평균 근점 이각

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1. 개요

평균 근점 이각은 천문학에서 궤도 상의 물체의 위치를 나타내는 각 변수 중 하나이다. 궤도 근점으로부터 물체가 얼마나 궤도를 돌았는지를 나타내며, 0°에서 360°까지 변화한다. 평균 근점 이각 M은 평균 운동 n과 시간 t, 초기 시간 t0, 초기 평균 근점 이각 M0을 사용하여 M = M0 + n(t - t0)로 계산할 수 있으며, 케플러 방정식을 통해 궤도 이심률 e와 이심 근점각 E로도 표현 가능하다. 또한, 평균 경도 l과 근일점 경도 ϖ을 사용하여 M = l - ϖ로 나타낼 수도 있다.

평균 근점 이각

정의

의미	궤도 운동에서, 평균 근점 궤도는 주어진 시간 간격 동안 일정하게 증가하는 각도이며, 케플러 궤도를 따라 움직이는 가상 천체의 위치를 매개변수화하는 데 사용된다. 이는 실제 천체의 위치가 궤도에서 어떻게 움직이는지에 대한 비선형 방정식을 풀지 않고도 예측할 수 있게 해준다.
설명	실제 천체의 위치는 케플러 방정식을 풀어 얻어야 하며, 평균 근점 궤도는 이 방정식의 중간 단계에서 사용되는 편리한 "균일한" 각도 변수이다.

공식

기호	M
공식 (수학적 표현)	M = n(t - τ)
변수 설명	t: 주어진 시간 τ: 근점 통과 시간 n: 평균 각운동 (단위 시간당 라디안)
평균 각운동 공식	n = √(GM/a³)
평균 각운동 변수 설명	G: 중력 상수 M: 중심 천체의 질량 a: 궤도 긴반지름

계산

평균 근점 궤도 계산	평균 근점 궤도는 근점 이각 E와 이심률 e를 사용하여 계산할 수 있다.
공식 (수학적 표현)	M = E - e sin E
계산 정보	이 공식은 M이 주어지면 E를 직접적으로 구할 수 없기 때문에 수치적인 방법으로 풀어야 한다.

관련 항목	근점 이각 케플러 방정식 평균 각운동

2. 정의

τ를 물체가 궤도 근점에 있는 시각이라고 할 때, 평균 근점 이각 M은 다음과 같이 정의된다.

: $M=n(t-\tau),$

이 공식을 통해 임의의 시간 t(근점으로부터 지난 시간)에서의 각거리를 구할 수 있다.

평균 근점 이각은 물리적인 물체들의 각도를 측정하는 것이 아니다. 이는 궤도의 근점으로부터 물체가 얼마나 궤도를 돌았는지를 보여주는 간편한 형식일 뿐으로, 궤도에서의 위치를 보여주는 세 개의 각 변수(평균 근점 이각, 이심 이각, 진근점 이각) 중 하나이다.

기준점에서의 평균 근점 이각, $M_0$ 는 주어진 기준점에서의 순간적인 평균 근점 이각으로 정의된다.

천체역학에서 평균 근점 이각 M은 다음과 같이 구할 수도 있다.

: $M - M_0=n(t-t_0)\,\!$

여기서,

* $M_0\,\!$ 는 시각 $t_0\,\!$ 에서의 평균 근점 이각,
* $t_0\,\!$ 는 초기 시각,
* $t\,\!$ 는 천체의 위치를 구하는 시각,
* $n\,\!$ 는 평균 운동이다.

또한, M은 케플러 방정식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $M=E - e \cdot \sin E\,\!$

여기서,

* $E\,\!$ 는 천체 p의 이심 근점각,
* $e\,\!$ 는 궤도 이심률이다.

2.1. 평균 운동

T를 천체가 궤도 한 바퀴를 도는 데 필요한 시간이라고 할 때, 시간 T 동안 위치벡터는 2π 라디안(=360°)를 쓸고 지나간다. 이 때 평균 각속도 n은 다음과 같이 정의된다.

: $n=\frac{2\pi}{T} \quad \mbox{or} \quad n=\frac{360^\circ}{T},$

이 값 n은 천체의 평균 운동이라고 불리며, 단위시간당 라디안 또는 단위시간당 각도로 나타내어진다.

2.2. 평균 근점 이각의 변화

n은 변하지 않는 평균이지만, 평균 근점 이각은 궤도를 돎에 따라 0°에서 360°(0에서 2π 라디안)까지 선형적으로 증가한다. 평균 근점 이각이 0일 때는 물체가 궤도 근점에 있는 것이고, 180°(π 라디안)일 경우에는 궤도 원점에 있으며, 360°(2π 라디안)일 경우에는 공전 한 바퀴를 완료한 것이다. 만약 어떤 순간의 평균 근점 이각을 알고 있다면, n δt를 더하거나 빼서 다른 시각의 평균 근점 이각을 계산할 수 있다. 여기서 δt는 시각 차이를 나타낸다.

3. 공식

평균 근점 이각 M은 케플러 방정식을 통해 편심 이각 E와 궤도 이심률 e로부터 계산할 수 있다.

: $M = E - e \sin E$

평균 운동 n은 물체의 질량에 비례하는 표준 중력 변수 μ와 궤도 긴반지름 a를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $n=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$

평균 근점 이각은 궤도 이심률 e와 진근점 이각 $\nu$ 의 급수 전개를 통해서도 표현할 수 있다.

: $M=\nu - 2e\sin\nu + \left(\tfrac{3}{4}e^2+\tfrac{1}{8}e^4\right)\sin2\nu - \tfrac{1}{3}e^3\sin3\nu + \tfrac{5}{32}e^4\sin4\nu \cdots$

포물선 궤도나 쌍곡선 궤도의 경우, 주기가 없기 때문에 평균 근점 이각은 정의되지 않는다.

3.1. 케플러 방정식

평균 근점 이각 M은 케플러 방정식을 이용하여 편심 이각 E와 궤도 이심률 e로 표현할 수 있다.

: $M = E - e \sin E$

평균 근점 이각은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

: $M = M_0 + n\left(t-t_0\right)$

여기서 M₀은 역기점에서의 평균 근점 이각이고, t₀는 궤도 요소들이 관측된 특정 시각인 역기점이다. 물체의 위치를 찾는 고전적인 방법은 다른 궤도 요소들을 측정해서 이 식을 통하여 평균 근점 이각을 계산하고, 편심 이각을 계산하기 위해 케플러 방정식을 이용하는 것이었다.

근일점 경도(궤도 근점에서 기준 방향에 대한 각도)를 ϖ라고 하고, 평균 경도(물체와 기준 방향 사이의 각도이며, 물체의 이동에 따라 변한다)를 라고 하면, 평균 근점 이각은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

: $M = l - \varpi$

평균 운동 n은 다음과 같이 표현될 수 있다. μ는 물체의 질량에 비례하는 표준 중력 변수이고, a는 궤도 긴반지름이다.

: $n=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$

위의 식에 따라서, 평균 근점 이각은 다음과 같이 표현된다.

: $M=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-\tau)$

평균 근점 이각은 궤도 이심률 e와 진근점 이각 의 급수 전개를 통해서도 표현될 수 있다.

: $M=\nu - 2e\sin\nu + \left(\tfrac{3}{4}e^2+\tfrac{1}{8}e^4\right)\sin2\nu - \tfrac{1}{3}e^3\sin3\nu + \tfrac{5}{32}e^4\sin4\nu \cdots$

3.2. 평균 근점 이각과 시간의 관계

평균 근점 이각 M은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:M = M₀ + n(t - t₀)

* M₀: 역기점에서의 평균 근점 이각
* t₀: 역기점(궤도 요소들이 관측된 특정 시각)
* n: 평균 운동
* t: 시간

물체의 위치를 찾는 고전적인 방법은 다른 궤도 요소들을 측정해서 이 식을 통해 평균 근점 이각을 계산하고, 편심 이각을 계산하기 위해 케플러 방정식을 이용하는 것이었다.

평균 운동 n은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $n=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$

* μ: 물체의 질량에 비례하는 표준 중력 변수
* a: 궤도 긴반지름

위 식에 따라 평균 근점 이각은 다음과 같이 표현된다.

: $M=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-\tau)$

3.3. 평균 근점 이각과 평균 경도

근일점 경도(궤도 근점에서 기준 방향에 대한 각도)를 ϖ, 평균 경도(물체와 기준 방향 사이의 각도이며, 물체의 이동에 따라 변한다)를 $l$ 이라 할 때, 평균 근점 이각 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $M = l - \varpi$

3.4. 평균 운동 공식

평균 운동 n은 표준 중력 변수 μ와 궤도 긴반지름 a를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $n=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$

3.5. 평균 근점 이각과 진근점 이각

평균 근점 이각 M은 궤도 이심률 e와 진근점 이각 $\nu$ 의 급수 전개를 통해서도 표현할 수 있다.

: $M=\nu - 2e\sin\nu + \left(\tfrac{3}{4}e^2+\tfrac{1}{8}e^4\right)\sin2\nu - \tfrac{1}{3}e^3\sin3\nu + \tfrac{5}{32}e^4\sin4\nu \cdots$

진근점 이각을 평균 근점 이각의 함수로 직접 표현하는 공식도 있다.

: $f = M + \left( 2\,e - \frac{1}{4} e^3 \right) \sin M + \frac{5}{4} e^2 \sin 2M + \frac{13}{12} e^3 \sin 3M + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)$