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중점연결정리

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목차

1. 개요

중점연결정리는 삼각형과 사다리꼴에서 두 변의 중점을 연결한 선분에 대한 기하학적 정리이다. 삼각형의 중점연결정리는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 1/2이며, 닮음비가 1:2인 닮은 삼각형이 만들어진다는 것이다. 사다리꼴의 중점연결정리는 사다리꼴에서, 다리의 중점을 잇는 선분은 밑변과 평행하며, 그 길이는 밑변의 산술 평균과 같다. 이 정리는 닮음, 작도, 평행사변형의 성질 등을 이용하여 증명할 수 있으며, 역정리 또한 성립한다.

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2. 삼각형의 중점연결정리

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 1/2이다. 삼각형의 밑변을 제외한 두 변의 각 중점을 이은 선분인 "중점 연결"은 밑변과 평행하며, 길이는 밑변의 절반과 같다.[3][4][5] 또한, 닮음비가 1:2인 닮은 삼각형이 만들어진다.[4][5][6]

2. 1. 증명

삼각형의 중점연결정리는 여러 방법으로 증명할 수 있다.

  • 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 이다.


'''증명'''

:\triangleABC와 \triangleADE에서

:\mathrm{\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}}

:∠A는 공통

∴\triangleABC \sim\triangleADE (SAS 닮음)

∴∠ADE=∠ABC

즉, //

또, \mathrm{\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}=\frac{1}{2}}이므로

\mathrm{\therefore\overline{DE}=\frac{1}{2}\overline{BC}}

이 증명은 도형의 닮음을 이용한 방법으로, 일본 중학교 교과서에서 주로 다루어진다[7]. 하지만 이는 닮음의 성질을 이용한 특수한 예시이며, 엄밀하게는 순환 논법에 해당하여 오류이다.

2. 1. 1. 닮음을 이용한 증명

삼각형 ABC에서 변 AB와 AC의 중점을 각각 D, E라고 하면, 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 SAS 닮음 조건에 의해 닮음이다.

  • \angle C는 \triangle ABC와 \triangle DEC의 공통 각이다.
  • DE가 AC와 BC의 중점을 연결하므로, AD=DC, BE=EC이고 \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}=2. 따라서, \triangle ABC와 \triangle DEC는 SAS 닮음 조건에 의해 서로 닮음이다.
  • 그러므로, \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}=2, 이는 DE=\frac{1}{2}AB임을 의미한다.
  • \triangle ABC와 \triangle DEC가 닮음이고 \triangle DEC \in \triangle ABC이므로, \angle CDE = \angle CAB이며, 이는 AB\parallel DE임을 의미한다.[3][4][5] 또한, 닮음비가 1:2인 닮은 삼각형이 만들어진다.[4][5][6]

2. 1. 2. 작도를 이용한 증명

삼각형 ABC에서 변 AB와 AC의 중점을 각각 M, N이라고 하자. MN을 연장하여 MN=ND가 되도록 점 D를 잡고, C와 D를 연결한다. 그러면 두 삼각형 AMN과 CDN은 SAS 합동 조건에 의해 합동이다.[7] 따라서 AM과 CD는 길이가 같고 평행하다. AM=BM이므로, BCDM은 평행사변형이 된다.[7] 따라서 MN은 BC와 평행하고, MN의 길이는 MD의 절반이며, MD는 BC와 같으므로 MN은 BC의 절반이다.[7]

2. 2. 역

삼각형의 중점 연결 정리의 역은 다음과 같다.

  • 삼각형의 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.
  • 삼각형의 밑변을 제외한 한 변의 중점에서 나머지 변 위의 점을 향해 밑변의 절반 길이의 선분을 그으면, 나머지 변 위의 점은 그 변의 중점이 된다.


이 중 첫 번째 명제는 참이고, 두 번째 명제는 거짓이다. 일반적으로 '''중점 연결 정리의 역'''이라고 불리는 정리는 첫 번째 명제이며, 더 간단하게 "삼각형의 밑변을 제외한 한 변의 중점에서 밑변의 평행선을 그리면, 나머지 변의 중점을 지난다"로 표현된다.

이 명제는 다음과 같이 증명할 수 있다.

삼각형 ABC|ABC영어에서 변 AB|AB영어의 중점 M|M영어을 지나고 BC|BC영어에 평행한 직선이 AC|AC영어와 만나는 점을 N|N영어이라고 하자. MN|MN영어의 연장선 위에 MD|MD영어=BC|BC영어가 되는 점 D|D영어를 잡는다. 그러면 사각형 MBCD|MBCD영어는 평행사변형이 된다. 따라서 AB|AB영어와 CD|CD영어는 평행하고 길이가 같다. AM|AM영어=MB|MB영어이므로 AM|AM영어=CD|CD영어이고, 사각형 AMCD|AMCD영어는 평행사변형이다. 평행사변형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로, AN|AN영어=NC|NC영어이다. 즉, N|N영어은 AC|AC영어의 중점이다.

또한, 이와는 별개로, '''중점 연결 정리'''의 두 결론을 모두 가정에 포함시킨 "삼각형의, 밑변을 제외한 2변 위에 끝점을 갖는 선분이, 밑변과 평행하고 길이가 그 변의 절반일 때, 그 선분의 끝점은 각 변의 중점이 된다"는 내용도 참이며, 이를 '''중점 연결 정리의 역'''이라고 부르며, 정리 중 하나로 취급하는 경우가 있다.

3. 사다리꼴의 중점연결정리

사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변(다리)의 중점을 연결한 선분은 두 밑변과 평행하고, 그 길이는 두 밑변의 길이의 평균이다. 즉, 사다리꼴 ABCD (BC || DA영어)에서, 옆변 AB, CD의 중점을 각각 M, N이라고 할 때, 중점 연결 MN은 밑변 BC와 DA에 평행하고, 그 길이는 밑변 BC와 DA의 합의 2분의 1과 같다.[8]

3. 1. 증명

사다리꼴 ABCD에서 \overline{AD} \parallel \overline{BC}, \overline{AM} = \overline{MB}, \overline{DN} = \overline{NC}일 때, \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})이다.

와 의 연장선의 교점을 E라 할 때,

△ADN와 △ECN에서,

: (가정)

:∠AND=∠ENC (맞꼭지각)

:∠ADN=∠ECN (엇각)

∴△ADN ≡ △ECN (ASA 합동)

∴ = , =

그러므로 △ABE에서 중점연결정리에 의하여



\begin{align}

\overline{MN} & = \frac{1}{2}\overline{BE} \\

& = \frac{1}{2}(\overline{BC}+\overline{CE}) \\

& = \frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC}) \\

\end{align}



\therefore \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})이다.[8]

참조

[1] 서적 The concise Oxford dictionary of mathematics: clear definitions of even the most complex mathematical terms and concepts https://en.wikipedia[...] Oxford Univ. Press 2009
[2] 서적 Teaching and learning geometry: issues and methods in mathematical education https://en.wikipedia[...] Continuum 2004
[3] 웹사이트 【中３数学】中点連結定理ってどんな定理？ {{!}} まなビタミン by 東京個別指導学院 https://www.kobetsu.[...] 2018-12-27
[4] 웹사이트 中点連結定理とは？三角形・台形・四角形の証明をわかりやすく解説 https://www.k-wam.jp[...]
[5] 웹사이트 中点連結定理とは？証明や問題の解き方をわかりやすく解説！ https://univ-juken.c[...]
[6] 웹사이트 5分でわかる、「中点連結定理とは？」の映像授業 {{!}} 映像授業のTry IT (トライイット) https://www.try-it.j[...]
[7] 웹사이트 線分比・相似の定理 https://math.005net.[...]
[8] 웹사이트 【3分でわかる！】中点連結定理の証明、問題の解き方をわかりやすく https://goukaku-supp[...] 2020-04-26


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