공점선
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1. 개요
공점선은 기하학에서 둘 이상의 선, 곡선 또는 평면이 한 점에서 만나는 것을 의미한다. 삼각형, 사각형, 육각형과 같은 다양한 도형에서 공점선이 나타나며, 각의 이등분선, 중선, 수직 이등분선 등이 특정 점에서 만난다. 대수학에서는 연립 방정식의 해 존재 여부를 판단하는 데 활용되며, 사영 기하학에서는 공선성의 쌍대 개념으로 사용된다.
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| 공점선 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 한 점에서 교차하는 선들. |
| 영어 | Concurrent lines |
| 관련 개념 | |
| 쌍대 개념 | 점 |
2. 기하학에서의 공점
여러 기하학적 도형에서 공통된 점, 즉 공점을 찾을 수 있다.
- 원: 원의 모든 현의 수직 이등분선은 원의 중심에서 만난다.[1] 원의 접선에 수직인 선은 접점에서 원의 중심을 지나며, 원의 모든 넓이 이등분선과 둘레 이등분선은 지름으로 원의 중심에서 만난다.
- 타원: 타원의 모든 넓이 이등분선과 둘레 이등분선은 타원의 중심에서 만난다.
- 쌍곡선: 쌍곡선에서 다음 세 가지는 한 점에서 만난다. (1) 쌍곡선의 초점을 지나고 쌍곡선의 중심에 중심이 있는 원, (2) 꼭짓점에서 쌍곡선에 접하는 두 직선 중 하나, (3) 쌍곡선의 점근선 중 하나. 또한 다음 세 가지도 한 점에서 만난다. (1) 쌍곡선의 중심에 중심이 있고 쌍곡선의 꼭짓점을 지나는 원, (2) 두 준선 중 하나, (3) 두 점근선 중 하나.
- 정다각형: 짝수 개의 변을 가지는 정다각형에서 마주보는 꼭짓점을 연결하는 대각선들은 다각형의 중심에서 만난다.[1]
2. 1. 삼각형
삼각형에서 높이는 각 꼭짓점에서 시작하여 반대편 변과 직각으로 만난다. 세 높이가 만나는 점은 수심이다. 각의 이등분선은 삼각형의 각 꼭짓점에서 시작하여 연관된 각을 이등분하는 광선이며, 이들은 모두 내심에서 만난다. 중선은 삼각형의 각 꼭짓점을 반대편 변의 중점에 연결하며, 세 중선은 무게 중심에서 만난다. 수직 이등분선은 삼각형의 각 변의 중점에서 90° 각도로 뻗어 나가는 선이며, 세 수직 이등분선은 외심에서 만난다.이 외에도 삼각형과 관련된 공점선은 다음과 같다.
- 모든 중선(삼각형의 넓이를 이등분하는 선)은 두 개의 다른 넓이 이등분선과 공점적이며, 각 이등분선은 변과 평행하다.[1]
- 삼각형의 분할선은 삼각형의 둘레를 이등분하고 세 변 중 하나의 중점에 한쪽 끝점을 갖는 선분이다. 세 분할선은 스피커 원의 중심에서 만나며, 이 중심은 중심 삼각형의 내접원이다.
- 삼각형의 분할선은 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나에 한쪽 끝점을 가지고 둘레를 이등분하는 선분이며, 세 분할선은 삼각형의 나겔 점에서 만난다.
- 삼각형을 통과하며 삼각형의 넓이와 둘레를 모두 반으로 나누는 모든 선은 삼각형의 내심을 통과하며, 각 삼각형은 하나, 둘 또는 세 개의 이러한 선을 갖는다.[2] 따라서 세 개가 있는 경우, 이들은 내심에서 만난다.
- 삼각형의 테리 점은 삼각형의 각 꼭짓점을 통해 삼각형의 첫 번째 브로카르 삼각형의 해당 변에 수직인 선들의 공점이다.
- 삼각형의 쉬플러 점은 네 개의 삼각형의 오일러 선의 공점이다: 문제의 삼각형과, 각 꼭짓점을 공유하고 내심을 다른 꼭짓점으로 갖는 세 개의 삼각형.
- 나폴레옹 점과 그 일반화는 공점이다. 예를 들어, 첫 번째 나폴레옹 점은 꼭짓점에서 반대편 변의 외부에 그려진 정삼각형의 무게 중심까지 각 꼭짓점에서 나온 세 선의 공점이다. 이 개념의 일반화는 야코비 점이다.
- 롱샹 점은 오일러 선과 여러 선들의 공점이다.
- 주어진 삼각형의 한 변에 외부에 정삼각형을 그리고 새로운 꼭짓점을 원래 삼각형의 반대편 꼭짓점에 연결하여 형성된 세 개의 선은 제1 등각 중심이라고 불리는 점에서 만난다. 원래 삼각형에 120°보다 큰 각이 없는 경우 이 점은 또한 페르마 점이다.
- 아폴로니우스 점은 삼각형의 방접원이 내부적으로 접하는 원의 접점을 삼각형의 반대쪽 꼭짓점에 연결하는 세 선의 공점이다.
2. 2. 사각형
사각형의 이등분선(마주보는 변의 중점을 연결하는 선분)과 대각선의 중점을 연결하는 선분은 한 점에서 만나며, 그 교점에 의해 모두 이등분된다.[4]접선 사각형에서 네 개의 각의 이등분선은 내접원의 중심에서 만난다.[3]
원내접 사각형에서 각 변에 수직하고 마주보는 변의 중점을 지나는 네 개의 선분('말티튜드'라고 한다)은 한 점에서 만난다.[4][5] 이 점을 '반중심'이라고 한다.
볼록 사각형이 외접선 사각형이 되기 위한 필요충분 조건은 여섯 개의 공점 각 이등분선이 존재하는 것이다. 즉, 두 개의 대각 꼭지각에서의 내각 이등분선, 다른 두 개의 꼭지각에서의 외각 이등분선, 그리고 마주보는 변의 연장선이 교차하는 지점에서 형성되는 각에서의 외각 이등분선이 모두 한 점에서 만나야 한다.
2. 3. 육각형
- 원내접 육각형의 연속된 변이 차례대로 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f''이면, 세 개의 주 대각선은 한 점에서 만난다.[7]
- 육각형이 내접 원뿔 곡선을 가지면, 브리앙숑 정리에 따라 주 대각선이 한 점에서 만난다.
- 공점선은 파푸스 육각형 정리의 쌍대에서 발생한다.
- 원내접 육각형의 각 변에 대해, 인접한 변을 연장하여 교차점을 형성하여 주어진 변의 외부에 삼각형을 형성한다. 그러면 마주보는 삼각형의 외심을 연결하는 선분은 공점선이다.[8]
2. 4. 정다각형
짝수 개의 변을 가지는 정다각형에서 마주보는 꼭짓점을 연결하는 대각선들은 다각형의 중심에서 만난다.[1]2. 5. 원, 타원, 쌍곡선
- 원의 모든 현의 수직이등분선은 원의 중심에서 만난다.
- 원의 접선에 수직인 선은 접점에서 원의 중심에서 만난다.
- 원의 모든 넓이 이등분선과 둘레 이등분선은 지름이며, 원의 중심에서 만난다.
- 타원의 모든 넓이 이등분선과 둘레 이등분선은 타원의 중심에서 만난다.
- 쌍곡선에서 다음 세 가지는 한 점에서 만난다. (1) 쌍곡선의 초점을 지나고 쌍곡선의 중심에 중심이 있는 원, (2) 꼭짓점에서 쌍곡선에 접하는 두 직선 중 하나, (3) 쌍곡선의 점근선 중 하나.
- 다음 세 가지도 한 점에서 만난다. (1) 쌍곡선의 중심에 중심이 있고 쌍곡선의 꼭짓점을 지나는 원, (2) 두 준선 중 하나, (3) 두 점근선 중 하나.
2. 6. 사면체
사면체에서 네 개의 중선과 세 개의 이중 중선은 모두 사면체의 ''무게중심''이라는 한 점에서 만난다.[9] 등동 사면체는 꼭짓점을 반대쪽 면의 내심과 연결하는 체바 선이 공점선인 사면체이며, 등각 사면체는 꼭짓점을 사면체의 내접 구와 반대쪽 면의 접점과 연결하는 체바 선이 공점선인 사면체이다. 정사면체에서 네 개의 고도는 공점선이다.3. 대수학에서의 공점
루셰-카펠리 정리에 따르면, 연립방정식이 해를 가질 필요충분조건은 계수 행렬의 계수가 확대 행렬(절편 항의 열이 추가된 계수 행렬)의 계수와 같은 것이다. 또한, 이러한 공통 계수가 변수의 수와 같을 때 방정식계가 ''유일한'' 해를 갖는다는 것이다. 따라서 두 개의 변수를 가진 평면에서 ''k''개의 선은 ''k''개의 방정식 집합과 연관되어 있으며, ''k'' × 2 계수 행렬의 계수와 ''k'' × 3 확대 행렬의 계수가 모두 2인 경우에만 공점이다. 이 경우 ''k''개의 방정식 중 두 개만 독립이며, 공점은 두 개의 상호 독립적인 방정식을 두 변수에 대해 동시에 풀어 찾을 수 있다.
4. 사영기하학에서의 공점
사영 기하학에서, 2차원에서의 공점성은 공선성의 쌍대성이며, 3차원에서의 공점성은 공면성의 쌍대성이다.
참조
[1]
간행물
Halving a triangle
1972-05
[2]
간행물
Triangle Equalizers
2010-04
[3]
서적
Mathematical Olympiad Treasures
Birkhäuser
2006
[4]
서적
College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle
Courier Dover
[5]
서적
Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
Cambridge University Press
[6]
웹사이트
Maltitude
Maltitude
[7]
간행물
About hexagons
2000-2001
[8]
간행물
Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon
http://forumgeom.fau[...]
2014
[9]
서적
Vectors, matrices and geometry
Hong Kong University Press
1994
[10]
서적
新装版英和学習基本用語辞典数学
アルク
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