집적점

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 특수한 경우
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

집적점은 위상 공간의 부분 집합에 속하는 점으로, 해당 점의 모든 근방이 그 부분 집합의 점을 적어도 하나 포함하는 경우를 말한다. 특히, 1-집적점은 폐포점, ω-집적점은 무한히 많은 점을 포함하는 극한점, 응집점은 셀 수 없이 많은 점을 포함하는 극한점을 의미한다. 집적점은 폐포, 유도 집합, 고립점 등과 밀접한 관련을 가지며, T1 공간에서는 극한점과 동일한 개념으로 사용된다.

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집적점
정의
위상 공간	위상 공간 X에서, X의 부분 집합 S의 집적점(또는 극한점, 모임점, 응집점)은 S의 점일 필요는 없지만, S의 다른 점들에 임의로 가깝다.
정의	X의 점 x는 만약 x를 포함하는 모든 열린 집합이 S의 x가 아닌 점을 포함한다면 S의 집적점이다.
추가 설명
설명	이는 x를 중심으로 하는 X의 모든 근방이 S의 적어도 하나의 점(x 자체일 수도 있음)을 포함한다는 것과는 다르지 않다.
고립점	집합 S의 점 x가 x를 포함하는 열린 집합 U가 존재하여 S ∩ U = {x}를 만족하면 S의 고립점이라고 한다. 따라서 S의 점은 집적점이거나 고립점이다.
관련 정의
닫힘	S의 닫힘은 S의 모든 집적점과 S 자체의 점을 포함하는 집합이다. S의 점이거나 S의 집적점인 X의 점 x는 S의 접촉점이라고 한다.
파생 집합	S의 파생 집합은 S의 모든 집적점의 집합이다.
밀집 집합	집합의 모든 점이 집적점이면 그 집합은 자신 안에서 밀집되어 있다고 한다.
수학적 표현
표현	"x는 S의 집적점이다"는 "모든 열린 집합 U가 x를 포함하면, (U ∖ {x}) ∩ S ≠ ∅이다"와 동등하다.
거리 공간
거리 공간에서의 정의	거리 공간에서, x는 만약 S의 점들의 수열이 x로 수렴하면 S의 집적점이다 (x 자신을 제외하고).
추가 설명	만약 거리 공간이 T1 공간이 아니라면, 이 속성을 가진 x는 S의 집적점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 비이산 공간 {a, b}에서 집합 {a}는 b를 수렴하는 수열 (a, a, a, ...)을 가지지만, b는 {a}의 집적점이 아니다.
주의사항
주의	모든 위상 공간에서 이 두 정의는 동등하지 않다. 그러나 거리화 가능한 공간에서는 동등하다.
예시
예시 1	실수 집합에서, 집합 (a, b)의 집적점 집합은 닫힌 구간 [a, b]이다.
예시 2	집합 {1/n : n ∈ N}의 집적점 집합은 {0}이다.
예시 3	실수 집합 Q의 집적점 집합은 실수 집합 R이다.
관련 개념
축적점	때때로 집적점을 축적점이라고도 한다.
ω-집적점	X의 점 x는 S의 ω-집적점 또는 극한점이라고 하는데, 만약 x를 중심으로 하는 X의 모든 근방이 S의 무한히 많은 점을 포함한다면 그렇다. 만약 선택 공리가 참이라면, 거리 공간에서 집적점과 ω-집적점의 개념은 동등하다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y$ 와 점 $x \in X$ 에 대해, $x$ 의 임의의 근방이 $Y$ 와 ( $x$ 자신을 제외하고) 적어도 한 점에서 만날 때, $x$ 를 $Y$ 의 '''집적점'''(集積點, accumulation point)이라고 한다.

기수 $\kappa$ 가 주어졌을 때, 점 $x$ 의 임의의 근방 $U$ 에 대해, $|U \cap Y| \ge \kappa$ 가 성립하면, $x$ 를 $Y$ 의 $\kappa$ -집적점이라고 한다.

2. 1. 특수한 경우

위상 공간

X

의 부분 집합

Y\subseteq X

와 점

x\in X

에 대해, 다음과 같은 특수한 경우들이 정의된다.

'''극한점'''(極限點, limit point^영어): $x$ 의 임의의 근방 $U$ 에 대해, $U \cap Y \setminus \{x\} \ne \varnothing$ 이면, $x$ 는 $Y$ 의 극한점이다. T1 공간에서는 $\aleph_0$ -집적점과 동치이다.
'''폐포점'''(閉包點, closure point^영어) 또는 '''밀착점'''(密着點, adherent point^영어): 1-집적점. $Y$ 의 폐포는 $Y$ 와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.
'''응집점'''(凝集點, condensation point^영어): $\aleph_1$ -집적점 (최소의 비가산 기수).
'''완비 집적점'''(完備集積點, complete accumulation point^영어): $|Y|$ -집적점.
'''고립점'''(孤立點, isolated point^영어): $X$ 의 극한점이 아닌 점. $\{x\}$ 가 열린집합인 점 $x \in X$ 이다.

3. 성질

비상수열의 모든 극한은 수열의 집적점이며, 모든 극한점은 정의에 의해 접점이다.
집합 $S$ 의 폐포 $\operatorname{cl}(S)$ 는 집적점 $L(S)$ 와 고립점 $I(S)$ 의 분리 집합이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{cl} (S) = L(S) \cup I(S)\quad\text{and}\quad L(S) \cap I(S) = \emptyset.

점 $x \in X$ 가 $S \subseteq X$ 의 집적점일 필요충분조건은 $S \setminus \{ x \}$ 의 폐포에 속하는 것이다.
$L(S)$ 를 $S$ 의 집적점 집합으로 나타내면, $S$ 의 폐포는 $S$ 와 $L(S)$ 의 합집합과 같다.
집합 $S$ 는 그 집적점을 모두 포함하는 경우에만 닫힌 집합이다.
어떤 고립점도 어떤 집합의 집적점이 아니다.
공간 $X$ 가 이산 공간인 경우에만 $X$ 의 어떤 부분집합도 집적점을 갖지 않는다.
공간 $X$ 가 자명 위상을 가지며 $S$ 가 두 개 이상의 원소를 가진 $X$ 의 부분집합인 경우, $X$ 의 모든 원소는 $S$ 의 집적점이다. $S$ 가 단일 집합인 경우, $X \setminus S$ 의 모든 점은 $S$ 의 집적점이다.
위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''S''에 대해, ''X''의 점 ''x''가 ''S''의 '''집적점'''이라는 것은, ''x''를 포함하는 임의의 열린 집합이 적어도 하나의 ''x''와 다른 ''S''의 점을 포함하는 것을 의미한다.
T₁ 공간에서는, ''x''의 임의의 근방이 ''S''의 점을 무한히 포함한다는 조건과 동치이다.
공간 ''X''가 프레셰-우리손 공간인 경우, ''x''가 ''S''의 집적점이기 위한 필요충분 조건은, ''x''를 극한으로 가지는 ''S'' ∖ {''x''}의 가산 열이 존재하는 것이다.

3. 1. 폐포와의 관계

위상 공간

X

의 부분 집합

Y

의 폐포는

Y

와

Y

의 극한점들의 집합의 합집합이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

\operatorname{cl}Y=Y\cup Y'

Y

가 닫힌집합일 필요충분조건은

Y'\subseteq Y

인 것이다.^[1] 즉,

Y

가 닫힌집합이려면

Y

의 모든 극한점이

Y

에 포함되어야 한다.

3. 2. T₁ 공간

X

가 T₁ 공간일 때, 극한점은

\aleph_0

-집적점과 같다. T₁ 공간에서, 임의의 부분 집합의 유도 집합(극한점들의 집합)은 닫힌집합이다.^[1]

'''증명:'''

x\in X

가

Y\subseteq X

의

\aleph_0

-집적점이 아니라고 가정한다. 그러면

U\cap Y

가 유한 집합인

U\in\mathcal N_x

가 존재한다. (

\mathcal N_x

는

x

의 근방 필터이다.)

X

가 T₁ 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

\widetilde U=\operatorname{int}(U)\setminus(Y\setminus\{x\})=\operatorname{int}(U)\cap\bigcap_{y\in U\cap(Y\setminus\{x\})}(X\setminus\{y\})

이는 유한 개의 열린집합들의 교집합이므로 열린집합이다. (

\operatorname{int}

는 내부이다.)

\widetilde U\in\mathcal N_x

이고

\widetilde U\cap Y=\{x\}

이므로,

x

는

Y

의 극한점이 아니다.^[1]

3. 3. 유도 집합 (도집합)

편의상 극한점을 1.5-집적점으로 부르기로 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

임의의 $\kappa\ge1$ 에 대하여, $\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\varnothing)=\varnothing$
임의의 집합 $Y,Z\subseteq X$ 및 기수 $\kappa\le1.5$ 에 대하여, $\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y\cup Z)=\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)\cup \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)$
임의의 집합 $Z\subseteq Y\subseteq X$ 및 기수 $\kappa\ge\lambda$ 에 대하여, $\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)\subseteq\operatorname{acc\,pt}_\lambda(Y)$

임의의 부분 집합의 유도 집합이 닫힌집합인 위상 공간을 T_D 공간이라고 한다. 모든 T₁ 공간은 T_D 공간이며, 모든 T_D 공간은 콜모고로프 공간이다.

4. 예시

실수선의 부분 집합 $S=\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}\subsetneq\mathbb R$ 을 생각하면, 그 집적점은 0이다.

실수선 속의 유리수의 부분 집합 $\mathbb Q\subsetneq\mathbb R$ 을 생각하면, 모든 실수가 $\mathbb{Q}$ 의 집적점이다.

이산 공간에서는 모든 점이 고립점이며, 집적점을 갖는 부분 집합은 존재하지 않는다.

5. 역사

유도 집합(abgeleitete Punktmenge^de)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.^[4]

참조

_[1] 웹사이트 Difference between boundary point & limit point. https://math.stackex[...] 2021-01-13
_[2] 웹사이트 What is a limit point https://math.stackex[...] 2021-01-13
_[3] 웹사이트 Examples of Accumulation Points https://web.archive.[...] 2021-01-14
_[4] 저널 Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen http://www.maths.tcd[...] 1872

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