진근점 이각

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

진근점 이각은 천체역학에서 궤도를 도는 물체의 위치를 나타내는 각도이며, 궤도 상태 벡터, 편심 이각, 평균 근점 이각 등을 통해 계산할 수 있다. 궤도 형태에 따라 계산 방식이 달라지며, 원 궤도에서는 위도 인수 또는 진 경도를 사용한다. 진근점 이각은 이심 근점 이각과 평균 근점 이각과의 관계를 통해 계산할 수 있으며, 사영 이각은 궤도 유형 분류 및 행성 위치 계산에 사용된다.

진근점 이각

📚 더 읽어볼만한 페이지

궤도 - 궤도면
궤도면은 인공위성과 발사체의 궤도를 결정하는 중요 요소로, 지구 중력의 비구형성으로 인해 회전하며, 발사 시점은 목표 궤도면과 발사 기지의 교차 시간에 따라 결정된다.
궤도 - 다체 문제
다체 문제는 상호작용하는 여러 물체의 운동을 다루는 문제로, 특히 중력적으로 상호작용하는 천체들의 운동을 예측하는 문제가 대표적이며, 삼체 문제부터는 해석적 해를 구하기 어려워 섭동 이론이나 수치 해석 등의 방법이 활용된다.

1. 개요
2. 공식
3. 다른 이각과의 관계
- 3.1. 이심 근점 이각과의 관계
- 3.2. 평균 근점 이각과의 관계
4. 사영 이각

2. 공식

진근점 이각은 이심 근점 이각 E를 통해 계산하는 것이 편리하다. 이심 근점 이각과 진근점 이각 $\nu$ 는 다음과 같은 관계를 가진다.

: $\tan \frac{ \nu }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + e }{ 1 - e } } \tan \frac{ E }{ 2 }$

여기서 $\beta = \frac{ 1 }{ e } \left( 1 - \sqrt{ 1 - e^2 } \right)$ 를 사용하면, 위 식은 다음과 같은 급수 형태로 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}\nu &= E + \sum_{s = 1}^\infty \frac{ 2 }{ s } \beta^s \sin s E \\&= E + 2 \left( \beta \sin E + \frac{ \beta^2 }{ 2 } \sin 2 E + \frac{ \beta^3 }{ 3 } \sin 3 E + \frac{ \beta^4 }{ 4 } \sin 4 E + \cdots \right)\end{align}$

이심 근점 이각 E는 케플러 방정식을 풀어 평균 근점 이각 M과의 관계를 통해 구할 수 있다. 이를 진근점 이각 $\nu$ 와 평균 근점 이각 M에 대한 푸리에 급수로 나타내면 다음과 같다.

: $\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots\end{align}$

2.1. 상태 벡터로부터

타원 궤도에서 진근점 이각( $\nu$ )은 궤도 상태 벡터를 이용하여 계산할 수 있다.

: $\nu = \arccos \over {\mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}$
:(만약 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} < 0$ 이라면 $\nu$를 $2\pi - \nu$로 치환)

* v는 궤도를 도는 물체의 궤도 속도 벡터이다.
* e는 편심 벡터이다.
* r는 궤도 위치 벡터이다.

2.1.1. 일반적인 타원 궤도

일반적인 타원 궤도에서 진근점 이각 $\nu$ 는 궤도 상태 벡터로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\nu = \arccos \over {\mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |}}}$
:(만약 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} < 0$ 이라면 $\nu$ 를 $2\pi - \nu$ 로 치환)

여기서,
* v는 궤도를 도는 물체의 궤도 속도 벡터이다.
* e는 편심 벡터이다.
* r는 궤도 위치 벡터이다.

2.1.2. 원 궤도

원 궤도의 경우에는 진근점 이각이 정의되지 않는데, 이는 원 궤도는 특정할 만한 궤도 근점이 없기 때문이다. 이때는 진근점 이각 대신 위도 인수 u가 사용된다.

: $u = \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}$
:(만약 r_z^영어 < 0 이라면 u^영어를 2π − u^영어로 치환)

* n은 승교점을 향한 벡터를 말한다(즉 z 요소의 n 값은 0이다).
* r_z는 궤도 위치 벡터 r의 z 성분이다.

2.1.3. 궤도 경사 0의 원 궤도

궤도 경사가 0인 원 궤도에서는 특정할 만한 궤도 교점이 없어 위도 인수 또한 정의되지 않는다. 따라서 이 때는 진 경도(true longitude)를 사용한다.

: $l = \arccos { r_x \over { \mathbf{\left |r \right |}}}$
:(만약 $v_x > 0$ 이라면 $l$ 를 $2\pi - l$ 로 치환)

* r_x는 궤도 위치 벡터 r의 x 요소이다.
* v_x는 궤도 속도 벡터 v의 x 요소이다.

2.2. 편심 이각으로부터

편심 이각 E를 통해 진근점 이각 $\nu$ 를 계산하는 방법은 다음과 같다.

: $\cos \nu = {\cos E - e \over 1 - e \cos E}$

여기서 e는 궤도 이심률이다.

사인과 탄젠트를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\sin \nu =$

: $\tan \nu = =$

위 식은 아래 식과 같다.

: $\tan \left( \sqrt{1-e} \cos {E \over 2}, \sqrt{1+e} \sin {E \over 2} \right)$

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 arg(x, y)는 벡터 (x, y)의 극 성분으로, atan2(y, x) 함수를 통해 계산할 수 있다.

또 다른 형태는 다음과 같다.

: $\tan }$

따라서,

: $\nu = E + 2 \arctan \left( \right)$

로 계산할 수 있다.

$\beta = {1 \over e} \left( 1 - \sqrt{1 - e^2} \right)$ 를 사용하면, 진근점 이각 $\nu$ 는 다음과 같은 급수 형태로 나타낼 수 있다.

: $\begin{aligned}\nu &= E + \sum_{s=1}^\infty {2 \over s} \beta^s \sin sE \\&= E + 2 \left( \beta \sin E + {\beta^2 \over 2} \sin 2E + {\beta^3 \over 3} \sin 3E + {\beta^4 \over 4} \sin 4E + \cdots \right)\end{aligned}$

2.3. 평균 근점 이각으로부터

평균 근점 이각 $M$ 으로부터 푸리에 급수를 통해 진근점 이각을 직접 계산할 수 있다.

: $\nu = M + 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(-ke)\beta^$

👆

좌우로 밀어서 보기

\right] \sin{kM}

여기서 베셀 함수는

J_n

이며, 파라미터

\beta = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}

이다.

e^4

이상의 차수의 모든 항을 생략하면(

\operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)

로 표시), 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\nu = M + \left(2e - \frac{1}{4} e^3\right) \sin{M} + \frac{5}{4} e^2 \sin{2M} + \frac{13}{12} e^3 \sin{3M} + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right).

이 근사는 일반적으로 이심률

e

가 작은 궤도에 제한된다.

\nu - M

식은 중심 방정식으로 알려져 있다.

평균 근점 이각 M에 의한 푸리에 급수 표시는 다음과 같다.

:

\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots\end{align}

2.4. 진근점 이각으로부터 반지름

궤도상의 천체와 중심 천체 사이의 거리(반지름)는 진근점 이각을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $r = a\cdot{1 - e^2 \over 1 + e \cos\nu}\,\!$

여기서 a는 궤도의 긴반지름이다.

3. 다른 이각과의 관계

진근점 이각은 편심 이각 E와 다음 관계를 가진다.

: $\tan{\nu \over 2} = \sqrt} \tan{E \over 2}.$

또한, 평균 근점 이각 M을 통해 케플러 방정식을 풀어 $\nu$ 에 대한 푸리에 급수 표시로 나타낼 수 있다.

3.1. 이심 근점 이각과의 관계

진근점 이각 ν^영어와 이심 근점 이각 E 사이의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\cos \nu = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}$

또는 사인과 탄젠트를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\sin \nu = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin E}{1 - e \cos E}$

: $\tan \nu = \frac{\sin \nu}{\cos \nu} = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin E}{\cos E - e}$

이는 아래의 식과 동등하다.

: $\tan \frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$

위 식을 통해 진근점 이각을 급수 형태로 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}\nu &= E + \sum_{s = 1}^\infty \frac{2}{s} \beta^s \sin sE \\&= E + 2 \left( \beta \sin E + \frac{\beta^2}{2} \sin 2E + \frac{\beta^3}{3} \sin 3E + \frac{\beta^4}{4} \sin 4E + \cdots \right)\end{align}$

( $\beta = \frac{1}{e} \left( 1 - \sqrt{1 - e^2} \right)$ )

3.2. 평균 근점 이각과의 관계

평균 근점 이각 $M$ 으로부터 푸리에 급수를 통해 진근점 이각을 직접 계산할 수 있다:

: $\nu = M + 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(-ke)\beta^$

👆

좌우로 밀어서 보기

\right] \sin{kM}

여기서 베셀 함수는

J_n

이며, 파라미터

\beta = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}

이다.

e^4

이상의 차수의 모든 항을 생략하면(

\operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)

로 표시), 다음과 같이 쓸 수 있다:

:

\nu = M + \left(2e - \frac{1}{4} e^3\right) \sin{M} + \frac{5}{4} e^2 \sin{2M} + \frac{13}{12} e^3 \sin{3M} + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right).

이 근사는 일반적으로 이심률

e

가 작은 궤도에 제한된다.

\nu - M

식은 중심 방정식으로 알려져 있다.

이심 근점 이각 E와 평균 근점 이각 M의 관계는 케플러 방정식을 풀어 구하지만, 이를 진근점 이각

\nu

와 평균 근점 이각 M에 의한 푸리에 급수표시로 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots\end{align}

4. 사영 이각

궤도 유형은 두 개의 투영 매개변수 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 의해 다음과 같이 분류된다.

👆

좌우로 밀어서 보기

궤도 유형	조건
원형 궤도	$\beta=0$
타원 궤도	$\alpha \beta < 1$
포물선 궤도	$\alpha \beta = 1$
쌍곡선 궤도	$\alpha \beta > 1$
선형 궤도	$\alpha = \beta$
허수 궤도	$\alpha < \beta$

여기서,

\alpha= \frac{ ( 1 + e ) ( q - p ) + \sqrt{ ( 1 + e )^2 ( q + p )^2 + 4 e^2} }{2}

\beta=  \frac{ 2 e }{ (1 + e ) ( q + p ) + \sqrt{ ( 1 + e )^2 ( q + p )^2 + 4 e^2} }

q =  (1 - e) a

p =  \frac{1}{Q} = \frac{ 1 }{ (1 + e) a}

\alpha

는 긴반지름,

e

는 이심률,

q

는 근일점 거리,

Q

는 원일점 거리이다.

행성의 위치와 태양 중심 거리

x

y

및

r

은 투영 이각

\theta

의 함수로 계산할 수 있다.

x = \frac{ - \beta + \alpha \cos \theta }{ 1 + \alpha \beta \cos \theta }

y = \frac{ \sqrt{ \alpha^2- \beta^2 } \sin \theta}{ 1 + \alpha \beta \cos \theta }

r = \frac{ \alpha - \beta \cos \theta  }{ 1 + \alpha \beta \cos \theta }

투영 이각

\theta

는 이심 이각

u

로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

*

\alpha \beta < 1

인 경우:

\tan \frac{ \theta }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + \alpha \beta }{ 1 - \alpha \beta } } \tan \frac{ u }{ 2 }

u - e \sin u = M = \left(\frac{1 - \alpha^2 \beta^2}{\alpha ( 1 + \beta^2 )}\right)^{3/2} k ( t - T_0 )

\alpha \beta = 1

인 경우:

\frac{ s^3 }{ 3 } + \frac{ \alpha^2 - 1 }{ \alpha^2 + 1} s = \frac{2 k ( t - T_0 )}{\sqrt{ \alpha ( \alpha^2 + 1)^3 } }

s = \tan \frac{ \theta }{ 2 }

\alpha \beta > 1

인 경우:

\tan \frac{ \theta }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ \alpha \beta + 1 }{ \alpha \beta - 1 } } \tanh \frac{ u }{ 2 }

e \sinh u - u = M = \left(\frac{ \alpha^2 \beta^2 - 1 }{\alpha ( 1 + \beta^2 )}\right)^{3/2} k ( t - T_0 )

위의 방정식들을 케플러 방정식이라고 부른다.

임의의 상수

\lambda

에 대해, 일반화된 이각

\Theta

는 다음과 같이 관련된다.

\tan \frac{ \Theta }{ 2 } = \lambda \tan \frac{ u }{ 2 }

이심 이각, 진근점 이각, 투영 이각은 각각

\lambda=1

\lambda=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}

\lambda=\sqrt{\frac{1+\alpha\beta}{1-\alpha\beta}}

인 경우이다.