콜모고로프 공간

3. 성질

모든 T₁ 공간은 콜모고로프 공간이다. 모든 차분한 공간은 콜모고로프 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:위상 공간 ⊋ 콜모고로프 공간 ⊋ T₁ 공간 ∪ 차분한 공간

콜모고로프 공간의 부분 공간은 항상 콜모고로프 공간이다. 그러나 콜모고로프 공간의 몫공간은 콜모고로프 공간이 아닐 수 있다.

4. 콜모고로프 몫공간

위상 공간 $X$에 대해, 위상수학적 구분 불가능성에 대한 몫공간 $X/\{\backslash sim\}$을 취하여 콜모고로프 몫공간을 정의할 수 있다.^[2] 이는 항상 콜모고로프 공간이다. 범주론적으로, 콜모고로프 공간들의 범주는 모든 위상 공간들의 범주의 반사 부분 범주이다.

점들의 위상학적 불가구별성은 동치 관계이다. 어떤 위상 공간 ''X''가 주어지든, 이 동치 관계에 따른 몫 공간은 항상 T₀이다. 이 몫 공간을 ''X''의 '''콜모고로프 몫'''이라고 하며, KQ(''X'')로 나타낸다. 처음에 ''X''가 T₀였다면 KQ(''X'')와 ''X''는 자연스럽게 위상 동형이다.

범주론적으로, 콜모고로프 공간은 위상 공간의 반사 부분 범주이며, 콜모고로프 몫은 반사자이다.

위상 공간 ''X''와 ''Y''는 콜모고로프 몫이 위상 동형일 때 '''콜모고로프 동치'''라고 한다. 위상 공간의 많은 성질들이 이 동치에 의해 보존된다. 즉, ''X''와 ''Y''가 콜모고로프 동치이면, ''X''가 그러한 성질을 가질 때에만 ''Y''도 그 성질을 갖는다. 반면에, 위상 공간의 대부분의 "다른" 성질들은 T₀성을 "내포"한다. 즉, ''X''가 그러한 성질을 가지면, ''X''는 T₀여야 한다.

더 나아가, 위상 공간에서 정의된 많은 구조들이 ''X''와 KQ(''X'') 사이에서 이전될 수 있다. 결과적으로, 특정 구조나 성질을 가진 비 T₀ 위상 공간이 있다면, 일반적으로 콜모고로프 몫을 취하여 동일한 구조와 성질을 가진 T₀ 공간을 형성할 수 있다.

L²|엘투^영어('''R''')의 예시는 이러한 특징들을 보여준다. 위상수학적 관점에서, 우리가 시작한 세미 노름 벡터 공간은 많은 추가적인 구조를 가지고 있다. 예를 들어, 그것은 벡터 공간이며, 세미 노름을 가지고 있으며, 이는 위상과 호환되는 유사 거리와 균등 구조를 정의한다. 또한, 이러한 구조의 몇 가지 성질이 있다. 예를 들어, 세미 노름은 평행 사변형 항등식을 만족하고 균등 구조는 완비이다. 이 공간은 거의 모든 곳에서 같은 L²|엘투^영어('''R''')의 임의의 두 함수가 이 위상에서는 구별할 수 없기 때문에 T₀가 아니다. 콜모고로프 몫을 형성하면 실제 L²|엘투^영어('''R''')인 이러한 구조와 성질들이 보존된다. 따라서 L²|엘투^영어('''R''')은 평행 사변형 항등식을 만족하는 완비 세미 노름 벡터 공간이기도 하다. 그러나 실제로 우리는 공간이 이제 T₀이므로 조금 더 얻는다. 세미 노름은 기본 위상이 T₀일 때에만 노름이므로, L²|엘투^영어('''R''')은 실제로 힐베르트 공간으로 알려진 평행 사변형 항등식을 만족하는 완비 노름 벡터 공간이다. 그리고 이것은 수학자(그리고 물리학자, 양자 역학에서)가 일반적으로 연구하려는 힐베르트 공간이다. 표기법 L²|엘투^영어('''R''')은 단순히 표기법이 제안하는 제곱 적분 가능 함수들의 벡터 공간보다는, 측도가 0인 집합에서 다른 제곱 적분 가능 함수들의 동치류 집합인 콜모고로프 몫을 일반적으로 나타낸다는 점에 유의해야 한다.

5. 예

• 비이산 공간은 원소가 두 개 이상일 경우 콜모고로프 공간이 아니며, 이 경우 콜모고로프 몫공간은 한원소 공간이 된다.

• 실수선 위의 제곱 적분 가능 실수값 함수들의 집합 $\backslash mathcal\; L^2(\backslash mathbb\; R;\backslash mathbb\; R)$에 반노름을 주면 콜모고로프 공간이 아니다. 예를 들어, 영집합 $N$ 위의 지시 함수 $\backslash chi\_N$는 서로 구분할 수 없다. 이 경우 콜모고로프 몫공간은 힐베르트 공간 $L^2(\backslash mathbb\; R;\backslash mathbb\; R)$이다.

• 시에르핀스키 공간은 T₁ 공간이 아닌 콜모고로프 공간의 간단한 예이다.

• 가환환의 스펙트럼은 일반적으로 T₁ 공간이 아니지만, 항상 콜모고로프 공간이다.

• 스콧 위상을 갖춘 부분 순서 집합은 항상 콜모고로프 공간이지만, 비교 가능한 두 원소가 존재한다면 일반적으로 T₁ 공간이 아니다.

5. 1. T₀ 공간이지만 T₁ 공간이 아닌 예

• 가환환 ''R''의 소 스펙트럼 Spec(''R'')에 대한 자리스키 위상은 항상 T₀ 공간이지만, 일반적으로 T₁ 공간은 아니다. 닫혀 있지 않은 점들은 극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼에 해당하며, 스킴을 이해하는 데 중요하다.^[1]
• 최소 두 개 이상의 원소를 가진 집합에 대한 특수점 위상은 T₀ 공간이지만 T₁ 공간은 아니다. 특수점은 닫혀 있지 않기 때문이다. (그 폐포는 전체 공간이다.)^[1] 중요한 예시는 시에르핀스키 공간이다.^[1]
• 최소 두 개 이상의 원소를 가진 집합에 대한 배제점 위상은 T₀ 공간이지만 T₁ 공간은 아니다. 유일한 닫힌 점은 배제점이다.^[1]
• 부분 순서 집합에 대한 알렉산드로프 위상은 T₀ 공간이지만, 순서가 이산적이지 않은 한 T₁ 공간이 아니다. 모든 유한 T₀ 공간은 이러한 유형이며, 특수점 및 배제점 위상도 특수한 경우이다.^[1]
• 전순서 집합에 대한 오른쪽 순서 위상도 관련된 예이다.^[1]
• 겹치는 구간 위상은 모든 비어 있지 않은 열린 집합이 0을 포함한다는 점에서 특수점 위상과 유사하다.^[1]
• 위상 공간 ''X''가 T₀ 공간이 되는 것은 ''X''에 대한 특수화 전순서가 부분 순서인 경우이다. 그러나 ''X''가 T₁ 공간이 되는 것은 그 순서가 이산적인 경우에만 해당한다. 따라서 공간이 T₀ 공간이지만 T₁ 공간이 아닌 것은 ''X''에 대한 특수화 전순서가 비이산적인 부분 순서인 경우이다.^[1]

5. 2. T₀ 공간이 아닌 예

• 밀착 위상(비분별 위상)을 갖는, 원소가 둘 이상인 집합의 경우, 모든 점은 위상적으로 구별 불가능하다.
• 집합 '''R'''² = '''R''' × '''R'''에서, 앞쪽 '''R'''의 일반적인 열린 집합과 뒤쪽 '''R'''과의 곱집합으로 구성된 열린 집합을 갖는 곱위상의 경우, (''a'', ''b'')와 (''a'', ''c'') 형태의 원소는 위상적으로 구별 불가능하다.^[1]
• 실수선 '''R'''에서 복소수 평면 '''C'''로의 가측 함수 ''f'': '''R''' → '''C''' 중, |''f''(''x'')|²의 실수선 전체에서의 르베그 적분이 유한한 함수(제곱 르베그 가적분 함수) 전체로 구성된 공간에서, 거의 어디에서나 일치하는 두 함수는 위상적으로 구별 불가능하다.^[2]

6. T₀ 공간에 대한 연산

위상 공간 ''X''와 ''Y''가 위상 동형인 콜모고로프 몫을 가질 때, ''X''와 ''Y''를 '''콜모고로프 동치'''라고 한다. 위상 공간의 많은 성질들이 이 동치에 의해 보존된다. 즉, ''X''와 ''Y''가 콜모고로프 동치이면, ''X''가 그러한 성질을 가질 때에만 ''Y''도 그 성질을 갖는다. 반면에, 위상 공간의 대부분의 "다른" 성질들은 T₀성을 "내포"한다. 즉, ''X''가 그러한 성질을 가지면, ''X''는 T₀여야 한다. 부정형 공간과 같은 몇몇 성질만이 이러한 경험 법칙의 예외이다. 더 나아가, 위상 공간에서 정의된 많은 구조들이 ''X''와 KQ(''X'') 사이에서 이전될 수 있다. 결과적으로, 특정 구조나 성질을 가진 비 T₀ 위상 공간이 있다면, 일반적으로 콜모고로프 몫을 취하여 동일한 구조와 성질을 가진 T₀ 공간을 형성할 수 있다.

7. 비 T₀ 버전의 개념

T₀ 분리 공리를 만족하지 않는 공간에 대한 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 하우스도르프 공간의 비 T₀ 버전은 전정칙 공간이다. 구조의 경우, 거리 공간의 비 T₀ 버전은 유사 거리 공간이다.

일반적으로, 위상 공간의 성질이나 구조의 비 T₀ 버전을 정의할 수 있다. 하우스도르프 공간을 예로 들면, 콜모고로프 몫 KQ(''X'')가 하우스도르프 공간일 때 공간 ''X''가 이 성질을 만족하도록 정의할 수 있다. 이렇게 정의된 공간 ''X''는 전정칙 공간이라고 불린다.

거리 공간과 같은 구조의 경우, ''X''에 대한 구조의 예가 KQ(''X'')에 대한 거리인 방식으로 위상 공간에 대한 새로운 구조를 정의할 수 있다. 이렇게 정의된 구조는 유사 거리 공간이다.

이러한 방식을 통해, T₀-성을 성질 또는 구조에 대한 요구 사항에서 제거할 수 있다. T₀ 공간을 연구하는 것이 일반적이지만, T₀가 아닌 구조를 허용함으로써 더 완전한 이해를 얻을 수 있다. 콜모고로프 몫 개념을 사용하면 T₀ 요구 사항을 자유롭게 추가하거나 제거할 수 있다.

참조

_[1] 논문 On Kolmogorov Topological Spaces https://mizar.uwb.ed[...] 1994
_[2] 서적 General topology Heldermann Verlag 1989