고 미분 동형인 리만 곡면

X

를 하나 고정하면, 타이히뮐러 공간은 준등각 사상

g: X \to Y

를 갖는 '표지된 곡면'

(Y, g)

들의 집합과 자연스럽게 일대일 대응된다. 이때, 두 표지된 곡면이 같다고 보는 동치 관계는 앞서 정의한 것과 동일하다.

8. 2. 이차 미분과 베르스 임베딩

타이히뮐러 공간의 한 점

X = \Gamma \setminus \mathbb{H}^2

가 주어졌을 때, 벨트라미 미분 방정식의

\Gamma

-등변 해(equivariant solution)로부터 자연스러운 사상이 존재한다. 이 해들은 슈바르치안 미분을 통해

X

위에 정의된 이차 미분(quadratic differential)을 만들어낸다.

이러한 이차 미분들의 공간은 복소 차원이

3g - 3

인 복소 공간을 이루며, 타이히뮐러 공간은 이 이차 미분 공간 안의 열린 집합으로 대응된다. 이 대응 사상을 베르스 임베딩(Bers embedding^eng)이라고 부른다.

X

위의 이차 미분은

X

에 등각적으로 대응되는 병진 곡면(translation surface)으로 표현될 수도 있다.
베르스 콤팩트화(Bers compactification^eng)는 타이히뮐러 공간의 베르스 임베딩에 의한 상(image)의 폐포를 취하여 얻어지는 공간이다. 이 콤팩트화는 1970년 립먼 베르스에 의해 연구되었다. 베르스 임베딩 자체는 타이히뮐러 공간의 기준점 선택에 의존하기 때문에 모듈라 군의 작용에 대해 불변이 아니며, 실제로 모듈라 군은 베르스 콤팩트화 위에서 연속적으로 작용하지 않는다.

8. 3. 타이히뮐러 사상

타이히뮐러 정리에 따르면, 두 개의 표시된 리만 곡면

(X, g)

와

(Y, h)

사이에는 항상 최소의 확대율을 갖는,

h \circ g^{-1}

의 아이소토피류에 속하는 유일한 준등각 사상

X \to Y

가 존재한다. 이 사상을 타이히뮐러 사상이라고 부른다.

기하학적인 관점에서 이는 모든 미분동형 리만 곡면

X, Y

와 미분동형 사상

f: X \to Y

에 대해

X, Y

를 나타내는 두 개의 다각형과, 모든 준등각 사상

X \to Y

중에서 가장 작은 확대율을 갖는 아핀 사상이 존재한다는 것을 의미한다.

9. 계량

타이히뮐러 공간에는 다양한 계량 구조를 정의할 수 있다. 대표적인 예로는 타이히뮐러 계량과 바일-페테르손 계량이 있다.

타이히뮐러 계량은 쌍곡 계량이나 준등각 사상의 딜라테이션 개념을 이용하여 정의된다. 이 계량을 통해 타이히뮐러 공간은 완비 거리 공간이 되며, 이는 기하학적 군론 등에서 중요하게 사용된다.^[1]^[4]

바일-페테르손 계량은 타이히뮐러 공간 위에 정의되는 켈러 구조이며, 리만 곡면의 모듈라이 공간에서도 잘 정의된다. 이 계량은 사상류군의 작용에 대해 불변이라는 중요한 성질을 가진다.^[13]^[5]

이 두 계량 외에도 여러 계량이 존재하며, 바일-페테르손 계량을 제외한 대부분의 계량은 서로 준등거리사상 관계에 있다.^[11]

9. 1. 타이히뮐러 계량

타이히뮐러 공간

T(S)

에 위상을 부여하는 자연스러운 방법 중 하나는 쌍곡 계량과 길이 함수를 이용하는 것이다.

S

위의 단순 닫힌 곡선

\alpha

와 표시된 쌍곡 곡면

x = (M, f)

에 대해,

M

에서

f_*\alpha

와 호모토피적인 유일한 닫힌 측지선

\alpha_x

의 길이를

\ell_\alpha(x)

라고 정의한다. 이 길이 함수들을 이용하여

T(S)

를

\R^{\mathcal S}

(여기서

\mathcal S

는

S

위의 단순 닫힌 곡선 집합) 공간에 임베딩할 수 있으며, 이를 통해

T(S)

에 유도된 위상을 부여할 수 있다. 이 위상에서

T(S_{g,k})

는

\R^{6g - 6 + 2k}

와 위상동형이다.

사실

9g-9

개의 곡선으로 임베딩을 얻을 수 있으며, 심지어

6g - 5 + 2k

개의 곡선으로도 임베딩을 얻을 수 있다.^[1] 두 경우 모두 임베딩을 사용하여 위에 언급된 위상 동형에 대한 기하학적 증명을 제공할 수 있다.

만약

x, y \in T(S)

이고, 이들 사이의 타이히뮐러 사상이

K

의 딜라테이션을 가진다면, 이들 사이의 타이히뮐러 거리는 정의상

\frac12 \log K

이다. 이 정의는 실제로

T(S)

위에 거리를 부여하며, 이 거리는 위에서 언급한 위상을 유도한다. 또한, 이 거리 공간으로서

T(S)

는 완비 공간이다. 이 타이히뮐러 거리는 타이히뮐러 공간의 미터 기하학 연구, 특히 기하학적 군론 분야에서 가장 일반적으로 사용되는 거리이다.

이와 유사하게, 준등각 딜라테이션 대신 쌍곡 곡면 사이 사상의 립시츠 상수를 사용하여

T(S) \times T(S)

위에 함수를 정의할 수도 있지만, 이 함수는 대칭적이지 않다.^[4]

9. 2. 바일-페테르손 계량

타이히뮐러 공간 위에는 '''바일-페테르손 계량'''(Weil–Petersson metric^영어)이라는 켈러 구조가 존재한다. 이 계량은 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다.^[13]

임의의 접벡터

\psi,\chi\in T\mathcal M_g\cong H^0(\Sigma;K)

에 대하여, '''바일-페테르손 계량'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\langle\psi,\chi\rangle=[\Sigma]\frown(\psi\smile\chi)=\int_\sigma\psi\wedge\chi

여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소 선택에 의존하지 않는다.

리만 곡면

X

위의 2차 미분은 타이히뮐러 공간에서

(X, f)

에서의 여접 공간과 동일시된다.^[5] 바일-페테르손 계량은 2차 미분에 대한

L^2

내적으로 정의되는 리만 계량이다.

9. 3. 다른 계량과의 관계

리만 곡면

X

위의 2차 미분은 타이히뮐러 공간에서

(X, f)

에서의 여접 공간과 동일시된다.^[5] 바일-페테르손 계량은 이러한 2차 미분에 대한

L^2

내적으로 정의되는 리만 계량이다.

바일-페테르손 계량을 제외하고, 타이히뮐러 공간의 다른 모든 계량(metric)들은 서로 준등거리사상 관계에 있다.^[11]

10. 콤팩트화

타이히뮐러 공간에는 여러 가지 방법으로 경계를 추가하여 콤팩트한 공간으로 만들 수 있다. 이러한 과정을 콤팩트화라고 하며, 다양한 종류의 콤팩트화가 연구되어 왔다.^[14]

가장 널리 사용되는 것은 윌리엄 서스턴이 도입한 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification^영어)이다.^[15] 서스턴 콤팩트화는 각 점에 대한 간단한 닫힌 곡선의 쌍곡선 길이를 이용하여 정의하며, (무한 차원) 사영 공간에서 폐포를 취하는 방식으로 만들어진다. 이렇게 콤팩트화된 공간은 닫힌 공과 위상동형이다. 서스턴 콤팩트화의 중요한 특징은 모듈러 군의 작용이 콤팩트화된 타이히뮐러 공간 전체에 걸쳐 연속적으로 작용한다는 점이다. 이 성질 덕분에 모듈러 군의 원소를 분류하는 서스턴 분류 등에 유용하게 사용된다.

모듈러스 공간 $M_{g,n}$ 의 경우에는 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(Deligne–Mumford compactification^영어) 또는 크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(Knudsen–Deligne–Mumford compactification^영어), 안정 콤팩트화(stable compactification^영어)라고 불리는 콤팩트화가 존재한다.^[16] 이 콤팩트화된 모듈러스 공간 위에서 베유-페테르손 계량은 완비 계량이 된다.

서스턴 콤팩트화 외에도 여러 다른 콤팩트화 방법들이 있다.

베르스 콤팩트화(Bers compactification^영어): 타이히뮐러 공간의 베르스 임베딩(Bers embedding) 상의 폐포를 취하여 정의된다. 하지만 베르스 임베딩 자체가 타이히뮐러 공간의 기준점 선택에 의존하기 때문에, 이 콤팩트화는 모듈러 군의 작용에 대해 불변이 아니며, 모듈러 군의 작용이 연속적이지 않다는 단점이 있다.
타이히뮐러 콤팩트화: 타이히뮐러 거리(Teichmüller metric)에 대한 측지선을 이용하여 정의된다. 이 역시 기준점 선택에 따라 달라지므로 모듈러 군의 작용을 받지 않으며, 모듈러 군의 작용이 연속적으로 확장되지 않는다는 것이 알려져 있다.
가드너-마주어 콤팩트화(Gardiner–Masur compactification^영어): 쌍곡선 길이 대신 극단 길이(extremal length)를 사용하여 정의된다. 서스턴 콤팩트화와 유사하게 모듈러 군의 작용이 연속적이지만, 무한대에 해당하는 경계점이 서스턴 콤팩트화보다 더 많다는 차이가 있다.

초기 연구된 콤팩트화 중 일부는 기준점 선택에 따라 달라져 모듈러 군에 대해 불변하지 않는 불편함이 있었으나, 서스턴 콤팩트화는 이러한 단점을 극복하여 가장 널리 사용되고 있다.

11. 대규모 기하학

타이히뮐러 계량으로 부여된 타이히뮐러 공간의 기하학적 성질에 대한 광범위한 연구가 이루어졌다. 알려진 대규모 기하학적 성질은 다음과 같다.

타이히뮐러 공간 $T(S_{g,k})$ 는 차원 $3g - 3 + k$ 의 평탄한 부분 공간을 포함하며, 더 높은 차원의 준등거리 매립된 평탄 공간은 존재하지 않는다.^[6]
특히, $g>1$ 또는 $g=1, k>1$ 또는 $g=0, k>4$ 인 경우 $T(S_{g,k})$ 는 쌍곡 공간이 아니다.

한편, 타이히뮐러 공간은 다음과 같이 쌍곡 공간의 특성을 나타내는 여러 성질을 보인다.

일부 측지선은 쌍곡 공간에서와 같이 동작한다.^[7]
타이히뮐러 공간에서의 임의 보행은 확률 1로 Thurston 경계 상의 한 점으로 수렴한다.^[8]

이러한 특징 중 일부는 쌍곡 공간으로 알려진 곡선 복합체로의 타이히뮐러 공간에서 맵을 연구함으로써 설명할 수 있다.

12. 복소 기하학

베르스 임베딩은 $T(S)$ 에 $\Complex^{3g-3}$ 의 열린 부분 집합으로서 복소 구조를 부여한다.

타이히뮐러 공간은 복소다양체이므로 카라테오도리 계량을 갖는다. 타이히뮐러 공간은 코바야시 쌍곡 공간이며, 그 코바야시 계량은 타이히뮐러 계량과 일치한다.^[9] 이 후자의 결과는 맵핑 클래스 군이 타이히뮐러 계량에 대한 모든 등거리 변환 군이라는 로이든의 증명에 사용된다.

베르스 임베딩은 타이히뮐러 공간을 정칙 영역으로 실현하므로, 또한 베르그만 계량을 갖는다.

베유-페테르손 계량은 켈러 계량이나 완비적이지는 않다.

정 시우위엔과 야우 선싱퉁은 타이히뮐러 공간에 고유한 완비 켈러-아인슈타인 계량이 존재함을 보였다.^[10] 이 계량은 음의 상수 스칼라 곡률을 갖는다.

타이히뮐러 공간은 또한 McMullen (2000)에 의해 도입된 유계 단면 곡률을 갖는 완비 켈러 계량을 가지며, 이는 켈러-쌍곡선적이다.

참조

_[1] 논문 Length functions and parameterizations of Teichmüller space for surfaces with cusps 2003
_[2] 논문 Laminations par surfaces de Riemann 1999
_[3] 논문 Nonrigidity of hyperbolic surfaces laminations 2007
_[4] 간행물 Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces
_[5] 서적 2006
_[6] 논문 Large scale rank of Teichmüller space
_[7] 논문 Hyperbolicity in Teichmüller space 2014
_[8] Ph.D. Thin triangles and a multiplicative ergodic theorem for Teichmüller geometry University of Chicago 2005
_[9] 논문 Report on the Teichmüller metric 1970
_[10] 논문 On the existence of a complete Kähler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation 1980
_[11] 논문 Quasi-isometry of metrics on Teichmüller spaces 2005
_[12] 서적 Three-Dimensional Geometry and Topology
_[13] 저널 The Weil–Petersson metric geometry 2008
_[14] 저널 On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces
_[15] 저널 Sur la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller
_[16] 저널 The irreducibility of the space of curves of given genus http://www.numdam.or[...]

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