다체 문제

4. 특수 사례

이체 문제는 요한 베르누이가 고전 이론으로 완전히 해결했으며, 타원, 포물선, 쌍곡선 형태의 해를 갖는다.^[22][23][24] 그러나 뉴턴의 만유인력 법칙은 수성 궤도, 소행성대, 토성 고리 등은 정확히 설명하지 못한다.^[27]

삼체 문제는 아이작 뉴턴이 처음 연구를 시작했고, 레온하르트 오일러, 조제프 루이 라그랑주 등이 특수 해를 발견했다.^[28] 앙리 푸앵카레는 이 연구를 통해 결정론적 혼돈 이론의 기초를 세웠다.

사체 문제는 네 물체 간 상호작용을 다루며, 이원 원형 제한 사체 문제로 단순화하여 지구-달-태양계의 우주선 궤적 모델링 등에 활용된다.^[31]

행성 문제는 한 천체의 질량이 다른 천체들보다 훨씬 클 때의 문제로, 섭동 이론을 통해 근사 해를 구하며, 블라디미르 아르놀트가 KAM 이론으로 안정성을 증명했다.^[33]

중심 배치는 모든 입자가 정지 상태에서 질량 중심으로 붕괴하는 초기 배치다.^[35]

n-체 안무는 모든 질량이 같은 곡선 위를 충돌 없이 움직이는 해로, 8자형 안무 등이 있다.^[37][38]

4. 1. 이체 문제

4. 2. 삼체 문제

4. 3. 사체 문제

4. 4. 행성 문제

4. 5. 중심 배치

4. 6. n-체 안무

5. 해석적 접근

다체 문제는 일반적으로 제1적분 방법으로는 풀 수 없다.

고전적인 -체 문제를 푸는 한 가지 방법은 테일러 급수를 이용하는 것이다.

먼저 다음과 같은 미분 방정식계를 정의한다.

:$$\backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{x\}\_i(t)\}\{dt^2\}=G\; \backslash sum\_\{k=1\; \backslash atop\; k\backslash neq\; i\}^n\; \backslash frac\{m\_k\; \backslash left(\backslash mathbf\{x\}\_k(t)-\backslash mathbf\{x\}\_i(t)\backslash right)\}\{\backslash left|\backslash mathbf\{x\}\_k(t)-\backslash mathbf\{x\}\_i(t)\backslash right|^\{3\}\},$$

초기 조건으로 와 이 주어지면, 모든 은 알려져 있다. 을 미분하면 이 되는데, 이 값은 에서도 알려져 있으며, 테일러 급수는 반복적으로 구성된다.

순드만의 결과를 인 경우로 일반화하려면 두 가지 장애물에 직면해야 한다.

# 지겔이 보여주었듯이, 둘 이상의 천체가 관여하는 충돌은 해석적으로 정규화될 수 없으므로 순드만의 정규화를 일반화할 수 없다.

# 이 경우 특이점의 구조가 더 복잡하다. 다른 유형의 특이점이 발생할 수 있다.

1990년대 왕치우둥(Qiudong Wang)은 순드만의 결과를 개 천체의 경우로 일반화했다.^[39] 특이점의 구조가 더 복잡하기 때문에 왕치우둥은 특이점 문제를 완전히 제외해야 했다. 그의 접근 방식의 핵심은 적절한 방식으로 방정식을 새로운 시스템으로 변환하여 이 새로운 시스템의 해에 대한 존재 구간이 이 되도록 하는 것이다.

고전적인 다체 문제의 예로는, 태양계와 같은 항성과 행성이 만유인력으로 상호 작용하는 경우의 행성 운행 문제를 들 수 있다. 태양과 지구와 같은 이체 문제는 정확하게 풀 수 있지만, 예를 들어 달의 운동까지 고려하는 일반적인 삼체 문제 이상이 되면 해석적으로 풀 수 없다고 여겨진다(제한된 조건(제한 삼체 문제 등)에서는 해가 존재한다). 18세기에는 조제프 루이 라그랑주가 연구를 심화시켰고, 19세기 말에 앙리 푸앵카레에 의해 증명되었다. 하지만 푸앵카레의 증명은 적분법(대수 변환, 초등 함수의 변환, 적분의 유한 회수에 의한 해법)의 범위이며, 이 범위를 벗어나는 해법의 존재 여부는 현재도 불명확하다.

행성 운행에 관해서는 섭동 또는 수치 해석을 이용하여 다체 문제를 계산한다. 카오스가 발생하는지 여부는 상태에 따라 다르며, 또한 카오스의 정의가 연구자마다 다르기 때문에 이 논의는 명확하지 않다. 참고로 카오스(여기서는 리아푸노프 지수가 양수이고 비주기 해)가 발생하는 경우에는 질량이 작은 별은 계에서 튕겨 나가고, 최종적으로 질량이 큰 별이 매우 좁은 범위에서 복잡한 궤도를 그린다고 여겨지지만, 자세한 내용은 결론이 나지 않았다.

6. n-체 문제의 특이점

• 체 문제의 특이점은 다음 두 가지 유형으로 분류할 수 있다.

• 두 개 이상의 천체가 충돌하지만, 천체의 위치를 나타내는 는 유한한 값을 유지하는 경우이다. (수학적인 의미에서 "충돌"은 두 개의 점입자 천체가 공간상에서 동일한 위치를 갖는 것을 의미한다.)
• 충돌은 발생하지 않지만 가 유한한 값을 유지하지 않는 경우이다. 이 경우, 천체는 유한한 시간 내에 무한대로 발산하지만 동시에 거리가 0에 가까워진다(무한대에서 가상의 충돌이 발생한다).

7. 시뮬레이션

일반적으로 -체 문제는 수치적 방법을 사용하여 풀거나 시뮬레이션해야 한다.

행성 운행에 관해서는 섭동 또는 수치 해석을 이용하여 다체 문제를 계산한다. 카오스 발생 여부는 상태에 따라 다르며, 카오스의 정의가 연구자마다 다르기 때문에 이 논의는 명확하지 않다.

양자역학에서 다체 문제는 두 개 이상의 전자를 가진 원자에서 전자의 전자 상태를 구하는 문제 등이 있다. 입자 수가 엄청나게 많은 경우에는 다양한 근사를 사용하여 문제를 단순화한 후 계산한다(양자 다체 문제).

7. 1. 소체 문제

7. 2. 다체 문제

• 트리 코드 방법은 Barnes-Hut 시뮬레이션과 같이 공간적으로 계층적인 방법이다. 먼 입자 군의 퍼텐셜은 다극 전개 또는 퍼텐셜의 다른 근사를 사용하여 계산한다. 이를 통해 복잡도를 $O(n \log n)$로 줄일 수 있다.
• 고속 다극자 방법은 먼 입자로부터의 다극 전개된 힘이 서로 가까운 입자에 대해 유사하다는 점을 이용한다. 원거리 힘의 국부적 전개를 사용하여 계산 노력을 줄인다. 이러한 추가적인 근사는 복잡도를 $O(n)$로 더욱 줄인다고 한다.
• 입자 메시 방법은 시뮬레이션 공간을 3차원 격자로 나누고, 그 위에 입자의 질량 밀도를 보간한다. 그러면 퍼텐셜 계산은 격자에서 푸아송 방정식을 푸는 문제가 되는데, 이는 고속 푸리에 변환을 사용하여 $O(n \log n)$ 시간 또는 다중 격자 기법을 사용하여 $O(n)$ 시간에 계산할 수 있다.
• P³M 및 PM-트리 방법은 먼 입자에 대해 입자 메시 근사를 사용하지만 가까운 입자(몇 개의 격자 간격 내)에 대해서는 더 정확한 방법을 사용하는 하이브리드 방법이다. P³M은 '입자-입자, 입자-메시'를 의미하며, 근거리에서 부드러운 퍼텐셜을 사용하여 직접적인 방법을 사용한다. PM-트리 방법은 대신 근거리에서 트리 코드를 사용한다.
• 평균장 방법은 시간에 따라 변하는 볼츠만 방정식으로 입자 시스템을 근사하여 질량 밀도를 나타내고, 이는 퍼텐셜을 나타내는 자기 일치 푸아송 방정식에 결합된다. 이는 대규모 시스템에 적합한 평활 입자 유체 역학 근사의 한 유형이다.

7. 3. 강한 중력

8. 기타 n-체 문제

중력 외에도, 정전기력 문제에서도 다체 문제와 유사한 형태의 문제가 나타난다. 구조 생물학에서 단백질과 세포 집합체를 시뮬레이션하는 경우와 같이 대규모 정전기력 문제에서, 쿨롱 퍼텐셜은 중력 퍼텐셜과 유사한 형태를 가진다. 다만, 전하는 양 또는 음일 수 있어 인력뿐만 아니라 척력도 발생시킨다는 차이점이 있다.^[45] "빠른 쿨롱 해법"은 고속 다중극 방법 시뮬레이터에 대응하는 정전기적 방법이다. 이러한 방법은 시뮬레이션 영역에 주기적 경계 조건을 적용하고, 에발드 합산 기법을 사용하여 계산 속도를 높이기도 한다.^[46]

통계학과 기계 학습 분야의 일부 모델에서도 중력 퍼텐셜과 비슷한 형태의 손실 함수가 사용된다. 이러한 손실 함수는 매개변수 공간에서 객체 간 거리에 따라 달라지는 커널 함수의 모든 쌍에 대한 합으로 나타난다.^[47] 다양체 학습에서의 모든 최근접 이웃 검색, 커널 밀도 추정, 커널 머신 등이 이러한 형태의 문제에 해당한다. 시간 복잡도를 O(n)으로 줄이기 위해, 중력 n-체 문제에도 적용 가능한 이중 트리 알고리즘과 같은 최적화 기법이 개발되기도 하였다.

전산유체역학에서는 와류법이라는 기법이 사용되는데, 이는 유체 영역의 와도를 입자로 이산화하고 해당 중심에서의 속도로 이동시키는 방법이다. 유체 속도와 와도는 푸아송 방정식을 통해 연결되므로, 중력이나 정전기와 유사하게 모든 와도 함유 입자에 대한 n-체 합산으로 속도를 계산할 수 있다. 이 합산에는 전류 대신 와도를 사용하는 비오-사바르 법칙이 적용된다.^[48] 입자가 포함된 난류 다상 유동의 경우, 모든 입자가 생성하는 전체 교란장을 결정하는 것이 n-체 문제에 해당한다. 유동 내 입자가 유동의 콜모고로프 스케일보다 훨씬 작으면, 선형 스토크스 교란장을 중첩하여 n개 입자 위치에서 교란 속도의 3개 성분에 대한 3n개 방정식 시스템을 얻을 수 있다.^[49][50]

양자역학에서 다체 문제는, 예를 들어 두 개 이상의 전자를 가진 원자에서 전자의 전자 상태를 구하는 문제와 같이 나타난다. 입자 수가 매우 많은 경우에는 다양한 근사를 통해 문제를 단순화하여 계산한다(양자 다체 문제).

9. 관련 항목

• 그린 함수
• 라그랑주점
• N체 시뮬레이션
• GRAPE

참조

_[1] 문서 Leimanis and Minorsky: Our interest is with Leimanis, who first discusses some history about the n-body problem, especially Ms. Kovalevskaya's 1868–1888 twenty-year complex-variables approach, failure; Section 1: "The Dynamics of Rigid Bodies and Mathematical Exterior Ballistics" (Chapter 1, "The motion of a rigid body about a fixed point (Euler and Poisson equations)"; Chapter 2, "Mathematical Exterior Ballistics"), good precursor background to the n-body problem; Section 2: "Celestial Mechanics" (Chapter 1, "The Uniformization of the Three-body Problem (Restricted Three-body Problem)"; Chapter 2, "Capture in the Three-Body Problem"; Chapter 3, "Generalized n-body Problem").
_[2] 문서 See references cited for Heggie and Hut.
_[3] 문서 Quasi-steady loads are the instantaneous inertial loads generated by instantaneous angular velocities and accelerations, as well as translational accelerations (9 variables). It is as though one took a photograph, which also recorded the instantaneous position and properties of motion. In contrast, under a steady-state condition, a system's state is invariant to time; otherwise, the first derivatives and all higher derivatives are zero.
_[4] 문서 R. M. Rosenberg states the n-body problem similarly (see References): "Each particle in a system of a finite number of particles is subjected to a Newtonian gravitational attraction from all the other particles, and to no other forces. If the initial state of the system is given, how will the particles move?" Rosenberg failed to realize, like everyone else, that it is necessary to determine the forces first before the motions can be determined.
_[5] 문서 A general, classical solution in terms of first integrals is known to be impossible. An exact theoretical solution for arbitrary n can be approximated via Taylor series, but in practice such an infinite series must be truncated, giving at best only an approximate solution; and an approach now obsolete. In addition, the n-body problem may be solved using numerical integration, but these, too, are approximate solutions; and again obsolete. See Sverre J. Aarseth's book Gravitational n-Body Simulations listed in the References.
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_[7] 서적 The Great Events by Famous Historians The National Alumni 1905
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_[9] 문서 See Principia, Book Three, System of the World, "General Scholium", page 372, last paragraph. Newton was well aware that his mathematical model did not reflect physical reality. This edition referenced is from the Great Books of the Western World, Volume 34, which was translated by Andrew Motte and revised by Florian Cajori. This same paragraph is on page 1160 in Stephen Hawkins, On the Shoulders of Giants, 2002 edition; is a copy from Daniel Adee's 1848 addition. Cohen also has translated new editions: Introduction to Newton's Principia, 1970; and Isaac Newton's Principia, with Variant Readings, 1972. Cajori also wrote History of Science, which is online.
_[10] 문서 For details of the serious error in Poincare's first submission see the article by Diacu.
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_[15] 문서 Meyer 2009, p. 28
_[16] 문서 Meyer 2009, pp. 28–29
_[17] 문서 Chenciner 2007
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_[19] 웹사이트 AST1100 Lecture Notes: 5 The virial theorem http://www.uio.no/st[...] University of Oslo 2014-03-25
_[20] 문서 Trenti 2008
_[21] 문서 See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.
_[22] 문서 For the classical approach, if the common center of mass (i.e., the barycenter) of the two bodies is considered to be at rest, then each body travels along a conic section which has a focus at the barycenter of the system. In the case of a hyperbola it has the branch at the side of that focus. The two conics will be in the same plane. The type of conic (circle, ellipse, parabola or hyperbola) is determined by finding the sum of the combined kinetic energy of two bodies and the potential energy when the bodies are far apart. (This potential energy is always a negative value; energy of rotation of the bodies about their axes is not counted here)If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.
_[23] 문서 For this approach see Lindsay's Physical Mechanics, Chapter 3: "Curvilinear Motion in a Plane", and specifically paragraphs 3–9, "Planetary Motion"; pp. 83–96. Lindsay presentation goes a long way in explaining these latter comments for the fixed two-body problem; i.e., when the Sun is assumed fixed.
_[24] 문서 Note: The fact a parabolic orbit has zero energy arises from the assumption the gravitational potential energy goes to zero as the bodies get infinitely far apart. One could assign any value to the potential energy in the state of infinite separation. That state is assumed to have zero potential energy by convention.
_[25] 문서 Science Program'sThe Nature of the Universe states Clarence Cleminshaw (1902–1985) served as assistant director of Griffith Observatory from 1938 to 1958 and as director from 1958 to 1969. Some publications by Cleminshaw:Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, equation, Kepler, orbit, comet, Saturn, Mars, velocity.Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturn, Jupiter, observe, conjunction.Cleminshaw, C. H.: "The Scale of The Solar System", 7 1959, Solar system, scale, Jupiter, sun, size, light.
_[26] 문서 See I. Bernard Cohen's Scientific American article.
_[27] 서적 Maxwell on Saturn's Rings MIT Press 1983
_[28] 문서 See Leimanis and Minorsky's historical comments.
_[29] 문서 See Moulton's Restricted Three-body Problem for its analytical and graphical solution.
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