조르당 측도 - 오늘의AI위키

1. 개요

조르당 측도는 유클리드 공간에서 도형의 크기를 재는 방법으로, 19세기 말 주세페 페아노와 카미유 조르당에 의해 도입되었다. 조르당 측도는 직사각형의 넓이를 기본으로 하여, 유한 개의 직사각형의 합집합으로 표현되는 단순 집합의 측도를 정의하고, 이를 통해 유계 집합의 조르당 내측도와 조르당 외측도를 정의한다. 조르당 내측도와 외측도가 일치하는 집합을 조르당 가측 집합이라 하며, 이때의 공통된 값을 조르당 측도라고 한다. 조르당 가측 집합은 리만 적분 가능성과 밀접한 관련이 있으며, 모든 직사각형, 구, 단순체 등이 조르당 가측 집합에 속한다. 조르당 가측 집합은 집합환을 이루며, 르베그 가측 집합의 부분집합이다. 르베그 측도와 비교하여 조르당 측도는 가산 합집합에 닫혀 있지 않다는 단점이 있다.

분야	실해석학
하위 분야	측도론
명명자	카미유 조르당
이름 붙여짐	주세페 페아노

2. 정의

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 에서, 조르당 측도는 먼저 데카르트 곱으로 정의된다. 유계 반열린 구간들의 데카르트 곱은 다음과 같다.

: $C = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \cdots \times [a_n, b_n)$

여기서 모든 끝점 $a_i$ 와 $b_i$ 는 유한 실수이고, 왼쪽에서 닫히고 오른쪽에서 열린 구간이다. 이러한 집합을 $n$ 차원 직사각형 또는 간단히 직사각형이라고 부르며, 이 직사각형의 조르당 측도는 구간 길이의 곱으로 정의된다.

: $m(C) = (b_1 - a_1) (b_2 - a_2) \cdots (b_n - a_n).$

직사각형에 겹침이 있는 기본 집합은 겹침이 없는 직사각형의 합집합으로 다시 분해할 수 있다.

다음으로, 유한 개의 합집합인 단순 집합(때로는 다각형이라고도 한다)을 고려한다.

:

S = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k

(

k \geq 1

)

S

의 조르당 측도를 개별 직사각형의 측도의 합으로 정의할 수는 없다. 왜냐하면 이러한 표현은 고유하지 않으며 직사각형 사이에 상당한 겹침이 있을 수 있기 때문이다. 하지만, 이러한 단순 집합

S

는 서로 상호소인 직사각형들의 합집합으로 다시 쓸 수 있으며, 이때 조르당 측도

m(S)

는 상호소 직사각형의 측도들의 합으로 정의된다.

그림의 파란 곡선으로 둘러싸인 영역을 고려 대상 집합이라고 하자. 이 집합이 조르당 가측이 된다는 (즉, 면적을 가진다는) 정의는 (그림에서 녹색으로 경계를 나타낸 도형과 같이) 안쪽에서 근사하는 기본 도형과 (그림에서 보라색으로 경계를 나타낸 도형과 같이) 바깥쪽에서 근사하는 기본 도형을 동시에 고려할 때, 이들 안쪽과 바깥쪽의 두 종류의 기본 도형의 조르당 측도(면적)가 얼마든지 가까워지도록 할 수 있다는 것이다.

유계 집합이 단순 집합에 의해 "잘 근사"되는 경우 조르당 가측으로 정의한다. 이는 함수가 조각별 상수 함수에 의해 잘 근사되는 경우 리만 적분 가능하다는 것과 동일하다.

형식적으로, 유계 집합

B

에 대해, 유클리드 공간

\Reals^n

속 유계 집합

E\subseteq\mathbb R^n

의 조르당 외측도(-外測度, outer Jordan measure^영어)는 해당 집합을 포함하는 초등 집합(구간들의 곱집합의 유한 합집합)들의 측도의 하한으로 정의된다.:

{\mu_{\operatorname J}}^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon m\in\mathbb N,\;a_i,b_i\in\mathbb R,\;a_i\le b_i,\;\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\supseteq E\right\}

유클리드 공간

\Reals^n

속 유계 집합

E\subseteq\mathbb R^n

의 조르당 내측도(-內測度, inner Jordan measure^영어)는 해당 집합에 포함되는 초등 집합들의 측도의 상한으로 정의된다.
:

{\mu_{\operatorname J}}_*(E)=\sup\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon m\in\mathbb N,\;a_i,b_i\in\mathbb R,\;a_i\le b_i,\;\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\subseteq E\right\}

여기서

\textstyle\bigsqcup

은 분리 합집합이다.

엄밀히, 유계 집합 의 조르당 내측도(inner Jordan measure)를

m_*(B) := \sup_{S\subset B} m(S)

로, 또한 조르당 외측도(outer Jordan measure)를

m^*(B) := \inf_{S\supset B} m(S)

로 각각 정의한다.

이때, 하한과 상한은 구간의 곱집합들의 유한 합집합으로 나타낼 수 있는 유클리드 공간

\mathbb R^n

속의 초등 집합(初等集合, elementary set^영어)

S

에 대해 계산된다. 집합 가 조르당 가측이라는 것은, 의 내측도와 외측도가 일치할 때를 말하며, 그 공통된 값을 단순히 의 조르당 측도라고 부른다.

유클리드 공간

\mathbb R^n

속의 유계 집합

E\subseteq\mathbb R^n

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

E

를 조르당 가측 집합(-可測集合, Jordan measurable set^영어)이라고 한다.

*

{\mu_{\operatorname J}}^*(E)={\mu_{\operatorname J}}_*(E)

*

{\mu_{\operatorname J}}^*(\partial E)=0

* 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여,

A_\epsilon\subseteq E\subseteq B_\epsilon

이며

{\mu_{\operatorname J}}^*(B_\epsilon\setminus A_\epsilon)<\epsilon

인 초등 집합

A_\epsilon,B_\epsilon\subseteq\mathbb R^n

이 존재한다.

여기서

\partial E

는

E

의 경계이다.

조르당 가측 집합

E\subseteq\mathbb R^n

의 조르당 측도는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{\operatorname J}(E)={\mu_{\operatorname J}}^*(E)={\mu_{\operatorname J}}_*(E)=\lim_{\epsilon\to 0}\mu_{\operatorname J}(A_\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}\mu_{\operatorname J}(B_\epsilon)

모든 직사각형(열린 또는 닫힌)과 모든 구, 단순체 등은 조르당 가측이다. 또한 두 개의 연속 함수를 고려할 경우, 해당 집합이 유계이고 두 함수의 공통 정의역이 조르당 가측인 한, 해당 함수 그래프 사이의 점들의 집합은 조르당 가측이다. 조르당 가측 집합의 모든 유한 합집합과 교집합은 조르당 가측이며, 두 조르당 가측 집합의 차도 마찬가지이다.

유계 집합은 해당 지시 함수가 리만 적분 가능할 때 조르당 가측이며, 적분 값은 해당 조르당 측도이다.[https://planetmath.org/RiemannMultipleIntegral] 유계 집합

B

에 대해

B

의 내부 조르당 측도는

B

의 위상 내부의 르베그 측도이고, 외부 조르당 측도는 폐포의 르베그 측도이다. 이로부터 유계 집합이 조르당 가측이기 위한 필요충분 조건은 해당 위상 경계가 르베그 측도 0을 갖는다는 것이다.

2.1. 조르당 외측도와 조르당 내측도

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 속 유계 집합 $E\subseteq\mathbb R^n$ 의 조르당 외측도(-外測度, outer Jordan measure^영어)는 해당 집합을 포함하는 초등 집합(구간들의 곱집합의 유한 합집합)들의 측도의 하한으로 정의된다.: ${\mu_{\operatorname J}}^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon m\in\mathbb N,\;a_i,b_i\in\mathbb R,\;a_i\le b_i,\;\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\supseteq E\right\}$
유클리드 공간 $\Reals^n$ 속 유계 집합 $E\subseteq\mathbb R^n$ 의 조르당 내측도(-內測度, inner Jordan measure^영어)는 해당 집합에 포함되는 초등 집합들의 측도의 상한으로 정의된다.
: ${\mu_{\operatorname J}}_*(E)=\sup\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon m\in\mathbb N,\;a_i,b_i\in\mathbb R,\;a_i\le b_i,\;\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\subseteq E\right\}$
여기서 $\textstyle\bigsqcup$ 은 분리 합집합이다.

엄밀히, 유계 집합 의 조르당 내측도(inner Jordan measure)를 $m_*(B) := \sup_{S\subset B} m(S)$ 로, 또한 조르당 외측도(outer Jordan measure)를 $m^*(B) := \inf_{S\supset B} m(S)$ 로 각각 정의한다.

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2.2. 조르당 가측 집합

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 속의 유계 집합 $E\subseteq\mathbb R^n$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $E$ 를 조르당 가측 집합(-可測集合, Jordan measurable set^영어)이라고 한다.

* ${\mu_{\operatorname J}}^*(E)={\mu_{\operatorname J}}_*(E)$
* ${\mu_{\operatorname J}}^*(\partial E)=0$
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, $A_\epsilon\subseteq E\subseteq B_\epsilon$ 이며 ${\mu_{\operatorname J}}^*(B_\epsilon\setminus A_\epsilon)<\epsilon$ 인 초등 집합 $A_\epsilon,B_\epsilon\subseteq\mathbb R^n$ 이 존재한다.

여기서 $\partial E$ 는 $E$ 의 경계이다.

엄밀히, 유계 집합 의 조르당 내측도(inner Jordan measure)를

m_*(B) := \sup_{S\subset B} m(S)

로, 또한 조르당 외측도(outer Jordan measure)를

m^*(B) := \inf_{S\supset B} m(S)

로 각각 정의한다(이 상한 및 하한은 모두 기본 집합 의 전체에 걸쳐 취한다). 이때, 하한과 상한은 구간의 곱집합들의 유한 합집합으로 나타낼 수 있는 유클리드 공간

\mathbb R^n

속의 초등 집합(初等集合, elementary set^영어)

S

에 대해 계산된다. 집합 가 조르당 가측이라는 것은, 의 내측도와 외측도가 일치할 때를 말하며, 그 공통된 값을 단순히 의 조르당 측도라고 부른다.

모든 직사각형(열린 또는 닫힌)과 모든 구, 단순체 등은 조르당 가측이다. 또한 두 개의 연속 함수를 고려할 경우, 해당 집합이 유계이고 두 함수의 공통 정의역이 조르당 가측인 한, 해당 함수 그래프 사이의 점들의 집합은 조르당 가측이다. 조르당 가측 집합의 모든 유한 합집합과 교집합은 조르당 가측이며, 두 조르당 가측 집합의 차도 마찬가지이다.

유계 집합은 해당 지시 함수가 리만 적분 가능할 때 조르당 가측이며, 적분 값은 해당 조르당 측도이다.[https://planetmath.org/RiemannMultipleIntegral] 유계 집합이 조르당 가측이기 위한 필요충분 조건은 해당 위상 경계가 르베그 측도 0을 갖는다는 것이다.

2.3. 조르당 측도

조르당 가측 집합 $E\subseteq\mathbb R^n$ 의 조르당 측도는 다음과 같이 정의된다.

: $\mu_{\operatorname J}(E)={\mu_{\operatorname J}}^*(E)={\mu_{\operatorname J}}_*(E)=\lim_{\epsilon\to 0}\mu_{\operatorname J}(A_\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}\mu_{\operatorname J}(B_\epsilon)$

유클리드 공간 $\Reals^n$ 에서, 조르당 측도는 먼저 데카르트 곱으로 정의된다. 유계 반열린 구간들의 데카르트 곱은 다음과 같다.

: $C = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \cdots \times [a_n, b_n)$

여기서 모든 끝점 $a_i$ 와 $b_i$ 는 유한 실수이고, 왼쪽에서 닫히고 오른쪽에서 열린 구간이다. 이러한 집합을 $n$ 차원 직사각형 또는 간단히 직사각형이라고 부르며, 이 직사각형의 조르당 측도는 구간 길이의 곱으로 정의된다.

: $m(C) = (b_1 - a_1) (b_2 - a_2) \cdots (b_n - a_n).$

다음으로, 유한 개의 합집합인 단순 집합(때로는 다각형이라고도 한다)을 고려한다.

:

S = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k

(

k \geq 1

)

S

의 조르당 측도를 개별 직사각형의 측도의 합으로 정의할 수는 없다. 왜냐하면 이러한 표현은 고유하지 않으며 직사각형 사이에 상당한 겹침이 있을 수 있기 때문이다. 하지만, 이러한 단순 집합

S

는 서로 상호소인 직사각형들의 합집합으로 다시 쓸 수 있으며, 이때 조르당 측도

m(S)

는 상호소 직사각형의 측도들의 합으로 정의된다.

유계 집합이 단순 집합에 의해 "잘 근사"되는 경우 조르당 가측으로 정의한다. 이는 함수가 조각별 상수 함수에 의해 잘 근사되는 경우 리만 적분 가능하다는 것과 동일하다.

형식적으로, 유계 집합

B

에 대해, 내부 조르당 측도를 다음과 같이 정의한다.

:

m_*(B) = \sup_{S\subseteq B} m(S)

외부 조르당 측도는 다음과 같이 정의한다.

:

m^*(B) = \inf_{S\supseteq B} m(S)

여기서 하한과 상한은 단순 집합

S

에 대해 계산된다. 집합

B

의 내부 측도가 외부 측도와 같으면 조르당 가측 집합이라고 하며, 두 측도의 공통 값을

B

의 조르당 측도라고 한다.

모든 직사각형(열린 또는 닫힌)과 모든 구, 단순체 등은 조르당 가측이다. 또한 두 개의 연속 함수를 고려할 경우, 해당 집합이 유계이고 두 함수의 공통 정의역이 조르당 가측인 한, 해당 함수 그래프 사이의 점들의 집합은 조르당 가측이다. 조르당 가측 집합의 모든 유한 합집합과 교집합은 조르당 가측이며, 두 조르당 가측 집합의 집합 차도 마찬가지이다. 유계 집합은 해당 지시 함수가 리만 적분 가능할 때 조르당 가측이며, 적분 값은 해당 조르당 측도이다.

유계 집합

B

에 대해

B

의 내부 조르당 측도는

B

의 위상 내부의 르베그 측도이고, 외부 조르당 측도는 폐포의 르베그 측도이다. 이로부터 유계 집합이 조르당 가측이기 위한 필요충분 조건은 해당 위상 경계가 르베그 측도 0을 갖는다는 것이다.

3. 성질

조르당 가측 집합들은 각각 집합환을 이룬다. 즉, 유한 합집합, 유한 교집합, 차집합에 대하여 닫혀 있다. 임의의 조르당 가측 집합 $E\subseteq\mathbb R^n$ 에 대하여, $E$ 의 조르당 가측 부분 집합들은 집합 대수를 이룬다.

3.1. 르베그 측도와의 관계

모든 조르당 가측 집합은 르베그 가측 집합이며, 조르당 가측 집합의 조르당 측도는 르베그 측도와 일치한다. 따라서 대부분의 경우 조르당 측도 대신 르베그 측도를 사용하여도 무방하다.

조르당 측도는 조르당 가측 집합들의 집합환 위의 준측도를 이룬다. 그러나 르베그 측도는 조르당 측도와 달리 진정한 측도이다. 즉, 르베그 가측 집합의 가산 합집합은 르베그 가측이지만, 조르당 가측 집합의 가산 합집합은 조르당 가측이 아닐 수 있다.

조르당 가측 집합은 르베그 가측 집합보다 더 제한적이다. 예를 들어, 구간 [0,1]에 포함된 유리수 집합은 조르당 가측이 아니다. 그 경계가 [0,1]이고 조르당 측도 0이 아니기 때문이다. 하지만 직관적으로 유리수 집합은 가산 집합이므로 "작은" 집합이고 "크기"가 0이어야 한다. 실제로 르베그 측도로 보면 크기가 0이지만, 조르당 측도로는 그렇지 않다. 르베그 측도는 프랙탈과 같이 무한하거나 제한되지 않는 집합에 대해서도 정의된다.

3.2. 조르당 가측 집합이 되기 위한 충분 조건

집합 $K\subseteq\mathbb R^n$ 이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다면, 조르당 가측 집합이다.
* $K$ 는 콤팩트 집합이다. (하이네-보렐 정리에 따라 이는 유계 닫힌집합과 동치이다.)
* 임의의 $x,y\in\mathbb R^n$ 에 대하여, $\{t\in\mathbb R\colon x+ty\in K\}$ 는 유한 개의 구간의 합집합이다.

4. 예

유클리드 공간에서 구간, 직사각형, 구, 단순체 등은 조르당 가측 집합이다. 두 연속 함수 그래프 사이의 영역(유계이고 공통 정의역이 조르당 가측일 때)은 조르당 가측이다.

집합
: $[0,1]\cap\mathbb Q\subseteq\mathbb R$
는 조르당 가측 집합이 아니다. 이는 조르당 외측도와 내측도가 각각 1, 0이기 때문이다. 이 집합은 르베그 측도는 0이다.

두꺼운 칸토어 집합은 조르당 가측이 아니다.

조르당 가측인 유계 집합은 르베그 가측이다. 그러나 역은 성립하지 않는다.

5. 역사

주세페 페아노와 카미유 조르당이 19세기 말에 도입하였다. 조르당 측도는 르베그 측도가 등장하기 전까지 도형의 크기를 재는 표준적인 방법으로 사용되었다.