제곱근 3

1. 개요

제곱근 3($\backslash sqrt\{3\}$)은 대수적 정수이며, 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ 위의 기약 다항식은 x² - 3이다. 1.732050807...의 값을 가지며, 연분수 [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]로 표현할 수 있다. 변의 길이가 2인 정삼각형의 높이, 빗변이 2인 30-60-90 삼각형의 긴 변, 변의 길이가 1인 정육각형의 높이, 단위 정육면체의 공간 대각선 길이와 같다. 또한, 삼각함수와 관련하여 tan 60° = √3, sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2 관계를 갖는다. 전력 공학에서 3상 전력 시스템의 선간 전압과 상전압의 관계, 특수 함수의 근, 그리고 테오도로스의 상수 등으로 활용된다.

2. 수학적 성질

2.1. 표현

$\backslash sqrt\{3\}$은 단순 연분수 [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]로 표현될 수 있다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.
:$\backslash sqrt\{3\}=1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}$
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}

또한, 행렬을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:일 때, $n\backslash to\backslash infty$이면,
:$\backslash sqrt\{3\}\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{a\_\{22\}\}\{a\_\{12\}\}\; -1$

다중근호를 이용한 표현은 다음과 같다.
$\backslash sqrt\{3\}=\; \backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash sqrt[3]\{3+\backslash dots\}\}\}\}\}\}\}\}$

대수적으로, $\backslash sqrt\{3\}$은 대수적 정수이다. $\backslash sqrt\{3\}$의 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ 위의 기약 다항식은 $x^2\; -\; 3$이다.

2.2. 대수적 성질

* $\backslash sqrt\{3\}$은 대수적 정수이다. $\backslash sqrt\{3\}$의 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ 위의 기약 다항식은 $x^2\; -\; 3$이다.
* 연분수 표기는 다음과 같다.
:$\backslash sqrt\{3\}=1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}$
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}

2.3. 삼각함수와의 관계

변의 길이가 1인 정삼각형을 내각을 이등분하여 한 변과 직각을 이루도록 두 개의 동일한 부분으로 자르면, 직각 삼각형의 빗변은 길이가 1이고, 변의 길이는 $\backslash frac\{1\}\{2\}$와 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$이다. 이것으로부터 $\backslash tan\{60^\backslash circ\}=\backslash sqrt\{3\}$, $\backslash sin\{60^\backslash circ\}=\backslash frac\; \{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, 그리고 $\backslash cos\{30^\backslash circ\}=\backslash frac\; \{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$이다.

제곱근 3은 또한 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, 그리고 87°의 사인값을 포함하여 다양한 다른 삼각 상수에 대한 대수식에서도 나타난다.

3. 기하학적 성질

--
--

$\backslash sqrt\{3\}$은 기하학에서 다양한 방식으로 나타난다.

* 변의 길이가 2인 정삼각형의 높이는 $\backslash sqrt\{3\}$이다. 이는 빗변의 길이가 2인 30-60-90 삼각형의 긴 직각변 길이와 같다.
* 변의 길이가 1인 정삼각형을 이등분하여 만든 직각 삼각형은 빗변의 길이가 1이고, 다른 두 변의 길이는 각각 $\backslash frac\{1\}\{2\}$과 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$이다. 이를 통해 $\backslash tan\{60^\backslash circ\}=\backslash sqrt\{3\}$, $\backslash sin\{60^\backslash circ\}=\backslash frac\; \{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$, $\backslash cos\{30^\backslash circ\}=\backslash frac\; \{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$ 임을 알 수 있다.
* 변의 길이가 1인 정육각형에서 마주보는 평행한 변 사이의 거리(정육각형의 높이)는 $\backslash sqrt\{3\}$이다.
* 테오도로스의 상수로도 불리는 $\backslash sqrt\{3\}$은 한 변의 길이가 1인 단위 정육면체의 공간 대각선 길이이다. 즉, 정육면체의 한 꼭짓점에서 가장 먼 다른 꼭짓점까지의 거리이다.
* 지름이 1인 원에 외접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 $\backslash sqrt\{3\}$이다.
* 물고기 부레(Vesica piscis)는 두 개의 동일한 원이 각자의 중심을 다른 원의 둘레 위에 두고 겹쳐질 때 생기는 모양으로, 이 도형의 긴 축과 짧은 축의 길이 비율은 $1:\backslash sqrt\{3\}$이다.
* 빌린스키 십이면체는 모든 면이 마름모인 다면체인데, 이를 특정 방향에서 투영하면 대각선의 길이 비율이 $\backslash sqrt\{3\}$인 마름모 모양이 나타난다.

4. 기타 활용

(내용 없음)

4.1. 전력 공학

전력 공학에서, 3상 전력 시스템에서 두 상 사이의 전압은 선-중성선 전압의 $\backslash sqrt\{3\}$배와 같다. 이는 임의의 두 상이 120° 떨어져 있고, 원의 두 점이 120도 떨어져 있으면 반지름의 $\backslash sqrt\{3\}$배만큼 떨어져 있기 때문이다(위의 기하학 예시 참조).

4.2. 특수 함수

대부분의 $J\_\backslash nu^\{(n)\}(x)$ (여기서 n < 18이고 $J\_\backslash nu(x)$는 $\backslash nu$차 베셀 함수)의 n번째 도함수의 근은 초월수임이 알려져 있다. 유일한 예외는 $\backslash pm\backslash sqrt\{3\}$인데, 이는 $J\_1^\{(3)\}(x)$와 $J\_0^\{(4)\}(x)$ 모두의 대수적 근이다.

5. 테오도로스의 상수

테오도로스의 상수로 불리는 $\backslash sqrt\{3\}$은 단위 정육면체의 공간 대각선 길이와 같다.
* $\backslash sqrt\{3\}\; \backslash approx\; 1.732050807...$

* $\backslash sqrt\{3\}$은 대수적 정수이다. $\backslash sqrt\{3\}$의 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ 위의 기약 다항식은 $x^2\; -\; 3$이다.
* 연분수로 표기하면 다음과 같다.
:$\backslash sqrt\{3\}=1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}\}\}$