중점연결정리

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1. 개요

중점연결정리는 삼각형과 사다리꼴에서 두 변의 중점을 연결한 선분에 대한 기하학적 정리이다. 삼각형의 중점연결정리는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 1/2이며, 닮음비가 1:2인 닮은 삼각형이 만들어진다는 것이다. 사다리꼴의 중점연결정리는 사다리꼴에서, 다리의 중점을 잇는 선분은 밑변과 평행하며, 그 길이는 밑변의 산술 평균과 같다. 이 정리는 닮음, 작도, 평행사변형의 성질 등을 이용하여 증명할 수 있으며, 역정리 또한 성립한다.

중점연결정리

개요

유형	기하학 정리
분야	유클리드 기하학
관련 개념	평행, 닮음

정리 내용

내용	삼각형의 두 변의 중점을 연결하는 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변 길이의 절반이다.

명칭

다른 이름	중점 연결 정리, 중점 정리
영어 이름	midpoint theorem, midpoint connector theorem

활용

활용 분야	기하학적 증명, 문제 해결

관련 정리

관련 정리	바리뇽 정리 (일반화된 형태)

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1. 개요
2. 삼각형의 중점연결정리
- 2.1. 증명
  - 2.1.1. 닮음을 이용한 증명
  - 2.1.2. 작도를 이용한 증명
- 2.2. 역
3. 사다리꼴의 중점연결정리
- 3.1. 증명

2. 삼각형의 중점연결정리

--
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 1/2이다. 삼각형의 밑변을 제외한 두 변의 각 중점을 이은 선분인 "중점 연결"은 밑변과 평행하며, 길이는 밑변의 절반과 같다. 또한, 닮음비가 1:2인 닮은 삼각형이 만들어진다.

2.1. 증명

삼각형의 중점연결정리는 여러 방법으로 증명할 수 있다.

--

* 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 이다.

증명

: $\triangle$ ABC와 $\triangle$ ADE에서

: $\mathrm{\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}}$

:∠A는 공통

∴ $\triangle$ ABC $\sim\triangle$ ADE (SAS 닮음)

∴∠ADE=∠ABC

즉, //

또, $\mathrm{\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}=\frac{1}{2}}$ 이므로

$\mathrm{\therefore\overline{DE}=\frac{1}{2}\overline{BC}}$

이 증명은 도형의 닮음을 이용한 방법으로, 일본 중학교 교과서에서 주로 다루어진다. 하지만 이는 닮음의 성질을 이용한 특수한 예시이며, 엄밀하게는 순환 논법에 해당하여 오류이다.

2.1.1. 닮음을 이용한 증명

삼각형 ABC에서 변 AB와 AC의 중점을 각각 D, E라고 하면, 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 SAS 닮음 조건에 의해 닮음이다.

--

* $\angle C$ 는 $\triangle ABC$ 와 $\triangle DEC$ 의 공통 각이다.
* DE가 AC와 BC의 중점을 연결하므로, $AD=DC$ , $BE=EC$ 이고 $\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}=2.$ 따라서, $\triangle ABC$ 와 $\triangle DEC$ 는 SAS 닮음 조건에 의해 서로 닮음이다.
* 그러므로, $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}=2,$ 이는 $DE=\frac{1}{2}AB$ 임을 의미한다.
* $\triangle ABC$ 와 $\triangle DEC$ 가 닮음이고 $\triangle DEC \in \triangle ABC$ 이므로, $\angle CDE = \angle CAB$ 이며, 이는 $AB\parallel DE$ 임을 의미한다. 또한, 닮음비가 1:2인 닮은 삼각형이 만들어진다.

2.1.2. 작도를 이용한 증명

--
삼각형 ABC에서 변 AB와 AC의 중점을 각각 M, N이라고 하자. MN을 연장하여 MN=ND가 되도록 점 D를 잡고, C와 D를 연결한다. 그러면 두 삼각형 AMN과 CDN은 SAS 합동 조건에 의해 합동이다. 따라서 AM과 CD는 길이가 같고 평행하다. AM=BM이므로, BCDM은 평행사변형이 된다. 따라서 MN은 BC와 평행하고, MN의 길이는 MD의 절반이며, MD는 BC와 같으므로 MN은 BC의 절반이다.

2.2. 역

삼각형의 중점 연결 정리의 역은 다음과 같다.

* 삼각형의 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.
* 삼각형의 밑변을 제외한 한 변의 중점에서 나머지 변 위의 점을 향해 밑변의 절반 길이의 선분을 그으면, 나머지 변 위의 점은 그 변의 중점이 된다.

이 중 첫 번째 명제는 참이고, 두 번째 명제는 거짓이다. 일반적으로 중점 연결 정리의 역이라고 불리는 정리는 첫 번째 명제이며, 더 간단하게 "삼각형의 밑변을 제외한 한 변의 중점에서 밑변의 평행선을 그리면, 나머지 변의 중점을 지난다"로 표현된다.

이 명제는 다음과 같이 증명할 수 있다.

삼각형 ABC^영어에서 변 AB^영어의 중점 M^영어을 지나고 BC^영어에 평행한 직선이 AC^영어와 만나는 점을 N^영어이라고 하자. MN^영어의 연장선 위에 MD^영어=BC^영어가 되는 점 D^영어를 잡는다. 그러면 사각형 MBCD^영어는 평행사변형이 된다. 따라서 AB^영어와 CD^영어는 평행하고 길이가 같다. AM^영어=MB^영어이므로 AM^영어=CD^영어이고, 사각형 AMCD^영어는 평행사변형이다. 평행사변형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로, AN^영어=NC^영어이다. 즉, N^영어은 AC^영어의 중점이다.

또한, 이와는 별개로, 중점 연결 정리의 두 결론을 모두 가정에 포함시킨 "삼각형의, 밑변을 제외한 2변 위에 끝점을 갖는 선분이, 밑변과 평행하고 길이가 그 변의 절반일 때, 그 선분의 끝점은 각 변의 중점이 된다"는 내용도 참이며, 이를 중점 연결 정리의 역이라고 부르며, 정리 중 하나로 취급하는 경우가 있다.

3. 사다리꼴의 중점연결정리

사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변(다리)의 중점을 연결한 선분은 두 밑변과 평행하고, 그 길이는 두 밑변의 길이의 평균이다. 즉, 사다리꼴 ABCD (BC ^영어)에서, 옆변 AB, CD의 중점을 각각 M, N이라고 할 때, 중점 연결 MN은 밑변 BC와 DA에 평행하고, 그 길이는 밑변 BC와 DA의 합의 2분의 1과 같다.

3.1. 증명

--
사다리꼴 ABCD에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}, \overline{AM} = \overline{MB}, \overline{DN} = \overline{NC}$ 일 때, $\overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})$ 이다.

와 의 연장선의 교점을 E라 할 때,

△ADN와 △ECN에서,

: (가정)

:∠AND=∠ENC (맞꼭지각)

:∠ADN=∠ECN (엇각)

∴△ADN ≡ △ECN (ASA 합동)

∴ = , =

그러므로 △ABE에서 중점연결정리에 의하여

$\begin{align}\overline{MN} & = \frac{1}{2}\overline{BE} \\ & = \frac{1}{2}(\overline{BC}+\overline{CE}) \\ & = \frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC}) \\\end{align}$

$\therefore \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})$ 이다.