키레네의 테오도로스
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1. 개요
키레네의 테오도로스는 북아프리카 키레네 출신의 고대 그리스 수학자로, 기원전 5세기 중반에 활동했다. 그는 소피스트 프로타고라스와 교류했으며, 플라톤에게 수학을 가르쳤다는 기록이 있다. 테오도로스는 3에서 17까지의 제곱수가 아닌 수의 제곱근이 무리수임을 증명한 것으로 알려져 있으며, 그의 제자 테아이테토스는 이 정리를 일반화했다. 테오도로스의 증명 방법은 정확히 알려져 있지 않지만, 유클리드 호제법을 사용했을 가능성이 제기되었으며, 테오도로스의 나선은 그의 업적을 시각적으로 나타낸다.
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| 키레네의 테오도로스 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 출생 | 키레네 |
| 사망 | 키레네 |
| 분야 | 수학 |
| 소속 | 플라톤의 아카데미 |
| 영향 | 테아이테토스, 플라톤 |
| 추가 정보 | |
| 기원전 활동 시기 | 기원전 5세기 |
| 국적 | 고대 그리스 |
| 업적 | 무리수 증명 |
| 주요 아이디어 | 테오도로스의 나선 |
2. 생애
테오도로스의 생애에 대해서는 플라톤의 대화편, 특히 《테아이테토스》에서 추론할 수 있는 내용 외에는 알려진 바가 거의 없다. 그는 북아프리카의 그리스 식민지였던 키레네에서 태어났으며, 고향인 키레네와 아테네 양쪽에서 가르쳤던 것으로 보인다.[11][1]
테오도로스의 수학 분야에서의 기여는 주로 플라톤의 대화편 테아이테토스를 통해 알려진 한 가지 정리와 관련 깊다.[11][1] 이 대화편에서 그의 제자 테아이테토스는 테오도로스가 3부터 17까지의 제곱수가 아닌 수들의 제곱근이 무리수임을 증명했다고 언급한다.[4] 예를 들어, 한 변의 길이가 1인 정사각형을 기준으로 할 때, 넓이가 3 또는 5인 정사각형의 한 변의 길이는 1과 통약 불가능하다는 것을 보였다는 것이다. 테오도로스가 √2의 무리성에 대해서는 언급하지 않은 이유는 아마도 이 사실이 이미 당시에 알려져 있었기 때문으로 추정된다.
기원전 399년경에 쓰인 것으로 추정되는 《테아이테토스》에서 테오도로스는 자신의 노년에 대해 언급하는데, 이를 통해 그의 전성기가 기원전 5세기 중반이었음을 짐작할 수 있다. 이 대화편에서는 또한 테오도로스가 소피스트 프로타고라스와 관련이 있다고 언급한다. 프로타고라스는 기하학을 공부하기 전에 테오도로스에게 배웠다고 주장했다.[12][2] 디오게네스 라에르티오스를 비롯한 일부 고대 전기 작가들은 플라톤이 나중에 리비아의 키레네에서 테오도로스에게 수학을 배웠다고 기록했으나, 이러한 주장은 후대에 덧붙여진 신빙성이 낮은 이야기로 여겨지기도 한다.[13][3][11][1]
한편, 델포이 신전의 사제이기도 했던 플루타르코스의 기록에 따르면, 테오도로스는 알키비아데스 및 소크라테스의 여러 동료들과 함께 심포지엄(향연)에서 비밀스러운 종교 의식을 행하고 유포했다는 혐의를 받았다. 당시 소크라테스의 동료 중 다수가 아테네 민주정을 무너뜨린 30인 참주와 연관되어 있었다는 점은 주목할 만하다.
3. 수학적 업적
테오도로스가 정확히 어떤 방법으로 이 무리수들을 증명했는지는 알려져 있지 않다. 다만, 수의 짝수/홀수 성질을 이용했거나 유클리드 호제법 또는 연분수 개념을 활용했을 것이라는 여러 추측이 존재한다. (''자세한 내용은 #증명 방법 관련 추측 문단 참고'')
또한, 테오도로스의 이러한 증명 과정은 빗변의 길이가 √2, √3, ..., √17이 되는 직각 삼각형들을 연속해서 그린 테오도로스의 나선이라는 기하학적 구조와 연관되기도 한다. (''자세한 내용은 #테오도로스의 나선 문단 참고'')
테아이테토스는 이후 스승의 작업을 이어받아 무리수에 대한 더 일반적인 이론을 발전시킨 것으로 알려져 있다.
3. 1. 테오도로스의 나선
수학에서의 업적은 그의 유일한 정리를 통해 알려져 있으며, 그것은 플라톤의 대화편 테아이테토스의 문학적 문맥을 통해 역사적으로 정확하거나, 허구적인 주장이라고 교대로 의심받으며 전달되었다.[11] 본문에서, 그의 학생 테아이테토스는 정사각형 수가 아닌 수의 제곱근이 √17까지 무리수임을 증명하는 정리를 그에게 제시한다.
3. 2. 증명 방법 관련 추측
테오도로스가 사용한 증명 방법은 정확히 알려져 있지 않다. 그의 제자 테아이테토스는 테오도로스가 3부터 17까지의 제곱수가 아닌 수들의 제곱근이 무리수임을 증명했다고 언급했지만, 어떤 방식을 사용했는지는 기록되지 않았다.[4] 심지어 테아이테토스의 언급에서 '17까지'가 17을 포함하는지 여부도 불분명하다.
증명 방법에 대한 몇 가지 추측이 존재한다.
첫 번째 추측은 테오도로스가 수의 짝수와 홀수 성질을 이용했다는 것이다. 하디와 라이트,[5] 그리고 크노르[6]는 이 가능성을 제시했다. 이들의 주장은 궁극적으로 다음과 같은 정리에 의존한다: 만약 ''x''2 = ''n''*''y''2 이 정수 해를 가지고 ''n''이 홀수라면, ''n''은 8로 나눈 나머지가 1이어야 한다(모듈로 8에 대해 1과 합동이어야 한다). 이는 ''x''와 ''y''를 홀수라고 가정하면 그들의 제곱이 8로 나눈 나머지가 1이 되기 때문이다. 만약 17이 증명에서 제외되었다면, 이 짝수/홀수 판별법만으로도 충분했을 수 있다. 하지만 이 방법만으로는 √17의 무리성을 증명할 수 없다는 반론도 제기되었다.[7][8] 짝수와 홀수 개념만 사용하는 더 강력한 공리 체계에서는 이 문제가 아직 해결되지 않은 상태이다.[9]
두 번째 추측은 제우텐이 제시한 것으로, 테오도로스가 유클리드 호제법을 적용했을 가능성이다.[10] 이는 ''원론''의 제10권 명제 2에서 두 크기가 통약 불가능한지(즉, 공통된 측정 단위가 없는지) 판별하는 방법으로 공식화되었다. 현대적인 용어로 표현하면, 어떤 실수의 연분수 전개가 무한히 이어지면 그 수는 무리수라는 정리와 같다. 무리수의 제곱근은 주기적인 연분수 전개를 갖는데, 예를 들어 √19의 주기는 길이가 6으로 상대적으로 길지만, √17의 주기는 길이가 1이다. (√18의 주기도 길이가 1이지만, √18의 무리성은 √2가 무리수라는 사실로부터 쉽게 따라 나온다.) 테오도로스가 √17에서 멈춘 이유가 연분수 전개의 주기 길이와 관련이 있을 수 있다는 추측이다.
4. 테아이테토스와의 관계
테오도로스의 수학에서의 업적은 주로 플라톤의 대화편 《테아이테토스》를 통해 알려져 있다. 다만 이 대화편에 기록된 내용이 역사적으로 정확한 사실인지, 아니면 허구적인 내용인지는 논란이 있다.[11]
대화편 본문에서 그의 제자인 테아이테토스는 제곱수가 아닌 수의 제곱근이 무리수임을 증명하는 정리를 스승에게 제시하는데, 이는 3부터 17까지의 수에 해당한다.
참조
[1]
서적
The People of Plato: A Prosopography of Plato and Other Socratics
https://archive.org/[...]
Hackett
2002
[2]
문서
Theaetetus
[3]
문서
Diogenes Laërtius
[4]
서적
Cratylus, Theaetetus, Sophist, Statesman
https://www.perseus.[...]
2010-08-05
[5]
서적
An Introduction to the Theory of Numbers
https://archive.org/[...]
Oxford
[6]
서적
The Evolution of the Euclidean Elements
D. Reidel
[7]
간행물
The arithmetic of the even and the odd
[8]
간행물
Addenda et corrigenda to "The arithmetic of the even and the odd"
[9]
간행물
Another arithmetic of the even and the odd
[10]
서적
A History of Greek Mathematics
Dover
[11]
서적
The People of Plato: A Prosopography of Plato and Other Socratics
Hackett Publishing
2002
[12]
문서
Theaetetus
[13]
문서
Diogenes Laërtius
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